2190_teoria_probabil..

U.T.F.S.M.
Departamento de Matemática
GUÍA Nº 3
Probabilidades y Estadística
“Teoría de las Probabilidades”
Profesor Coordinador : Sr. Héctor Allende O.
Ayudante Coordinador : Rubén Parra V.
EJERCICIO Nº1.
Una caja contiene 12 bolitas, de las cuales hay 5 blancas y 7 negras. Se sacan 2
bolitas y se vuelven a la caja. Se sacan otra vez 2 bolitas y se vuelven a la caja, y
así se continúa hasta efectuar 5 extracciones. Calcule :
a) ¿Cuál es la posibilidad de sacar 2 bolitas negras en cada uno de los 3 primeros
lanzamientos ?.
b) ¿Cuál es la posibilidad de sacar una pareja de una blanca y una negra en cada
una de las otras dos extracciones ?.
c) ¿ Y cuál es la posibilidad de sacar dos bolitas del mismo color en cada una de
las 5 extracciones ?.
a) N = 12 bolitas
A = bolitas negras
B = bolitas3blancas
 7 
   
  2 
=
P(A) =  12  
 
 2  
 
0,032
b) Probabilidad de sacar una pareja blanca y negra en cada una de las 2 extracciones:
  7  5  
    
 1 1  
 12  
   
  2  
2
=
0,028
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“Teoría de las Probabilidades”
2
c) E1 : 1ª extracción dos negras .
E2 : 1ª extracción dos blancas .
[(
) (
P E1 I E1C U E2 I E2C
)] = P (E ) *P (E ) + P (E ) *P (E ) - P (E ) *P (E ) * P (E ) *P (E )
C
1
1
2
C
2
1
C
1
2
C
2
= 0.318*06.82 + 0.152*0.85 + 0.318*0682*0152*085
=0,319
P[2 bolitas del mismo color ] = (0.319)5
[ c/u de las 5 extracciones ]
0,0132
EJERCICIO Nº2.
a) Una lotería tiene N números y un solo premio. Un jugador compra n billetes de
un solo sorteo y otro jugador compra un solo billete durante n sorteos
consecutivos, de manera que los dos jugadores apuestan la misma cantidad. ¿Cuál
de los dos jugadores tiene mayor posibilidad de ganar el premio ?. / Indicación :
Analice varias alternativas.
b) ¿Con qué juego se tienen más probabilidades de ganar : Loto, Kino o
Tincazoo ?
a) Na : n billetes en 1 sorteo
Nb : 1 billete en n sorteos
N : números
1 premio
Jugador A:
Pa = P(gane) = [favorables/totales] =
n
N
Jugador B:
P=P[gane en 1 sorteo] =
1
N
1
1
P=P[no gane en 1 sorteo] = 1 = 
N
N
1

P=P[no gane en los n sorteos] = 1 − 
 N
n
C
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“Teoría de las Probabilidades”
3
C
n
n

