Métodos Numéricos. Grado en Ingeniería Informática. Tema 2

Métodos Numéricos.
Grado en Ingeniería Informática.
Tema 2. Cálculo de ceros de una función
Luis Alvarez León
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Contenido
1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Contenido
1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
aportación anual
600
valor a los 30 años
600 × ?
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
aportación anual
600
600 × ?
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
aportación anual
600
600 × 1,1
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × ?
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Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × ?
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
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Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × 1,12
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
600 × ?
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
año .
año 30
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × 1,12
..........
600 × ?
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
600 × 1,12 × (1 + i)28
.............
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
año .
año 30
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × 1,12
..........
600 × 1,129
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
600 × 1,12 × (1 + i)28
.............
600 × ?
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Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
año .
año 30
TOTAL
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × 1,12
..........
600 × 1,129
..........
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
600 × 1,12 × (1 + i)28
.............
600 × 1,129 × (1 + i)
156263
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
año .
año 30
TOTAL
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × 1,12
..........
600 × 1,129
..........
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
600 × 1,12 × (1 + i)28
.............
600 × 1,129 × (1 + i)
156263
La ecuación que debemos resolver para obtener el interés i es
29
X
(600) (1,1)n (1. + i)30−n = 156263
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n=0
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Cálculo de los ceros de una función. Ejemplo
Una persona aporta a un plan de pensiones durante 30 años una
cuota anual de 600 euros que se va incrementado en un 10 % cada
año. Al final de los 30 años le dan 156.263 euros. ¿Que interés i nos
está dando el banco por el dinero depositado?
año
año 1
año 2
año 3
año .
año 30
TOTAL
aportación anual
600
600 × 1,1
600 × 1,12
..........
600 × 1,129
..........
valor a los 30 años
600 × (1 + i)30
600 × 1,1 × (1 + i)29
600 × 1,12 × (1 + i)28
.............
600 × 1,129 × (1 + i)
156263
La ecuación que debemos resolver para obtener el interés i es
29
X
(600) (1,1)n (1. + i)30−n − 156263 = 0
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n=0
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Contenido
1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
Se parte de una función f (x) y de un intervalo [a, b] donde la
función cambia de signo
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
Se parte de una función f (x) y de un intervalo [a, b] donde la
función cambia de signo
Se calcula el punto medio x =
a+b
2
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
Se parte de una función f (x) y de un intervalo [a, b] donde la
función cambia de signo
Se calcula el punto medio x =
a+b
2
Si f (a)f (x) < 0 hacemos b = x, en caso contrario hacemos a = x
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
Se parte de una función f (x) y de un intervalo [a, b] donde la
función cambia de signo
Se calcula el punto medio x =
a+b
2
Si f (a)f (x) < 0 hacemos b = x, en caso contrario hacemos a = x
Hacemos iteraciones de este procedimiento hasta que f (x) = 0 o
|b − a| ≤ (|b| + )TOL
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Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
Se parte de una función f (x) y de un intervalo [a, b] donde la
función cambia de signo
Se calcula el punto medio x =
a+b
2
Si f (a)f (x) < 0 hacemos b = x, en caso contrario hacemos a = x
Hacemos iteraciones de este procedimiento hasta que f (x) = 0 o
|b − a| ≤ (|b| + )TOL
¿Puede el algoritmo entrar en un bucle infinito de iteraciones?
?
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la bisección. Objetivo: Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un
cero de la función
Descripción del algoritmo del método de la bisección
Se parte de una función f (x) y de un intervalo [a, b] donde la
función cambia de signo
Se calcula el punto medio x =
a+b
2
Si f (a)f (x) < 0 hacemos b = x, en caso contrario hacemos a = x
Hacemos iteraciones de este procedimiento hasta que f (x) = 0 o
|b − a| ≤ (|b| + )TOL
¿Puede el algoritmo entrar en un bucle infinito de iteraciones?
No
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1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Método de la Regula Falsi
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Método de la Regula Falsi
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Método de la Regula Falsi
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la Regula Falsi
En el método de la Regula Falsi el punto x para dividir el intervalo [a, b]
es el punto donde se anula la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y
(b,f(b)).
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Método de la Regula Falsi
En el método de la Regula Falsi el punto x para dividir el intervalo [a, b]
es el punto donde se anula la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y
(b,f(b)). La ecuación de dicha recta viene dada por la expresión :
?
