respuestas a actividades y ejercicios

Seminario Universitario – Matemática
EJERCICIOS – MÓDULO 4
Geometría plana
1) ¿Cuántos vértices tiene un polígono cuyo número total de diagonales es 9?
2) ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual la suma de las medidas de los
ángulos interiores es cinco veces la suma de las medidas de los ángulos
exteriores?
3) Si en un polígono el número de lados es igual al número total de diagonales.
La amplitud de sus ángulos interiores: ¿Sumarán 420º; 540º ó 720º?
4) Si el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un
polígono es igual a la suma de los ángulos interiores dividido por 240°, ¿de cuál
polígono se trata? Ayuda: 1R = 90°.
5) La razón de la suma de los ángulos interiores de un polígono a la suma de los
ángulos exteriores es de 5:1 ¿De qué polígono se trata?
6) Calcular el área de la parte sombreada, si el radio del
círculo mayor mide 6 cm, el radio de los círculos pequeños
mide 2 cm.
7) El área de un círculo es 60 π cm2 menor que el área de
uno cuyo radio es 6 cm mayor. Encontrar el radio del círculo más pequeño.
8) Calcular el radio y el área de un círculo cuya longitud de la circunferencia
mide 25,12 cm.
9) Calcula el radio y la longitud de un círculo cuya área mide 28,26 dm2.
10) Se rodea con una cuerda un balón. A continuación se mide la longitud del
trozo de la misma. ¿Cuál es el radio del balón si el trozo de cuerda mide 94,20
cm de longitud?
113
Módulo 4: Geometría
11) En la figura α +=
β δ y=
α 2 β , entonces
los ángulos α , β y δ miden respectivamente:
a) 90º; 60º y 30º.
b) 60º, 30º y 90º.
c) 45º, 45º y 90º.
d) 120º, 60º y 180º
12) Sobre dos rectas paralelas L1 y L2, se graficaron dos triángulos como se


indica en la figura, el ABC es equilátero y el BED es isósceles de base BD .
¿Cuánto mide el ángulo α?
13) El lado mayor de un triángulo es 4 cm más largo que el lado menor. El tercer
lado tiene 14 cm menos que el triple de la longitud del lado menor. Si el
perímetro es30 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
14) ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área?
Justificar la respuesta.
15)
Los fotógrafos pueden usar ascensores de tijeras
para fotos panorámicas, como se muestra en la
figura. Las vigas que se cruzan del ascensor forman
paralelogramos que se mueven juntos para subir y

bajar la plataforma. Utilizando ABCD , ¿cuál es la
 cuando=

amplitud de B
A 120° ?

16) En el KLMN , ¿cuál es el valor de α̂ ?
a) 5º; b) 20º; c) 40º; b) 52º;
3 α + 50º
2 α + 30º
17) El perímetro de un rectángulo es de 50 cm y el ancho es 2/3 de la altura.
Encontrar las dimensiones del rectángulo.
114
Seminario Universitario – Matemática
18) El triple de la longitud de un lote rectangular supera en 60 pies al doble del
ancho. El perímetro es de 350 pies, determinar el área del lote en m2. Ayuda:
1 m ≅ 3,28 pies .
19) Un granjero desea encerrar un campo rectangular y
dividirlo en tres partes iguales con un cerco, como se
observa en la figura. Si la longitud del campo es tres
veces el ancho y se requieren 1000 m de cerco, ¿cuáles
son las dimensiones del campo?
20) Hallar el área de un rombo si su diagonal mayor mide 24 cm y su diagonal
menor mide 3/4 de la diagonal mayor.
21) Si el lado de un cuadrado aumenta 5 cm, su área se multiplica por 4. ¿Cuál
era el lado inicial del cuadrado?
22) Calcular el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonal mayor y menor
miden 8 cm y 6 cm respectivamente.
23) Calcular el lado de un rombo cuyo perímetro es de 40 cm.
24) Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,
c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c, Hallar su área en cm2.
25) El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 m y
30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
26) Hallar el área de un trapecio cuya base mayor mide 24 cm, la base menor
mide la tercera parte de la base mayor y la altura mide la cuarta parte de la
base mayor.
27) Las farolas de una ciudad tienen la forma que se
observa en la imagen. Los cristales de la parte superior
tienen 26,7 cm de arista superior, 30,7 cm de arista
inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la parte
inferior tienen 30,7 cm de arista superior, 21 cm de arista
inferior y 37,2 cm de arista lateral. ¿Qué cantidad de cristal tiene cada farola?
28) El área de un cuadrado excede a la de un rectángulo en 8 cm2. Hallar el lado
del cuadrado sabiendo que el ancho del rectángulo es 4 cm más pequeño que el
lado del cuadrado y que la altura de aquél es 6 cm mayor que éste.
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Módulo 4: Geometría
29) ¿Cuál es el área de la figura ABCDE siguiente?
30) En un rectángulo ABCD tal que BC = 12 cm ,
se
han
dibujado
el