N n − ( N − 1)
1  

Pb = P[gane al menos en 1 sorteo] = 1 − 
=
 N  
Nn


n =2
N = 1000
Pa = 0.002
Pb = 0.001999
n=6
N = 10000
Pa =0.00006
Pb = 0.00005999
Pa > Pb
b) Loto
6 billetes ⇒ 36 números
Tincazoo
12 billetes ⇒ 25 números
Kino
15 billetes ⇒ 25 números
Loto
Kino
Tincazoo
Pa
0.167 0.6
0.48
Pb
0.156 0.458 0.387
EJERCICIO Nº3.
Hugo, Paco y Luis comparten un solo teléfono. Hugo y Luis reciben el mismo
número de llamadas, y Paco recibe la mitad de las llamadas de Hugo. Por motivos
de trabajo ellos salen con la siguiente frecuencia : Hugo está afuera el 50% del
tiempo, en cambio Paco y Luis el 25% cada uno. Calcular la probabilidad de que :
a) No esté ninguno para responder el teléfono.
b) Esté la persona a la que se llama.
c) Haya tres llamadas seguidas para una persona.
d) Haya tres llamadas seguidas para tres personas distintas.
a) Definiendo los siguentes eventos ;
E1
E2
E3
E’1
E’2
E’3
:
:
:
:
:
:
Paco no esté en casa ⇒ P (E1) = 0.25
Luis no esté en casa ⇒ P(E2) = 0.25
Hugo no esté en casa ⇒ P(E3) = 0.5
Llamen a Paco ⇒ P(E’1) = 0.2
Llamen a Luis ⇒ P(E’2) = 0.4
Llamen a Hugo ⇒ P(E’3) = 0.4
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P[no hay nadie] = P (E1 I E2 I E3 ) = P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.25*0.25*0.5
= 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,5 = 0,03125
(
)
a) P E1C I E'1 U P(E2C I E '2 ) U P(E3C I E '3 )
Utilizando propiedades , se tiene :
P(E1C)*P(E’1) + P(E2C)*P(E’2) + P(E3C)*P(E3) = 0.75*0.2+0.75*0.4+0.5*0.4
= 0,65
b) (P(B1))3 ∪ (P(B2))3 ∪ (P(B3))3 =
EJERCICIO Nº4.
Se lanzan tres dados de 6 caras. Sean los sucesos :
A : Por lo menos sale un as.
B : Por lo menos hay 2 resultados iguales.
C : La suma de los resultados es par.
a) ¿Qué significa AC n BC ?. Calcule P (AC n BC ).
b) ¿Qué significa AC n C ?. Calcule P (AC n C ).
c) Si la suma de los resultados es par, ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo
menos salga un as ?
a)
[
]
P Ac ∩ B c =
5 4 3
⋅ ⋅
6 6 6
60
216
=
b)
[
]
P Ac ∩ C =
=
c)
63
216
3⋅ 2⋅ 2 3⋅3⋅3 2⋅ 2 ⋅3 2 ⋅3⋅ 2
+
+
+
6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6
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p' =
“Teoría de las Probabilidades”
5
3 ⋅1 ⋅ 3 3 ⋅ 3 ⋅1 1 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ⋅1 ⋅ 3 1 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ⋅ 3 ⋅1
+
+
+
+
+
6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6
= 27 / 216
EJERCICIO Nº5.
Considere el siguiente juego : Se lanza un dado. Si el número es 5 ó 6 el jugador
gana inmediatamente, si el número es 2 el jugador pierde inmediatamente. Si el
número es 1 ó 3 ó 4 el jugador sigue lanzando hasta que aparezca el mismo
número ( original ) antes que el número 6 en cuyo caso gana, o si el número 6 sale
antes que
el número original, pierde. Se supone que el juego termina una vez que el jugador
gana o pierde. / ¿ Cuál es la probabilidad de ganar ?
i
2 31 341 3441 34441
2 3 1 3 1 ∞ 4
P (ganar ) = +
+
+
+
+ ... = +
+
∑  =
6 66 666 6666 66666
6 6 6 6 6 i =0  6 
2 3 1 4
= + ⋅ ∑ 
6 6 6 i 6
i
= 7/2
EJERCICIO Nº6.
Un canal de comunicación transfiere datos binarios. Debido a un ruido en la
transmisión algunas veces al transmitir un 0 es recibido como 1 y viceversa. La
probabilidad de que un 0 transmitido sea recibido como un 0 es del 94%. La
probabilidad de recibir un 1 dado que se envió un 1 es del 91%. La probabilidad
de enviar un 0 es del 45%. Calcular la probabilidad de :
a) Recibir un 1.
b) De que se haya transmitido un 1, dado que se recibió un 1.
c) De errar en la transmisión.
a)
Eventos:
Tx0 : transmitir un 0
Tx1 : transmitir un 1
Rx0 : recibir un 0
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Rx1 : recibir un 1
R 
P 0  = 0.94
 T0 
 Rx 
P 1  = 0.91
 Tx1 
P(Tx0 ) = 0.45
P(Rx1 ) = 0.91 ⋅ 0.55 + 0.06 ⋅ 0.45
= 0.523
 Rx 
P 1  P (Tx1 )
Tx
 Tx 
0.91 ⋅ 0.55
P 1  =  1 
=
P(Rx1 )
0.5275
 Rx1 
= 0.9488
R 
R 
P 1  + P 0  = 0.06 * 0.45 + 0.09 * 0.55
 T1 
 T0 
= 0.0765
EJERCICIO Nº7.
Se dice que las personas tienen suerte el 40% de las veces. Y que no son
afortunados el 55% de las oportunidades. También se comenta que las personas
que no tienen suerte, el 60% de las veces no son afortunadas. Calcule la
probabilidad de que :
a) Las personas tengan suerte y sean afortunadas.
b) Tengan suerte, si se sabe que son afortunados.
c) No sean afortunados si se sabe que no tienen suerte.
d) ¿ Los sucesos tener suerte y ser afortunado son independientes ?.
S1 : las personas tienen suerte
S1C : las personas no tienen suerte
P (S1) = 0.4
P (S1C) = 0.6
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A2 : las personas son afortunadas
A2C : las personas no son afortunadas
 AC 
P 2C  = 0.6
 S1 
 A2C  P A2C I S1C
P C  =
⇒ P A2C I S1C
C
P S1
 S1 
(
( )
)
(
7
P (A2) = 0.45
P (A2C) = 0.55
)
= 0.36
P( A2 U S1 ) = 1 − 0.36 = P( A2 ) + P(S1 ) − P( A2 I S1 ) ⇒ P( A2 I S1 )
= 0.21
A
P 1
 A2
 P( A1 I A2 )
 =
P( A2 )

