teorema fundamental del álgebra

An
tioq
uia
Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matemáticas
Grupo de Semilleros de Matemáticas
(Semática)
Teorema fundamental del álgebra
Matemáticas
Operativas
Taller 9
2011 − 2
ive
rsid
ad
de
Las técnicas algebraicas desarrolladas durante el siglo XVII por F. Viète
y por Girolamo Cardano proporcionaron las herramientas para que los
matemáticos franceses Pierre de Fermat y René Descartes (figura 1) resolvieran una variedad de problemas que permanecı́an sin resolver desde la
Grecia Clásica. El gran aporte de estos dos últimos pensadores fue el haber
establecido una conexión no aparente entre la geometrı́a y el álgebra, que
finalmente conducirı́a al nacimiento de la geometrı́a analı́tica.
René Descartes (Francia, 31 de marzo de 1956 - Estocolmo, 11 de febrero de 1650) fue un pensador francés cuyas contribuciones no sólo fueron
Figura 1
en el campo de las matemáticas; en fı́sica es considerado el creador del
mecanicismo y en filosfı́a proporcionó los fundamentos del racionalismo
occidental. Su famosa obra, La Géométrie (1637), establece equivalencias entre operaciones algebraicas y construcciones geométricas, y está basada en la idea de caracterizar una diversidad
de lugares (locus) geométricos como lı́neas, circunferencias y secciones cónicas, en términos de
cierta clase de ecuaciones algebraicas que involucraban magnitudes de segmentos de rectas.
Descartes fue el primero en estudiar de una manera sistemática las propiedades algebraicas de
los polinomios, en particular la relación entre los ceros de un polinomio y su grado, ası́ como la
factorización de polinomios como producto de factores lineales. Con el trabajo de Descartes, el
desarrollo del álgebra se centró en el estudio de los polinomios, concretamente en la búsqueda
de soluciones generales de ecuaciones polinómicas de grado cuatro en adelante. Los intentos
realizados para resolver este tipo de ecuaciones condujeron al planteamiento de una cuestión de
vital importancia en álgebra, a saber, el número de soluciones que una ecuación polinómica de
grado n puede admitir.
La respuesta a esta imporante pregunta fue sugerida inicialmente por el mátemático francés
Albert Girard en 1629 y está dada por el teorema fundamental del álgebra que afirma que toda
ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raı́ces complejas. Aunque
desde la antiguedad era conocido que muchas ecuaciones polinómicas particulares satisfacı́an
el teorema, fue sólo hasta el siglo XVIII que el matemático alemán Carl Friedrich Gauss lo
demostró. Este teorema fue fundamental para establecer las bases conceptuales que permitieron
consolidar al álgebra como una disciplina de estudio de las matemáticas.
Objetivo general
Emplear el toerema fundamental del álgebra y sus consecuencias en la solución de problemas
que involucran ecuaciones polinómicas.
Un
Objetivos especı́ficos
1. Identificar los ceros de una función polinomial y su multiplicidad.
2. Encontrar una función polinomial con ceros especificados.
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2
1.
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Resultados fundamentales
Los ceros de un polinomio f (x) son las soluciones de la ecuación f (x) = 0 y geométricamente
corresponden a las intersecciones con el eje x de la gráfica de f . El polinomio de grado n = 1,
f (x) = ax + b tiene un cero, −b/a. El
polinomio de
grado n = 2, f (x) = ax2 + bx + c posee al
√
√
−b+ b2 −4ac
−b− b2 −4ac
menos un cero que está dado por
o
. En general, para polinomios de grado
2a
2a
n tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.1 (Teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio de grado n ≥ 1 posee al lo
menos un cero, que puede ser real o complejo.
Los teoremas del factor y del residuo vistos en el taller anterior se pueden extender al sistema
de los números complejos. Ası́, el número complejo z = a + bi es un cero de un polinomio f (x) si
y sólo si x − z es un factor de f (x). Como consecuencia del teorema fundamental del álgebra (1.1)
tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.2 (Teorema de factorización completa para polinomios). Si f (x) es un polinomio de
grado n ≥ 1, entonces existen n números complejos z1 , z2 , . . . , zn tales que f (x) = a(x − z1 )(x −
z2 ) · · · (x − zn ), donde a es el coeficiente principal de f (x).
de
Observemos que cada número zk en el teorema de factorización completa (1.2) es un cero de
f (x) y cada uno de estos ceros puede repetirse, por ejemplo f (x) = x2 − 2x + 1 tiene dos ceros
iguales: z1 = z2 = 1, pues f (x) = (x − 1)2 . Otros ejemplos son los siguientes:
Forma factorizada
5x3 − 30x2 + 65x
5x(x − (3 + 2i))(x + (3 + 2i))
0 , ±3 + 2i
√ !!