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Método de la Regula Falsi
En el método de la Regula Falsi el punto x para dividir el intervalo [a, b]
es el punto donde se anula la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y
(b,f(b)). La ecuación de dicha recta viene dada por la expresión :
x −a
y − f (a)
=
f (b) − f (a)
b−a
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Método de la Regula Falsi
En el método de la Regula Falsi el punto x para dividir el intervalo [a, b]
es el punto donde se anula la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y
(b,f(b)). La ecuación de dicha recta viene dada por la expresión :
x −a
y − f (a)
=
f (b) − f (a)
b−a
Por tanto, el punto x que se utiliza para dividir el intervalo es :
?
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Método de la Regula Falsi
En el método de la Regula Falsi el punto x para dividir el intervalo [a, b]
es el punto donde se anula la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y
(b,f(b)). La ecuación de dicha recta viene dada por la expresión :
x −a
y − f (a)
=
f (b) − f (a)
b−a
Por tanto, el punto x que se utiliza para dividir el intervalo es :
x =a−
b−a
f (a)
f (b) − f (a)
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El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Método de Newton-Raphson
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Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 .
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Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + ?
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Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + ?
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Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
2! (x
− x0 )2 + .. + ?
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Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
2! (x
− x0 )2 + .. +
f n) (x0 )
n! (x
− x0 )n + .
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Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
La ecuación anterior es la recta tangente en x0 , si la igualamos a cero
y despejamos obtenemos :
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
La ecuación anterior es la recta tangente en x0 , si la igualamos a cero
y despejamos obtenemos :
x1 = x0 −
f (x0 )
f 0 (x0 )
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson
En el método de Newton-Raphson, a partir de una aproximación inicial
x0 del cero de la función, se va actualizando dicho punto a través del
cero de la recta tangente en x0 . Para calcular la recta tangente
utilizaremos el desarrollo de Taylor de una función que es :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
La ecuación anterior es la recta tangente en x0 , si la igualamos a cero
y despejamos obtenemos :
x1 = x0 −
f (x0 )
f 0 (x0 )
En general, partir de x0 obtenemos una secuencia xn de valores que
van aproximando la raíz, definidos por
n)
xn+1 = xn − ff0(x
(xn )
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson. Criterios de convergencia
En el método de Newton-Raphson el criterio de convergencia habitual
es :
|xn+1 − xn | ≤ (|xn+1 | + )TOL
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson. Criterios de convergencia
En el método de Newton-Raphson el criterio de convergencia habitual
es :
|xn+1 − xn | ≤ (|xn+1 | + )TOL
Hay que poner un número máximo de iteraciones porque el método
puede no converger.
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson. Criterios de convergencia
En el método de Newton-Raphson el criterio de convergencia habitual
es :
|xn+1 − xn | ≤ (|xn+1 | + )TOL
Hay que poner un número máximo de iteraciones porque el método
puede no converger.
Además, el algoritmo se puede bloquear cuando ?
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Newton-Raphson. Criterios de convergencia
En el método de Newton-Raphson el criterio de convergencia habitual
es :
|xn+1 − xn | ≤ (|xn+1 | + )TOL
Hay que poner un número máximo de iteraciones porque el método
puede no converger.
Además, el algoritmo se puede bloquear cuando f 0 (xn ) = 0
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Cálculo de los ceros de una función. Pseudocódigo
para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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Cálculo de los ceros de una función. Pseudocódigo
para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
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si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
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finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
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finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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Cálculo de los ceros de una función. Pseudocódigo
para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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Cálculo de los ceros de una función. Pseudocódigo
para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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Cálculo de los ceros de una función. Pseudocódigo
para calcular la raiz cuadrada de un número.
Algoritmo Raiz_Cuadrada
variables reales A,TOL
variable entera Nmax
variables reales X0, X1
leer(A,TOL)
leer(Nmax)
si A<0 entonces
escribir(’El numero A no es positivo’)
devolver CODIGO DE ERROR
finsi
X0←1
para K←1 hasta Nmax hacer
X1←X0-(X0*X0-A)/(2.*X0)
si | X 0 − X 1 | <| X 1 | * TOL entonces
escribir (’LA RAIZ DE A ES’,X0)
devolver X1
sino
X0←X1
finsi
finpara
escribir(’No máximo de iterac. excedido’)
devolver CODIGO DE ERROR
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Contenido
1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Cálculo de los ceros de una función
El método de la Secante
El método de la Secante es una variante del método de Newton para
el caso en que no sea posible calcular la derivada de f (x) de una
forma analítica.
