Formulas de integración Gaussiana y Error

FORMULAS DE INTEGRACION GAUSSIANA
La fórmula de integración gaussiana de Gauss-Legendre es :
1
n
∫-1f (x) ⅆ x= ∑i=1 Ai f(xi ) + En
en que los nodos x1 , ..., xn son los ceros del polinomio de Legendre Pn , y
en que Ai dados en tabla, En =
( n ! ) 4 22 n+1
f (2 n ) (ξ),
(( 2 n ) !)3 (2 n+1)
donde los polinomios están definidos recursiva-
mente:
P0 = 1 ; P 1 = x ;
Pn+1 (x) =
2n+1
n+1
x Pn (x) -
n
n+1
Pn-1 (x) para n ≥1.
Del error se puede deducir que la fórmula es exacta para todo polinomio de grado menor o igual a 2n-1
La fórmula de integración gaussiana de Gauss-Chebyshev es :
1
∫-1
1
1-x2
f (x) ⅆx=
n
π
 f(xi )
n
i=1
en que los nodos xi = cos
+ En
(2 i-1) π
,
2n
i=1,..,n son los ceros del polinomio de Chebyshev T n , y
π
en que En =
2
22 (n-1) ( 2 n ) !
f (2 n ) (ξ), donde los polinomios están definidos recursivamente:
T0 = 1 ; T1 =x ;
Tn+1 (x) = 2 x Tn (x) - Tn-1 (x) para n ≥1.
Del error se puede deducir que la fórmula es exacta para todo polinomio de grado menor o igual a 2n-1
La fórmula de integración gaussiana de Gauss-Laguerre es :
∞
-x
n
∫0 e f (x) ⅆx= ∑i=1 Ai f(xi ) + En
en que los nodos x1 , ..., xn son los ceros del polinomio de Laguerre Ln , y
en que Ai =
( n ! )2
xi n 2 (Ln ( xi )) 2
, En =
( n ! ) 2 (2 n )
f
(ξ),
(2n)!
donde los polinomios están definidos recursivamente:
L0 = 1 ; L1 =1- x ;
Ln+1 (x) =
2n+1-x
n+1
Ln (x) -
n
n+1
Ln-1 (x) para n ≥1.
Del error se puede deducir que la fórmula es exacta para todo polinomio de grado menor o igual a 2n-1
La fórmula de Gauss-Hermite es de la forma:
∞
∫-∞ ⅇ
-x2
f (x) ⅆ x = ∑ni=1 Ai f(xi ) + E
2
Formulas de integracion gaussiana.nb
(n ! ) π
(2 n)! 2n
donde E =
f (2 n (ξ) es el error de integración, los xi son los ceros del polinomio de Hermite de
orden n:
2
Hn (x) = (-1)n ⅇx
2n+1 n!
Ai =
2
dn
(ⅇ-x )
dxn
y los coeficientes Ai son:
π
 H n' ( x i ) 
2
Fórmulas para el error en Gauss-Legendre.
En =
( n ! ) 4 22 n+1
 2 n  !3 2 n + 1
ErrorGL[n_] := (n !) ^ 4  2 ^ 2 n + 1    2 n ! ^ 3 2 n + 1 f ^ 2 n
ErrorGL[2]
ErrorGL[4]
f4
135
f8
3 472 875
Error compuesto en [a,b].
Si la fórmula del error es c(n) f (2 n)(ξ) y la fórmula se
aplica M veces entonces
h = b-a
M
Error =  b-a

2M
(2 n+1)
c(n) M f (2 n)(ξ)