3
7
− +
i
·
2
2
√
7
3
− ±
i
2
2
2
3
2
−6x − 2x − 6x − 2
rsid
x−
x + 3x + 4
ad
Polinomio f (x)
x−
√ !!
7
3
− −
i
2
2
1
(x + i)(x − i)
−6 x +
3
Ceros de f (x)
1
− , ±i
3
ive
Si todos los ceros enunicados en el teorema de factorización completa (1.2) son distintos. . .
Teorema 1.3 (Número máximo de ceros de un polinomio). Un polinomio de grado n tiene a lo
sumo (como máximo) n ceros complejos diferentes.
Definición 1.1. Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del polinomio
f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la ecuación f (x) = 0.
Un
Ejemplo 1.1. Para el polinomio f (x) = x(x−1)2 (x−4)3 tenemos que 4 es un cero de multiplicidad
3, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 0 es un cero de de multiplicidad 1.
Teorema 1.4 (Número exacto de ceros de un polinomio). Si f (x) es un polinomio de grado
n ≥ 1 y si cada cero de multiplicidad m se cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n
ceros.
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Ejercicio 1.1. Exprese f (x) = x5 − x4 − 2x3 como producto de factores y encuentra sus ceros.
Solución. Observemos que f (x) = x3 (x2 − x − 2) = x3 (x + 1)(x − 2) luego los ceros de f (x) son
0, 0, 0, −1, 2.
2.
Ceros racionales e irracionales
No todo polinomio tiene ceros racionales, pero en caso de tenerlos, los podemos hallar con
ayuda del siguiente teorema
Teorema 2.1 (Ceros racionales de un polinomio). Todo cero racional de un polinomio
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
es de la forma
c
, donde c es un factor de a0 y d es un factor de an .
d
Ejercicio 2.1. Halla todos los ceros de f (x)=x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x.
Solución. Primero observemos que f (x) = x · (x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24) y por tanto 0
es una raı́z de f (x) = 0. Descartando esta raı́z obtenemos la ecuación
de
x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24 = 0.
Como a5 = 1 y a0 = 24, las posible raı́ces racionales son:
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ± 24.
2
1 3
↓ 2
1 5
50
−13 −25
10
24
−6 −62 −24
0
−3 −31 −12
ad
Probamos con 1 (no hay un orden especı́fico para hacer esto), utilizando división sintética:
=⇒
f (x) = (x − 2) x4 + 5x3 −3x2 −31x−12
|
{z
}
q1 (x)
−3
1
↓
5
rsid
Repetimos el procedimiento con el polinomio q1 (x) y probamos con −3:
−3 −31 −12
−3 −6
1
2
−9
27
12
−4
0
Para el polinomio q2 (x) probamos con −4:
1
2
↓
−4
8
4
1
−2 −1
0
−9 −4
ive
−4
=⇒
=⇒
f (x) = (x − 2)(x + 3) x3 + 2x2 −9x−4
{z
}
|
q2 (x)
f (x) = (x − 2)(x + 3)(x + 4) x2 −2x−1
|
{z
}
q3 (x)
Un
Para el polinomio q3 (x) = x2 − 2x − 1 tenemos que sus raı́ces están dadas por
p
√
√
√
−(−2) ± (−2)2 − 4 · 1 · (−1)
2± 8
2±2 2
=
=
=1± 2
2
2
2
Por tanto, f es un polinomio de grado 5 que tiene 3 ceros racionales y 2 ceros irracionales:
√ √ x− 1+ 2 .
f (x) = (x − 2)(x + 3)(x + 4) x − 1 − 2
Observación 1. El polinomio anterior tiene dos ceros irracionales que se presentan en “pares conjugados”. En general, se presenta la siguiente situación
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Teorema 2.2 (Ceros irracionales conjugados). Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros
√ y si c1 = s + t u es un cero irracional de p(x) (u no es cuadrado perfecto), entonces
c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Finalizamos esta sección con el siguiente resultado
Teorema 2.3 (Suma y producto de ceros). La suma y el producto de los ceros del polinomio
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 ,
an 6= 0
vienen dados en términos de sus coeficientes por medio de
Suma de ceros = −
3.
an−1
an
y
Producto de ceros = (−1)n
Ceros complejos
a0
an
de
El teorema fundamental del álgebra (1.1) nos garantiza que todo polinomio de grado n ≥ 1
posee al menos un cero, que en algunos casos resulta ser real y en otros complejo. Cuando los ceros
son complejos (parte imaganiria no nula) y los coeficientes del polinomio son reales, tenemos el
siguiente resultado
ad
Teorema 3.1 (Ceros conjugados de un polinomio). Si un polinomio f (x) de grado n > 1 tiene
coeficientes reales y si z = a + bi con b 6= 0 es un cero complejo de f (x), entonces el conjugado
z̄ = a − bi también es un cero de f (x).
rsid
Ejercicio 3.1. Encuentre un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga como ceros a
−3 + 2i y 1 − 4i.