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Cálculo de los ceros de una función
El método de la Secante
El método de la Secante es una variante del método de Newton para
el caso en que no sea posible calcular la derivada de f (x) de una
forma analítica. En este caso, se sustituye el valor f 0 (xn ) en el
algoritmo, por el valor
f (xn ) − f (xn−1 )
xn − xn−1
que corresponde a una aproximación de f 0 (xn ). Para iniciar el
algoritmo, son necesarias dos aproximaciones iniciales, x0 y x1 .
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Cálculo de los ceros de una función
Método de la Secante
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Método de la Secante
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Método de la Secante
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Método de la Secante
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1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
En el método de Müller, hacemos una aproximación parabólica de una
función. A partir de una aproximación inicial x0 del cero de la función,
se calcula la parábola tangente a x0 :
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
En el método de Müller, hacemos una aproximación parabólica de una
función. A partir de una aproximación inicial x0 del cero de la función,
se calcula la parábola tangente a x0 :
f (x) h f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
2! (x
− x0 )2
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
En el método de Müller, hacemos una aproximación parabólica de una
función. A partir de una aproximación inicial x0 del cero de la función,
se calcula la parábola tangente a x0 :
f (x) h f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
2! (x
− x0 )2
Se calculan las 2 raices de la parábola y se actualiza el valor de x0
tomando la raiz más cercana.
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
En el método de Müller, hacemos una aproximación parabólica de una
función. A partir de una aproximación inicial x0 del cero de la función,
se calcula la parábola tangente a x0 :
f (x) h f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
2! (x
− x0 )2
Se calculan las 2 raices de la parábola y se actualiza el valor de x0
tomando la raiz más cercana.
Si no tenemos acceso a las funciones derivadas, hay que
aproximarlas. Para ello vamos a tener una secuencia xn de valores
que van aproximando la raíz.
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
En el método de Müller, hacemos una aproximación parabólica de una
función. A partir de una aproximación inicial x0 del cero de la función,
se calcula la parábola tangente a x0 :
f (x) h f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
2! (x
− x0 )2
Se calculan las 2 raices de la parábola y se actualiza el valor de x0
tomando la raiz más cercana.
Si no tenemos acceso a las funciones derivadas, hay que
aproximarlas. Para ello vamos a tener una secuencia xn de valores
que van aproximando la raíz.
En cada etapa, para pasar de xn−1 a xn , calculamos f 0 (xn ), f 00 (xn )
utilizando los valores xn−1 , xn−2 , xn−3 de la siguiente forma :
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
f (x) ≈ f (xn−1 ) + f 0 (xn−1 )(x − xn−1 ) +
f 00 (xn−1 )
(x − xn−1 )2
2
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
f (x) ≈ f (xn−1 ) + f 0 (xn−1 )(x − xn−1 ) +
xn = xn−1 +
−f 0 (xn−1 ) ±
f 00 (xn−1 )
(x − xn−1 )2
2
q
(f 0 (xn−1 ))2 − 2f (xn−1 )f 00 (xn−1 )
f 00 (xn−1 )
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
f (x) ≈ f (xn−1 ) + f 0 (xn−1 )(x − xn−1 ) +
xn = xn−1 +
00
−f 0 (xn−1 ) ±
f (xn−1 ) ≈ 2
f 00 (xn−1 )
(x − xn−1 )2
2
q
(f 0 (xn−1 ))2 − 2f (xn−1 )f 00 (xn−1 )
f 00 (xn−1 )
f (xn−2 )−f (xn−3 )
xn−2 −xn−3
−
f (xn−1 )−f (xn−2 )
xn−1 −xn−2
xn−3 − xn−1
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
f (x) ≈ f (xn−1 ) + f 0 (xn−1 )(x − xn−1 ) +
xn = xn−1 +
00
−f 0 (xn−1 ) ±
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q
(f 0 (xn−1 ))2 − 2f (xn−1 )f 00 (xn−1 )
f 00 (xn−1 )
f (xn−1 ) ≈ 2
f 0 (xn−1 ) ≈
f 00 (xn−1 )
(x − xn−1 )2
2
f (xn−2 )−f (xn−3 )
xn−2 −xn−3
−
f (xn−1 )−f (xn−2 )
xn−1 −xn−2
xn−3 − xn−1
f (xn−1 ) − f (xn−2 ) f 00 (xn−1 )
+
(xn−1 − xn−2 )
xn−1 − xn−2
2
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Cálculo de los ceros de una función
Método de Müller
f (x) ≈ f (xn−1 ) + f 0 (xn−1 )(x − xn−1 ) +
xn = xn−1 +
00
−f 0 (xn−1 ) ±
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q
(f 0 (xn−1 ))2 − 2f (xn−1 )f 00 (xn−1 )
