U.T.F.S.M. Departamento de Matemática GUÍA Nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” Profesor Coordinador : Sr. Héctor Allende O. Ayudante Coordinador : Rubén Parra V. EJERCICIO Nº1. Una caja contiene 12 bolitas, de las cuales hay 5 blancas y 7 negras. Se sacan 2 bolitas y se vuelven a la caja. Se sacan otra vez 2 bolitas y se vuelven a la caja, y así se continúa hasta efectuar 5 extracciones. Calcule : a) ¿Cuál es la posibilidad de sacar 2 bolitas negras en cada uno de los 3 primeros lanzamientos ?. b) ¿Cuál es la posibilidad de sacar una pareja de una blanca y una negra en cada una de las otras dos extracciones ?. c) ¿ Y cuál es la posibilidad de sacar dos bolitas del mismo color en cada una de las 5 extracciones ?. a) N = 12 bolitas A = bolitas negras B = bolitas3blancas 7 2 = P(A) = 12 2 0,032 b) Probabilidad de sacar una pareja blanca y negra en cada una de las 2 extracciones: 7 5 1 1 12 2 2 = 0,028 Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” 2 c) E1 : 1ª extracción dos negras . E2 : 1ª extracción dos blancas . [( ) ( P E1 I E1C U E2 I E2C )] = P (E ) *P (E ) + P (E ) *P (E ) - P (E ) *P (E ) * P (E ) *P (E ) C 1 1 2 C 2 1 C 1 2 C 2 = 0.318*06.82 + 0.152*0.85 + 0.318*0682*0152*085 =0,319 P[2 bolitas del mismo color ] = (0.319)5 [ c/u de las 5 extracciones ] 0,0132 EJERCICIO Nº2. a) Una lotería tiene N números y un solo premio. Un jugador compra n billetes de un solo sorteo y otro jugador compra un solo billete durante n sorteos consecutivos, de manera que los dos jugadores apuestan la misma cantidad. ¿Cuál de los dos jugadores tiene mayor posibilidad de ganar el premio ?. / Indicación : Analice varias alternativas. b) ¿Con qué juego se tienen más probabilidades de ganar : Loto, Kino o Tincazoo ? a) Na : n billetes en 1 sorteo Nb : 1 billete en n sorteos N : números 1 premio Jugador A: Pa = P(gane) = [favorables/totales] = n N Jugador B: P=P[gane en 1 sorteo] = 1 N 1 1 P=P[no gane en 1 sorteo] = 1 = N N 1 P=P[no gane en los n sorteos] = 1 − N n C Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” 3 C n n N n − ( N − 1) 1 Pb = P[gane al menos en 1 sorteo] = 1 − = N Nn n =2 N = 1000 Pa = 0.002 Pb = 0.001999 n=6 N = 10000 Pa =0.00006 Pb = 0.00005999 Pa > Pb b) Loto 6 billetes ⇒ 36 números Tincazoo 12 billetes ⇒ 25 números Kino 15 billetes ⇒ 25 números Loto Kino Tincazoo Pa 0.167 0.6 0.48 Pb 0.156 0.458 0.387 EJERCICIO Nº3. Hugo, Paco y Luis comparten un solo teléfono. Hugo y Luis reciben el mismo número de llamadas, y Paco recibe la mitad de las llamadas de Hugo. Por motivos de trabajo ellos salen con la siguiente frecuencia : Hugo está afuera el 50% del tiempo, en cambio Paco y Luis el 25% cada uno. Calcular la probabilidad de que : a) No esté ninguno para responder el teléfono. b) Esté la persona a la que se llama. c) Haya tres llamadas seguidas para una persona. d) Haya tres llamadas seguidas para tres personas distintas. a) Definiendo los siguentes eventos ; E1 E2 E3 E’1 E’2 E’3 : : : : : : Paco no esté en casa ⇒ P (E1) = 0.25 Luis no esté en casa ⇒ P(E2) = 0.25 Hugo no esté en casa ⇒ P(E3) = 0.5 Llamen a Paco ⇒ P(E’1) = 0.2 Llamen a Luis ⇒ P(E’2) = 0.4 Llamen a Hugo ⇒ P(E’3) = 0.4 Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” 4 P[no hay nadie] = P (E1 I E2 I E3 ) = P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.25*0.25*0.5 = 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,5 = 0,03125 ( ) a) P