Solución. Por el teorema anterior −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i, son los ceros de f (x). Por
el teorema del factor f (x) se puede expresar como el producto de x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i),
x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i), ası́
f (x) = [x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]
= [x2 + 6x + 13][x2 − 2x + 16]
ive
= x4 + 4x3 + 17x2 + 70x + 208.
Observación 2. Aunque el teorema de factorización completa (1.2) nos garantiza que todo polinomio p(x) de grado n ≥ 1 se puede expresar como producto de factores lineales p(x) =
a(x − z1 )(x − z2 ) · · · (x − zn ), estos factores no siempre tendrán coeficientes reales.
Un
Teorema 3.2. Todo polinomio con coeficientes reales se puede expresar como el producto de
factores lineales y/o cuadráticos con coeficientes reales.
Ejemplo 3.1. El polinomio p(x) = x3 − x2 + 4x − 4 tiene coeficientes reales y se puede factorizar
como producto de factores lineales y cuadráticos (con coficientes reales)
p(x) = x3 − x2 + 4x − 4 = (x3 − x2 ) + (4x − 4) = x2 (x − 1) + 4(x − 1) = (x − 1)(x2 + 4)
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o como producto sólo de factores lineales (pero con coeficientes complejos)
√ √ p(x) = (x − 1) x − 2 i x + 2 i .
Ejercicios
[Problemas (1)-(7)] Exprese a f (x), un polinomio con coeficientes reales, como producto de
factores lineales y cuadráticos en R, si f (x) tiene los ceros y el grado indicado en cada caso.
1. Ceros: 3 − 2i; grado: 2.
4. Ceros: 3, 1 + 7i; grado: 3.
17. x3 − x2 − 10x − 8 = 0
5. Ceros: 1, 0, 1 + i; grado: 4.
18. x3 + x2 − 14x − 24 = 0
6. Ceros: 0, −2i, 1 − i; grado: 5.
19. 2x3 − 3x2 − 17x + 30 = 0
7. Ceros: 0, 3i, 4 + i; grado: 5.
[Problemas (8)-(10)] Encuentre el polinomio de
menor grado que tenga los ceros indicados.
20. 12x3 + 8x2 − 3x − 2 = 0
21. x4 + 3x3 − 30x2 − 6x + 56 = 0
22. 3x5 − 10x4 − 6x3 + 24x2 + 11x − 6 = 0
8. 3 de multiplicidad 2 y −4.
23. 2x5 + 3x3 + 7 = 0
y −5.
3
11. Las soluciones de la ecuación x − 8 = 0,
son las raı́ces cúbicas de 8. ¿Cuántas raı́ces
cúbicas de 8 existen? Hállelas.
2
24. Encuentre un polinomio de grado 2 tal que
la suma de sus raı́ces es 2 y el producto es
−3.
ad
10. 2 − 3i, 2 + 3i, −4 de multiplicidad 2.
25. A y B son dos ciudades que están 300
kilómetros una de la otra. Si dos trenes
parten simultáneamente de A y de B, cada uno hacia la otra estación y después de
que se encuentran, el tren que salió de A
llegó a B en 9 horas, en tanto que el que
salió de B llegó a A en 4 horas. Encuentre
la velocidad de cada tren.
rsid
12. Uno de los ceros de p(x) = x + 2ix − 5 es
2 − i. Demuestre que 2 + i no es un cero
de p(x). ¿Contradice esto el teorema de las
raı́ces conjugadas?.
ive
[Problemas (13)-(16)] Demuestre que las ecuaciones dadas no tienen raı́ces racionales.
Referencias
15. x5 − 3x3 + 4x2 + x − 2 = 0
[Problemas (17)-(23)] Halle todas las soluciones
de las ecuaciones dadas.
3. Ceros: −2, 5 − 2i; grado: 3.
2
3
14. 3x3 − 4x2 + 7x + 5 = 0
16. 2x5 + 3x3 + 7 = 0
2. Ceros: 4 − 3i; grado: 2.
9. −7 de multiplicidad 3,
13. x3 + 3x2 − 4x + 6 = 0
de
4.
[1] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores del Instituto de Matemáticas
de la Universidad de Antioquia para el curso Álgebra y trigonometrı́a (CNM-108):
http://ciencias.udea.edu.co/algebraytrigo/
Un
[2] W. L. Hosch, The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service,
primera edición, 2010.
[3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima
edición, editorial Thomson, 2006.