AEF
equilátero.
AE
= EB
= 7 cm , además un rectángulo de ancho
igual a la tercera parte de BC y de largo a la
mitad de AB . ¿Cuál es el perímetro del área
sombreada?
31) Calcular el perímetro y el área de esta figura:
32) Una pista para carreras tiene la forma que se ilustra en la figura, con lados
rectos y extremos semicirculares. Si la pista mide en total 4400 m y los dos
lados rectos miden 1100 m de largo cada uno. ¿Cuál es el radio de las partes
semicirculares aproximado a los metros más cercanos?
33) Obtener el área sombreada en cm2 de la figura sombreada, sabiendo que:
AB
= 1200 mm y BC
= EF
= 600 mm
116
Seminario Universitario – Matemática
34) Completar el texto y justificar.
Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos
isósceles cuyas bases son la diagonal, sin embargo los ángulos en la base de un
triángulo miden el doble de los ángulos basales del otro; por lo tanto dicho
cuadrilátero se trata de un ….
35) Observar el siguiente diagrama, y
responder:
¿qué
figura
geométrica
corresponde al recinto 1?
36)
La figura coloreada no es un rombo, pero tiene las
diagonales perpendiculares. Justificar que también se
puede calcular su área mediante la fórmula:
D. d
2
37) El perímetro de un pentágono regular es 45 cm y su apotema mide 6,4 cm.
¿Cuál es su área?
38) Calcular la apotema de un pentágono de 5 m de lado y 50 m2 de área.
39) Hallar la amplitud de un ángulo exterior de un octógono regular.
40) El área de un cuadrado es de 2304 cm2. Calcular el área de un hexágono
regular que tiene su mismo perímetro.
41) Se hace un recipiente con un pequeño pedazo de estaño cuadrado cortando
un cuadrado de 3 cm de cada esquina y doblando los lados como se observa en
la figura. Si el recipiente va a atener un volumen de 48 cm3, encontrar la
longitud del lado del pedazo de estaño original.
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Módulo 4: Geometría
Geometría del espacio
42) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un prisma
triangular de 7,9 cm de alto y 1,5 cm de arista de la base.
43) Las dimensiones de un tetrabrik son 16,3 cm de alto, 9,6 cm de largo y 6,3
cm de ancho. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para
su construcción?
44) Calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal
regular de 5 cm de arista básica, de 12 cm de altura y 14 cm de arista lateral.
45) Calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular
regular de 10 cm de arista básica y de 12 cm de altura.
46) Calcular el área lateral y el volumen de una pirámide cuadrangular regular
de 8 cm de arista básica y el área lateral es el doble del área de la base.
47) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyas caras
laterales con triángulos equiláteros de 24,3 cm de perímetro.
48) Calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal
regular de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.
49) Calcular el área total de una pirámide que tiene: por base un rectángulo
cuyos lados son de 22 cm y 16 cm, por altura 25 cm, cuyo pie coincide con el
centro de simetría de la base.
50) Calcular, en cm3, el volumen de una pirámide de base cuadrangular si se
sabe que el lado de la base mide 20 mm y la altura de la pirámide mide 0,03 m.
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51) Una lata cilíndrica tiene un volumen de 40 π cm3 y mide 10 cm de altura.
¿Cuál es el diámetro?
51) Un lápiz tiene forma de prisma hexagonal y tiene en su interior una mina de
forma cilíndrica. Si el lápiz tiene 18 mm de largo y 4 mm de lado de la base y la
mina tiene 3 mm de ancho, ¿Cuál es el volumen de la parte del lápiz que no está
ocupado por la mina?
53) Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de
la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su
construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta?