f 00 (xn−1 )
f (xn−1 ) ≈ 2
f 0 (xn−1 ) ≈
f 00 (xn−1 )
(x − xn−1 )2
2
f (xn−2 )−f (xn−3 )
xn−2 −xn−3
−
f (xn−1 )−f (xn−2 )
xn−1 −xn−2
xn−3 − xn−1
f (xn−1 ) − f (xn−2 ) f 00 (xn−1 )
+
(xn−1 − xn−2 )
xn−1 − xn−2
2
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Método de Müller
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Método de Müller
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Método de Müller
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Método de Müller
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Funciones matemáticas en C
#include <math.h>
√
raiz cuadrada x
sqrt(double x)
sqrtf(float x)
sqrtl(long double x)
exponencial ex
exp(double x)
expf(float x)
expl(long double x)
Como usar las funciones matematicas con real
sqrtl( (long double) real x)
expl( (long double) real x)
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Funciones matemáticas en C
#include <math.h>
√
raiz cuadrada x
sqrt(double x)
sqrtf(float x)
sqrtl(long double x)
exponencial ex
exp(double x)
expf(float x)
expl(long double x)
Como usar las funciones matematicas con real
sqrtl( (long double) real x)
expl( (long double) real x)
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Funciones matemáticas en C
#include <math.h>
√
raiz cuadrada x
sqrt(double x)
sqrtf(float x)
sqrtl(long double x)
exponencial ex
exp(double x)
expf(float x)
expl(long double x)
Como usar las funciones matematicas con real
sqrtl( (long double) real x)
expl( (long double) real x)
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Funciones matemáticas en C
#include <math.h>
√
raiz cuadrada x
sqrt(double x)
sqrtf(float x)
sqrtl(long double x)
exponencial ex
exp(double x)
expf(float x)
expl(long double x)
Como usar las funciones matematicas con real
sqrtl( (long double) real x)
expl( (long double) real x)
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Contenido
1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Cálculo de los ceros de una función
Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 =
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 =
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Cálculo de los ceros de una función
Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 =
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Cálculo de los ceros de una función
Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((?
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)?
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)?
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)?
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)x + 4
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)x + 4
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((?
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)x + 4
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((x − 1)?
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Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)x + 4
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((x − 1)x + 1)?
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)x + 4
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((x − 1)x + 1)x − 1)?
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio en un punto
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
Ejemplos:
P(x) = x 4 − 2x 3 + 3x + 4 = (((x − 2)x + 0)x + 3)x + 4
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
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Contenido
1
Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
P 0 (2) = 4(2)2 +
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
P 0 (2) = 4(2)2 + 5(2)
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = 4x 3 − 3x 2 − 2x + 1 = ((4x − 3)x − 2)x + 1
P(2) = ((4(2) − 3)2 − 2)2 + 1 = ((5)2 − 2)2 + 1 = (8)2 + 1 = 17
P 0 (2) = 4(2)2 + 5(2) + 8
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 =
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((1x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
P(3) = ?
P 0 (3) = ?
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((1x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
P(3) = 1
P 0 (3) = 1(3)3 + ?
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((1x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
P(3) = 2
P 0 (3) = 1(3)3 + 2(3)2 + ?
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((1x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
P(3) = 7
P 0 (3) = 1(3)3 + 2(3)2 + 7(3)1 + ?