E1C I E'1 U P(E2C I E '2 ) U P(E3C I E '3 ) Utilizando propiedades , se tiene : P(E1C)*P(E’1) + P(E2C)*P(E’2) + P(E3C)*P(E3) = 0.75*0.2+0.75*0.4+0.5*0.4 = 0,65 b) (P(B1))3 ∪ (P(B2))3 ∪ (P(B3))3 = EJERCICIO Nº4. Se lanzan tres dados de 6 caras. Sean los sucesos : A : Por lo menos sale un as. B : Por lo menos hay 2 resultados iguales. C : La suma de los resultados es par. a) ¿Qué significa AC n BC ?. Calcule P (AC n BC ). b) ¿Qué significa AC n C ?. Calcule P (AC n C ). c) Si la suma de los resultados es par, ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos salga un as ? a) [ ] P Ac ∩ B c = 5 4 3 ⋅ ⋅ 6 6 6 60 216 = b) [ ] P Ac ∩ C = = c) 63 216 3⋅ 2⋅ 2 3⋅3⋅3 2⋅ 2 ⋅3 2 ⋅3⋅ 2 + + + 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 Guía nº 3 Probabilidades y Estadística p' = “Teoría de las Probabilidades” 5 3 ⋅1 ⋅ 3 3 ⋅ 3 ⋅1 1 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ⋅1 ⋅ 3 1 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ⋅ 3 ⋅1 + + + + + 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 6⋅6⋅6 = 27 / 216 EJERCICIO Nº5. Considere el siguiente juego : Se lanza un dado. Si el número es 5 ó 6 el jugador gana inmediatamente, si el número es 2 el jugador pierde inmediatamente. Si el número es 1 ó 3 ó 4 el jugador sigue lanzando hasta que aparezca el mismo número ( original ) antes que el número 6 en cuyo caso gana, o si el número 6 sale antes que el número original, pierde. Se supone que el juego termina una vez que el jugador gana o pierde. / ¿ Cuál es la probabilidad de ganar ? i 2 31 341 3441 34441 2 3 1 3 1 ∞ 4 P (ganar ) = + + + + + ... = + + ∑ = 6 66 666 6666 66666 6 6 6 6 6 i =0 6 2 3 1 4 = + ⋅ ∑ 6 6 6 i 6 i = 7/2 EJERCICIO Nº6. Un canal de comunicación transfiere datos binarios. Debido a un ruido en la transmisión algunas veces al transmitir un 0 es recibido como 1 y viceversa. La probabilidad de que un 0 transmitido sea recibido como un 0 es del 94%. La probabilidad de recibir un 1 dado que se envió un 1 es del 91%. La probabilidad de enviar un 0 es del 45%. Calcular la probabilidad de : a) Recibir un 1. b) De que se haya transmitido un 1, dado que se recibió un 1. c) De errar en la transmisión. a) Eventos: Tx0 : transmitir un 0 Tx1 : transmitir un 1 Rx0 : recibir un 0 Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” 6 Rx1 : recibir un 1 R P 0 = 0.94 T0 Rx P 1 = 0.91 Tx1 P(Tx0 ) = 0.45 P(Rx1 ) = 0.91 ⋅ 0.55 + 0.06 ⋅ 0.45 = 0.523 Rx P 1 P (Tx1 ) Tx Tx 0.91 ⋅ 0.55 P 1 = 1 = P(Rx1 ) 0.5275 Rx1 = 0.9488 R R P 1 + P 0 = 0.06 * 0.45 + 0.09 * 0.55 T1 T0 = 0.0765 EJERCICIO Nº7. Se dice que las personas tienen suerte el 40% de las veces. Y que no son afortunados el 55% de las oportunidades. También se comenta que las personas que no tienen suerte, el 60% de las veces no son afortunadas. Calcule la probabilidad de que : a) Las personas tengan suerte y sean afortunadas. b) Tengan suerte, si se sabe que son afortunados. c) No sean afortunados si se sabe que no tienen suerte. d) ¿ Los sucesos tener suerte y ser afortunado son independientes ?. S1 : las personas tienen suerte S1C : las personas no tienen suerte P (S1) = 0.4 P (S1C) = 0.6 Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” A2 : las personas son afortunadas A2C : las personas no son afortunadas AC P 2C = 0.6 S1 A2C P A2C I S1C P C = ⇒ P A2C I S1C C P S1 S1 ( ( ) ) ( 7 P (A2) = 0.45 P (A2C) = 0.55 ) = 0.36 P( A2 U S1 ) = 1 − 0.36 = P( A2 ) + P(S1 ) − P( A2 I