54) Un joyero tiene 3 esferas sólidas y pequeñas de oro, de 2 mm, 3 mm y 4
mm de radio. El joyero decide fundirlas y hacer una sola esfera con ellas. ¿Cuál
será el radio de la esfera resultante?
55) Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6370 km, calcular la superficie y el
volumen de nuestro planeta suponiéndolo esférico.
56) Calcular, en cm3, el volumen de un cono si la altura mide 0,21 m y el radio
de la base mide la tercera parte de la altura.
57) Calcula el área lateral y total de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de
la base es de 3 cm.
58) Para una fiesta, Luis ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón.
¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y
25 cm de generatriz?
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Módulo 4: Geometría
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Geometría plana
1) El polígono posee 6 vértices.
2) El polígono posee n = 12 lados.
3) La suma de los ángulos interiores es 540º.
4) El polígono es un hexágono.
5) El polígono es un dodecágono.
2
6) El área de la parte sombreada es de 62,83 cm .
7) El radio del círculo más pequeño es r = 2 cm.
2
8) El radio es r ≅ 4 cm y el área del círculo es A = 50,01 cm .
9) El radio es r ≅ 3 dm y la longitud de la circunferencia es L ≅ 18,85 dm.
10) El radio es r ≅ 15 cm.
11) La opción correcta es la b).
12) El ángulo α = 45º.
13) Los lados miden 8 cm, 10 cm y 12 cm.
14) A cargo del alumno.
 60° .
15) La amplitud del ángulo B
=
16) La respuesta correcta es b).
17) Las dimensiones son: altura h = 15 cm y ancho a = 10 cm.
2
18) El área del lote es de 708,75 m .
19) El campo mide 100 m de ancho y 300 m de largo.
2
20) El área del rombo es de 216 cm .
21) La longitud del lado inicial es de 5 cm.
2
22) El área del rombo es A = 24 cm y el perímetro es P = 20 cm.
23) El lado del rombo es l = 10 cm.
2
24) El área del trapecio es de 420000 cm .
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Seminario Universitario – Matemática
25) Los lados no paralelos miden 20 m y el área del trapecio isósceles es de
2
677,6 m aproximadamente.
2
26) El área del trapecio es de 96 cm .
2
27) Cada farola posee 5566,4 cm de cristal aproximadamente.
28) El lado del cuadrado es l = 8 cm.
29) El área es Atotal= 6 +
π
2
2
. cm .
30) A cargo del alumno.
2
31) El área de la figura es A = 170,88 m . y el perímetro es P = 61,33 m.
32) El radio de las partes semicirculares es r ≅ 350 m.
2
33) El área sombreada es de 1800 cm .
34) Se trata de un romboide.
35) Cuadrados.
36) A cargo del alumno.
2
37) El área del pentágono regular es 144 cm .
38) La apotema es a = 4 m.
39) La amplitud de un ángulo exterior de un octógono regular es de 45º.
2
40) El área del hexágono regular es de 2660,43 cm aproximadamente.
41) El lado del pedazo de estaño original es de 10 cm.
121
Módulo 4: Geometría
Geometría del espacio
42) El área lateral es AL = 35,55 cm2 , el área total es AT ≅ 37,5 cm2 y el volumen
3
V ≅ 7,7 cm .
43) La capacidad del envase es V = 985, 82 cm3
y se necesita para su
construcción A = 639,30 cm2 de material.
2
A T = 274,95 cm2; V = 259,80 cm3.
2
A T = 360 cm2; V = 400 cm3.
2
V = 147,84 cm3.
44) A L = 210 cm ;
45) A L = 260 cm ;
46) A L = 128 cm ;
3
47) V = 125,10 cm .
2
48) A L = 1287,84 cm ;
A T = 1953,12 cm2; V = 5093,83 cm3.
2
49) A T = 1365,20 cm
3
50) V PIRÁMIDE = 4 cm .
51) El diámetro de la lata es d = 4 cm.
52) El volumen de la parte del lápiz que no está ocupado por la mina es
V = 621, 01 mm3.
3
53) La capacidad de la lata de conservas es V = 1101,68 cm ; se necesita para
2
su construcción A T = 604,44 cm de material, y para la etiqueta A L = 338,98
cm2.
54) El radio de la esfera resultante es r =
3
99 mm .
12
55) El volumen del planeta es V = 1,08 x 10
A = 509 904 363, 8 km2.
3
56) V CONO = 1076,67 cm .
2
57) A L = 15 π cm
2
y A T = 24 π cm .
2
58) Utilizó 11781 cm de cartón.
122
km3 y el área es