El efecto fotoeléctrico.

El efecto fotoeléctrico.
En una esquina de un laboratorio oscurecido se encuentra una máquina eléctrica
que consta de dos esferas metálicas. Se trata de una máquina común para producir
“chispazos” eléctricos, a la cual se le han añadido dos placas metálicas mediante
barras conductoras delgadas, como si se le hubiesen añadido enormes orejas a ese
monstruo de dos ojos.
En otra mesa se encuentra un arillo incompleto, de alambre rígido, montado en
un soporte aislante. Para el experimentador el pequeño espacio entre los extremos del
arillo incompleto es la parte crucial de todo el dispositivo. Si sus conjeturas son
correctas, en ese lugar el secreto será revelado.
Todo está dispuesto y el experimentador cierra un interruptor para iniciar las
ráfagas de crujientes chispas entre las esferas. Dando la espalda a las resplandecientes
chispas, espera a que sus ojos se acostumbren a la oscuridad. ¿Es su imaginación o
realmente esta viendo un leve resplandor en el espacio faltante del arillo? No puede
estar seguro; podría tratarse tan solo de un reflejo. Con cuidado gira un tornillo que
hace que el espacio incompleto se reduzca. A medida que los extremos del arillo se
acercan, el resplandor se hace más intenso. Los acerca más y más, hasta que casi se
tocan. Ahora ya no hay duda alguna. El experimentador suspira satisfecho: a través del
espacio incompleto del arillo cruzan chispas eléctricas.
En esta forma extrañamente simple fue que, en 1887, el joven físico aleman
Heinrich Herz detectó, por primera vez, y de manera ingeniosa, una señal de radio1.
Rayos X
A
V
Figua
5-14.
Dispositivo
producir el efecto foteléctrico.
para
Cuando Heinrich Hertz realizaba
su experimento para generar ondas
electromagnéticas y corroborar así la
predicción de James Clerk. Maxwell
(1864) de que la luz era radiación
electromagnética, observó y reportó
un sutil efecto que se producía en una
parte de su aparato: cuando la luz
producida durante la descarga
eléctrica en las esferas incidía en la
ranura del arillo, la intensidad de la
descarga
inducida
aumentaba.
Aunque el fenómeno llamó la atención
de la comunidad científica, todos los
intentos para explicarlo con la Física
conocida fallaron. Fue hasta 1905,
cuando Albert Einstein abordó el
problema, retomando (y avanzando)
la hipótesis cuántica de Planck, que
se contó con una explicación
satisfactoria de este fenómeno.
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones (llamados
fotoelectrones) desde la superficie de un material cuando sobre ésta incide
1
Traducción libre del texto de The strange story of the quantum de Banes Hoffmann, Dover 1959
radiación electromagnética. El estudio de las características de este fenómeno
puede hacerse utilizando un dispositivo experimental como el que se muestra
esquemáticamente en la Fig. 5-11. En un tubo evacuado se coloca un
fotocátodo
y un ánodo conectados a una fuente de voltaje variable. Además se incluye un
dispositivo (interruptor) que permite invertir la polaridad del voltaje aplicado. Al
iluminar el fotocátodo con luz monocromática de frecuencia ν, se establece una
fotocorriente que varía con el voltaje aplicado en la forma mostrada en la Fig. 512. Los resultados experimentales obtenidos son los siguientes:
i
a) En términos generales, la
fotocorriente se establece aun si no
hay voltaje aplicado, lo cual significa
I3
que al menos algunos de los
I2
fotoelectrones emitidos tienen una
I1
energía cinética suficiente como
para llegar al ánodo. De hecho, para
V
Vmax
que la fotocorriente cese, se tiene
que aplicar un voltaje inverso para
frenar a los fotoelectrones más
veloces. El valor Vmax de este voltaje
Figura 5-15. Variación de i con I
de frenado, multiplicado por la carga
para ν = cte.
del electrón, es una medida de la
energía cinética máxima que pueden
adquirir
algunos
de
los
i
fotoelectrones emitidos por el
I = cte.
fotocátodo (Fig. 5-12).
i
b)
Al aumentar la intensidad
de la radiación, manteniendo su
I3
frecuencia fija, la fotocorriente
aumenta pero el voltaje inverso
ν3
ν2 ν1
necesario para que la fotocorriente
llegue a cero es independiente de la
-V1 -V2 -V3
intensidad; es decir, la energía
V
cinética máxima no cambia con la
intensidad de la radiación.