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Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((1x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
P(3) = 20
P 0 (3) = 1(3)3 + 2(3)2 + 7(3)1 + 20
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Caso especial de un polinomio
Algoritmo de Horner para evaluar la derivada de un polinomio en un
punto. Se evalua simultáneamente el polinomio y su derivada
P(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = (((1x − 1)x + 1)x − 1)x + 1
P(3) = 61
P 0 (3) = 1(3)3 + 2(3)2 + 7(3)1 + 20
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Introducción
2
El método de la bisección
3
El método de la Regula-Falsi
4
El método de Newton-Raphson
5
El método de la secante
6
El método de Müller
7
Cálculo de los ceros de un polinomio
8
El algoritmo de Horner para evaluar un polinomio y su derivada
9
Separación en intervalos de los ceros de un polinomio
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Cálculo de los ceros de una función
Aislar todos los ceros de un polinomio en un sólo intervalo
Teorema
Sea un polinomio P(x) = an x n + an−1 x n−1 + ...... + a0 con an 6= 0,
entonces las raíces reales de P(x) están en el intervalo
maxk =0,..,n−1 | ak |
maxk =0,..,n−1 | ak |
,1 +
−1 −
| an |
| an |
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Aislar todos los ceros de un polinomio en un sólo intervalo
Teorema
Sea un polinomio P(x) = an x n + an−1 x n−1 + ...... + a0 con an 6= 0,
entonces las raíces reales de P(x) están en el intervalo
maxk =0,..,n−1 | ak |
maxk =0,..,n−1 | ak |
,1 +
−1 −
| an |
| an |
Ejemplo
El polinomio P(x) = 4x 3 − 8x 2 + x − 3 tiene todas sus raíces en el
intervalo
?
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Aislar todos los ceros de un polinomio en un sólo intervalo
Teorema
Sea un polinomio P(x) = an x n + an−1 x n−1 + ...... + a0 con an 6= 0,
entonces las raíces reales de P(x) están en el intervalo
maxk =0,..,n−1 | ak |
maxk =0,..,n−1 | ak |
,1 +
−1 −
| an |
| an |
Ejemplo
El polinomio P(x) = 4x 3 − 8x 2 + x − 3 tiene todas sus raíces en el
intervalo
[−3, 3]
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
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Cálculo de los ceros de un polinomio
Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
Calculamos el intervalo [−a, a] donde se encuentran todas las
raíces
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
Calculamos el intervalo [−a, a] donde se encuentran todas las
raíces
Derivamos n − 1 veces el polinomio, obteniendo el polinomio
P n−1) (x) de grado 1
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
Calculamos el intervalo [−a, a] donde se encuentran todas las
raíces
Derivamos n − 1 veces el polinomio, obteniendo el polinomio
P n−1) (x) de grado 1
Calculamos la raiz x0n−1 de P n−1) (x)
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
Calculamos el intervalo [−a, a] donde se encuentran todas las
raíces
Derivamos n − 1 veces el polinomio, obteniendo el polinomio
P n−1) (x) de grado 1
Calculamos la raiz x0n−1 de P n−1) (x)
n−2 n−2
n−2) (x) en los
Calculamos
h las raíces
i xh0 , x1 i del polinomio P
intervalos −a, x0n−1 y x0n−1 , a
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
Calculamos el intervalo [−a, a] donde se encuentran todas las
raíces
Derivamos n − 1 veces el polinomio, obteniendo el polinomio
P n−1) (x) de grado 1
Calculamos la raiz x0n−1 de P n−1) (x)
n−2 n−2
n−2) (x) en los
Calculamos
h las raíces
i xh0 , x1 i del polinomio P
intervalos −a, x0n−1 y x0n−1 , a
n−3 n−3 n−3
n−3) (x) en
Calculamos las
h raíces xi0 h , x1 , x2 idel polinomio
h
i P
los intervalos −a, x0n−2 , −x0n−2 , x1n−2 , y x1n−2 , a
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Aislar cada raíz en un intervalo diferente
Procedimiento para aislar las raíces de un polinomio P(x) de grado n.
Calculamos el intervalo [−a, a] donde se encuentran todas las
raíces
Derivamos n − 1 veces el polinomio, obteniendo el polinomio
P n−1) (x) de grado 1
Calculamos la raiz x0n−1 de P n−1) (x)
n−2 n−2
n−2) (x) en los
Calculamos
h las raíces
i xh0 , x1 i del polinomio P
intervalos −a, x0n−1 y x0n−1 , a
n−3 n−3 n−3
n−3) (x) en
Calculamos las
h raíces xi0 h , x1 , x2 idel polinomio
h
i P
los intervalos −a, x0n−2 , −x0n−2 , x1n−2 , y x1n−2 , a
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Continuamos de esta manera hasta llegar a las raíces de P(x)
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