Determinación de realimentación estática

Determinación de realimentación estática
Teorema para la asignación de polos
1. Es condición suficiente y necesaria para la asignación arbitraria
de polos que el sistema (@ssx)
ẋ = A x + B u
sea completamente controlable.
(Sin demostración, cf. @Ogata2010)
Por medio de transformación de coordenadas
I
I
Encontrar el valor de la realimentación estática K para el caso
de un sistema en la forma controlable es simple.
El problema es cuando el sistema no esta en la forma
controlable.
I
Hay que transformar el sistema a forma controlable.
1. Hay que encontrar una transformación de coordenadas
x = T x̂
2. Se aplica al sistema dinámico
x̂˙ = T −1 AT x̂ + T −1 Bu
I
Para este caso T es
T = CW

an−1 an−2 · · · a1 1
an−2 an−3 · · · 1 0



..
.. .. 
..
W =  ...

.
.
.
.


 a1
1
· · · 0 0
1
0
··· 0 0
* ai son los coeficientes son los coeficientes del polinomio

Procedimiento
Sea el sistema
2. ẋ = Ax + Bu
1. Determinar si el sistema (2) es completamente controlable.
2. Obtener los coeficientes del polinomio característico de (2)
|sI − A| = s n + a1 s n−1 + a2 s n−2 + · · · + an−1 s + an .
3. Determinar la transformación T.
4. A partir de los polos deseados obtener los coeficientes del
polinomio característico deseado
(s −µ1 ) · · · (s −µn ) = s n +α1 s n−1 +α2 s n−2 +· · ·+αn−1 s +αn .
5. Obtener la matriz K
K = αn − an αn−1 − an−1 · · ·
α1 − a 1
T −1
Ejemplo 1
Sea el sistema
!
ẋ =
!
0 −2
−1
x+
u
1 −1
0
Ejemplo 1: Determinar si el sistema es completamente
controlable
I
La matriz de controlabilidad es
C=
I
Sí es controlable.
−1 0
0 −1
!
Ejemplo 1: Obtener los coeficientes del polinomio
característico
|sI − A| = s 2 + s + 2
Ejemplo 1: Determinar la transformación T
I
Determinar la matriz W
W =
I
1 1
1 0
!
Determinar T = CW
T =
−1 −1
−1 0
!
Ejemplo 1: Obtener los coeficientes del polinomio
característico deseado
(s + 1)(s + 2) = s 2 + 3s + 2
Ejemplo 1: Obtener la matriz K
K = αn − an αn−1 − an−1 · · ·
K = 2−2 3−1
α 1 − a1
!
−1 −1 −1
−1
K = −2 2
0
T −1
Ejemplo 2
Sea el sistema
!
ẋ =
!
0
1
−1
x+
u
−1 −1
1
Ejemplo 2: Determinar si el sistema es completamente
controlable
I
La matriz de controlabilidad es
C=
I
Sí es controlable.
−1 1
1 0
!
Ejemplo 2: Obtener los coeficientes del polinomio
característico
|sI − A| = s 2 + s + 1
Ejemplo 2: Determinar la transformación T
I
Determinar la matriz W
W =
I
1 1
1 0
!
Determinar T = CW
!
T =
0 −1
1 1
Ejemplo 2: Obtener los coeficientes del polinomio
característico deseado
(s + 1)(s + 2) = s 2 + 3s + 2
Ejemplo 2: Obtener la matriz K
K = αn − an αn−1 − an−1 · · ·
α 1 − a1
!
0 −1 −1
K = 2−1 3−1
K = −1 1
1
1
T −1