Figura 5-16. Variación de i
c)
Manteniendo
una
con V para I = cte.
intensidad constante, el voltaje de
frenado, o potencial retardador,
aumenta al aumentar la frecuencia de
la radiación incidente (Fig. 5-13).
d)
Existe una frecuencia umbral por debajo de la cual no se produce
la emisión de fotoelectrones, sin importar cual sea la intensidad de la radiación
incidente.
e)
Cuando la frecuencia de la radiación es mayor o igual que la
umbral, la emisión de los fotoelectrones es esencialmente instantánea, sin
importar que tan débil sea su intensidad. La energía cinética máxima de los
fotoelectrones, medida por el voltaje de frenado (Tmax = -eVmax), es una función
sólo de la frecuencia de la radiación y no de su intensidad.
ν = cte.
Vmax
K
Cs
W
ν
f)
En cada metal, la energía
cinética máxima varía linealmente
con la frecuencia de la radiación; es
decir,
- eVmax = Tmax = aν + b
(5-20)
y el valor de la constante a es
independiente del material del cual
esté hecho el fotocátodo (ver la Fig
5-14).
Como ya mencionamos, el fenómeno permaneció sin explicación hasta que,
en 1905, A. Einstein retoma la hipótesis de Planck, que también había estado
abandonada desde 1900, para explicarlo. Más aun, propone que no solo las
energías de las oscilaciones de los osciladores armónicos, por los cuales
sustituyó a las partículas constituyentes de las paredes de la cavidad radiante,
están cuantizadas, sino que la energía misma de la radiación absorbido o
emitida por estos osciladores está cuantizada. Es decir, la energía es absorbida
o emitida en “paquetes” localizados y no de manera continua; en este sentido,
el comportamiento de la radiación electromagnética se asemeja más al de un
corpúsculo, de energía hν, que al de una onda. De hecho, en 1926 Gibert
Lewis bautizó a estos paquetes con el nombre de fotones.
Este punto de vista supone entonces que la intensidad de un haz
luminoso ha de asociarse con el número N de fotones que lo constituyen, y que
al llegar a la superficie de un metal serán absorbidos, como unidades, por los
electrones presentes en el material. Entonces puede ocurrir que la energía
cinética adquirida por los electrones sea suficiente como para hacer que
algunos de éstos “abandonen” al material. Cuántos de ellos lo hacen, y con que
energía cinética, depende, desde luego, de su ubicación dentro del material. Si
se encuentran muy cerca de la superficie del metal, encontrarán pocos
obstáculos en su camino de escape; por el contrario, si se encuentran en una
región muy interna en el metal, difícilmente podrán abandonarlo. Es decir, la
energía cinética T de los fotoelectrones debe estar determinada por la siguiente
ecuación:
Figura 5-17. Variación de Vmax
con ν.
T = E - φ = hν – φ,
(5-21)
en donde φ representa la energía disipada por un electrón cualquiera en su
camino de escape del metal. De entre todos los electrones desprendidos del
metal, los más cercanos a su superficie disiparán la menor energía posible, a la
que llamaremos φ0 y, en consecuencia, serán los que adquieran la mayor
energía cinética. Para ellos se debe cumplir
Tmax = hν - φ0 = -eVmax,
(5-22)
que concuerda con los resultados experimentales. Más aun, de la pendiente de
las rectas experimentales, que es, según este modelo, m = h/e, se obtiene el
mismo valor numérico para h obtenido por Planck del análisis de la radiación
del cuerpo negro.
La hipótesis de de Broglie.
Aburrido de la frivolidad de la nobleza francesa de principios del siglo XX,
el príncipe Louis Víctor de Broglie (1892-1987) decidió dedicarse a la vida
académica y, después de graduarse en Letras, inició sus estudios en Física. En
1924 presentó su tesis doctoral en la que expuso una hipótesis asociada con
una aparente falta de simetría de la naturaleza, cuyo origen radicaba en la
interpretación “corpuscular” del efecto fotoeléctrico propuesta por Einstein.