S1 ) ⇒ P( A2 I S1 ) = 0.21 A P 1 A2 P( A1 I A2 ) = P( A2 ) = 0.4666 EJERCICIO Nº8. El señor X llega todas las semanas una noche tarde a su casa entre las 11 :00 PM y las 3 :00 AM ya sea sobrio, algo bebido o ebrio. Su tiempo de llegada depende en forma probabilística de la condición en que viene y éstas son : Condición Sobrio Algo bebido Ebrio Tiempo de llegada 11 : 00 - 12 : 00 12 :00 - 1 : 00 0,80 0,20 0,15 0,50 0,05 0,30 1 :00 - 3 : 00 0,00 0,35 0,65 La señora X ha observado que su esposo llega sobrio tantas veces como llega ebrio, y que llega algo bebido aproximadamente el doble de las veces que lo hace sobrio. Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” 8 a) Una noche la señora X oye abrirse la puerta a las 12 : 34 AM. Encuentre la probabilidad que en esa noche el señor X venga ebrio. b) Encuentre la probabilidad de que un día en que llega tarde lo haga entre las 1 : 00 AM y las 3 : 00 AM. c) Encuentre la probabilidad que en el mes el señor X haya llegado 3 veces sobrio. A) SEAN LOS EVENTOS: S : SOBRIO. AB : ALGO BEBIDO. E : EBRIO. T1 : LEGA 11-12 T2 : LLEGA 12-1 T3 : LLEGA 1-3 P[E / T 2] = P[T 2 / E ] ⋅ P[E ] P[E ] = 0,3 ⋅ P[T 2] P[T 2] CON: P[T 2] = P[T 2 / E ] ⋅ P[E ] + P[T 2 / AB ] ⋅ P[ AB ] + P[T 2 / S ] ⋅ P[S ] = 0,3 ⋅ 0,25 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,2 ⋅ 0,25 = 0,375 P[E / T 2] = 0,2 B) P[T 3] = P[T 1 / E ] ⋅ P[E ] + P[T 3 / Ab] ⋅ P[ AB ] + P[T 3 / S ] ⋅ P[S ] = 0,65 ⋅ 0,25 + 0,35 ⋅ 0,5 + 0 ⋅ 0,25 = 0,3375 C) Pt = 4 ⋅ (0,5)3 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ (0,25) 4 = 0,0469 Guía nº 3 Probabilidades y Estadística “Teoría de las Probabilidades” 9 EJERCICIO Nº9. Un sistema de alarma computarizado para plantas industriales está diseñado de manera que avise la presencia de problemas de alto riesgo cuando al menos 2 de 3 componentes se activan (C1, C2, C3). La probabilidad de activación es del 70, 85 y 90% respectivamente. Se sabe que la activación de C3 es independiente de las otras dos, mientras que la probabilidad de que se active C2 dado que se ha activado C1 es del 95%. ¿ Cuál es la probabilidad de que el sistema avise cuando haya problemas de alto riesgo ?. Calculando se tienen los siguentes datos : P[C1 ] = 70 P[C2 ] = 15 P[C3 ] = 90 [ ] [ ] [ ] P[avise] = P C1 ∩ C2 ∩ C3 + P C1 ∩ C2 ∩ C3 + P C1 ∩ C2 ∩ C3 + P[C1 ∩ C2 ∩ C3 ] Con : c c c Guía nº 3 Probabilidades y Estadística [ c “Teoría de las Probabilidades” 10 ] P C1 ∩ C2 ∩ C3 = 0,665 ⋅ 0,1 = 0,0665 [ ] c P C1 ∩ C2 ∩ C3 = (0,7 − 0,665) ⋅ 0,9 = 0,0315 [ ] c P C1 ∩ C2 ∩ C3 = (0,85 − 0,665) ⋅ 0,9 = 0,1665 P[C1 ∩ C2 ∩ C3 ] = 0,7 ⋅ 0,95 ⋅ 0,9 = 0,5985 ∴ La probabilidad de que el sistema avise cuando haya problemas de alto riesgo = 0,863 EJERCICIO Nº10. Pedro quiere enviar una carta a María. La probabilidad de que Pedro escriba la carta es 0,8 ; la probabilidad de que el correo no la pierda es 0,9 y la probabilidad de que el cartero la entregue es 0,9. Si María no recibió la carta, ¿ cuál es la probabilidad condicional de que Pedro no la haya escrito ?. Sean los siguentes eventos : E1 : Pedro escribe la carta. E2 : El correo pierde la carta. E3 : El correo entrega la carta. E : Mario no recibe la carta. P[E1 / E ] = con: [ P E1c ∩ E P[E ] ] Guía nº 3 Probabilidades y Estadística P[E ] = 0,2 + 0,8 ⋅ 0,1 + 0,8 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,352 [ ] P E1c ∩ E = 0,2 P[E1 / E ] = 0,568 “Teoría de las Probabilidades” 11