= 0.4666
EJERCICIO Nº8.
El señor X llega todas las semanas una noche tarde a su casa entre las 11 :00 PM y
las 3 :00 AM ya sea sobrio, algo bebido o ebrio. Su tiempo de llegada depende en
forma probabilística de la condición en que viene y éstas son :
Condición
Sobrio
Algo bebido
Ebrio
Tiempo de llegada
11 : 00 - 12 : 00
12 :00 - 1 : 00
0,80
0,20
0,15
0,50
0,05
0,30
1 :00 - 3 : 00
0,00
0,35
0,65
La señora X ha observado que su esposo llega sobrio tantas veces como llega
ebrio, y que llega algo bebido aproximadamente el doble de las veces que lo hace
sobrio.
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a) Una noche la señora X oye abrirse la puerta a las 12 : 34 AM. Encuentre la
probabilidad que en esa noche el señor X venga ebrio.
b) Encuentre la probabilidad de que un día en que llega tarde lo haga entre las 1 :
00 AM y las 3 : 00 AM.
c) Encuentre la probabilidad que en el mes el señor X haya llegado 3 veces sobrio.
A) SEAN LOS EVENTOS:
S : SOBRIO.
AB : ALGO BEBIDO.
E : EBRIO.
T1 : LEGA 11-12
T2 : LLEGA 12-1
T3 : LLEGA 1-3
P[E / T 2] =
P[T 2 / E ] ⋅ P[E ]
P[E ]
= 0,3 ⋅
P[T 2]
P[T 2]
CON:
P[T 2] = P[T 2 / E ] ⋅ P[E ] + P[T 2 / AB ] ⋅ P[ AB ] + P[T 2 / S ] ⋅ P[S ]
= 0,3 ⋅ 0,25 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,2 ⋅ 0,25 = 0,375
P[E / T 2] = 0,2
B)
P[T 3] = P[T 1 / E ] ⋅ P[E ] + P[T 3 / Ab] ⋅ P[ AB ] + P[T 3 / S ] ⋅ P[S ]
= 0,65 ⋅ 0,25 + 0,35 ⋅ 0,5 + 0 ⋅ 0,25
= 0,3375
C) Pt = 4 ⋅ (0,5)3 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ (0,25) 4
= 0,0469
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“Teoría de las Probabilidades”
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EJERCICIO Nº9.
Un sistema de alarma computarizado para plantas industriales está diseñado de
manera que avise la presencia de problemas de alto riesgo cuando al menos 2 de 3
componentes se activan (C1, C2, C3). La probabilidad de activación es del 70, 85 y
90% respectivamente. Se sabe que la activación de C3 es independiente de las
otras dos, mientras que la probabilidad de que se active C2 dado que se ha activado
C1 es del 95%. ¿ Cuál es la probabilidad de que el sistema avise cuando haya
problemas de alto riesgo ?.
Calculando se tienen los siguentes datos :
P[C1 ] = 70
P[C2 ] = 15
P[C3 ] = 90
[
] [
] [
]
P[avise] = P C1 ∩ C2 ∩ C3 + P C1 ∩ C2 ∩ C3 + P C1 ∩ C2 ∩ C3 + P[C1 ∩ C2 ∩ C3 ]
Con :
c
c
c
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[
c
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]
P C1 ∩ C2 ∩ C3 = 0,665 ⋅ 0,1 = 0,0665
[
]
c
P C1 ∩ C2 ∩ C3 = (0,7 − 0,665) ⋅ 0,9 = 0,0315
[
]
c
P C1 ∩ C2 ∩ C3 = (0,85 − 0,665) ⋅ 0,9 = 0,1665
P[C1 ∩ C2 ∩ C3 ] = 0,7 ⋅ 0,95 ⋅ 0,9 = 0,5985
∴
La probabilidad de que el sistema avise cuando
haya problemas de alto riesgo = 0,863
EJERCICIO Nº10.
Pedro quiere enviar una carta a María. La probabilidad de que Pedro escriba la
carta es 0,8 ; la probabilidad de que el correo no la pierda es 0,9 y la probabilidad
de que el cartero la entregue es 0,9. Si María no recibió la carta, ¿ cuál es la
probabilidad condicional de que Pedro no la haya escrito ?.
Sean los siguentes eventos :
E1 : Pedro escribe la carta.
E2 : El correo pierde la carta.
E3 : El correo entrega la carta.
E : Mario no recibe la carta.
P[E1 / E ] =
con:
[
P E1c ∩ E
P[E ]
]
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P[E ] = 0,2 + 0,8 ⋅ 0,1 + 0,8 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,352
[
]
P E1c ∩ E = 0,2
P[E1 / E ] = 0,568
“Teoría de las Probabilidades”
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