Hasta antes de esta explicación se consideraba a la luz como un fenómeno
ondulatorio; en el efecto fotoeléctrico la luz presentaba características
corpusculares. ¿No debería suceder que, en ciertas circunstancias, las
partículas presentasen aspectos ondulatorios?
Para llegar a su hipótesis, de Broglie procedió asociando primero un
proceso periódico interno, de frecuencia ν, a los fragmentos de energía
aislados que ahora llamamos fotones, para después sugerir que con una
partícula también debería estar asociado un proceso interno de frecuencia
definida. Después de todo, ¿no se puede considerar que una partícula también
es un fragmento aislado de energía? Sin embargo, aquí presentaremos una
forma mucho más simple de llegar al importante resultado propuesto por de
Broglie, basada en un argumento de simetría.
Si con un fotón de energía E = hν podemos asociar, según Einstein, un
ímpetu de magnitud p = hν/c = h/λ, dirigido en la dirección de propagación del
fotón, entonces con una partícula de ímpetu p = mv = γm0v y energía E = mc2 =
γm0c2, podemos asociar una longitud de onda λ = h/p, llamada longitud de onda
de de Broglie.
Pero ¿de qué clase de onda estamos hablando? ¿Qué es lo que
“ondula”? Más aun, si calculamos la rapidez u = λν de estas ondas obtenemos
¡ u = λν = h E = mc
ph
2
mv
=
c2
>c
v
!
(5-52)
De Broglie resolvió formalmente este último problemas asociando un
grupo de ondas (que ahora llamamos ondas de materia) con la partícula en
movimiento, de forma que la rapidez u está asociada con la llamada velocidad
de fase (la velocidad con la que se mueve una “cresta” determinada respecto
de las otras) de las ondas y no con la velocidad de la partícula.
Relaciones de indeterminación de Heisenberg.
Basándose en los resultados de Thomson y de Davison y Germer, en
1927 W. Heisenberg propuso el siguiente experimento pensado: Si un haz de
electrones monoenergéticos se hace pasar perpendicularmente a una pantalla
que tiene una rendija de ancho d, sufrirá una difracción tal que la posición del
primer mínimo quedará determinada por la fórmula de Bragg (ver la figura 5-21)
dsenθ = nλ
(5-53)
Esto significa que en su paso a
través de la rendija los electrones
adquieren una componente de ímpetu
“lateral” (es decir, perpendicular a la
dirección de su movimiento original)
que los desvía de su trayectoria. El
primer mínimo está determinado por:
dsenθ ∼ λ
así que
θ
Δp
senθ ∼ λ/d = λ/Δx
en donde Δx = d es la máxima
incerteza en la posición x de los
electrones al pasar por la rendija. Por
otra parte
θ
p
senθ = Δpt/pt = Δp/p
Figura 5-21 Experimento pensado
para obtener las relaciones de
indeterminación entre posición e
ímpetu.
en donde Δp es el ímpetu lateral (en la
dirección
x)
adquirido
por
los
electrones. Entonces
Δp = p senθ
Por lo tanto
Δp ∼ pλ/Δx = hλ/λΔx = h/Δx
y, en consecuencia,
ΔxΔp ∼ h
(5-53)
La confirmación en el laboratorio de este experimento pensado no solo
dio validez a esta relación de indeterminación de Heisenberg, sino que también
sustentó solidamente la concepción del comportamiento dual de la materia, ya
que no resulta fácil encontrar una explicación “corpuscular” semejante a la de
Duane para este tipo de experimentos.
Por otra parte, no resulta difícil mostrar que si la relación anterior se
cumple, también se debe cumplir que
ΔEΔt ∼ h
En efecto, si incluimos la indeterminación del ímpetu en la ecuación
clásica de la conservación de la energía obtenemos
2
( p + Δp ) + V(r) = E + ΔE
−
2m
en donde r se refiere a las coordenadas espaciales. De esta ecuación se
−
obtiene
pip piΔp ΔpiΔp
+
+
+ V(r) = E + ΔE
−
2m
m
2m
Ignorando el término Δp2 y considerando el problema en una dimensión resulta
que
pΔp mΔx Δp ΔxΔp
=
=
= ΔE
Δt m
m
Δt
y, en consecuencia,
ΔxΔp = ΔEΔt ∼ h