Econometría II. Hoja de Problemas 2

Econometría II. Hoja de Problemas 2
1. Se quiere estudiar si los beneficios de las empresas dependen del gasto en I+D que
realizan. Para estimar la ecuación
benef iciost = β1 + β2 ventast + β3 gIDt + ut
se dispone de una muestra de 70 empresas, de las que se conocen sus beneficios,
ventas y gastos en I+D (gID) en un determinado periodo. Suponemos que este
modelo cumple los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones
iid, salvo quizás el supuesto de homocedasticidad.
a) El modelo se estima por MCO obteniéndose
benef iciost = −1, 253 + 0, 655ventast + 0, 120gIDt + et .
Se estima además por MCO la regresión auxiliar
e2t = γ̂1 + γ̂2 ventast + γ̂3 gIDt + γ̂4 ventas2t + γ̂5 gIDt2 + γ̂6 ventast ∗ gIDt + v̂t
y se obtiene R2 = 0, 23. Contraste si el modelo verifica el supuesto de homocedasticidad en esta muestra.
b) Sabiendo que el estimador de White de la varianza de β̂3 es 0.004624, contraste
la hipótesis nula de que el gasto en I+D no afecta a los beneficios de las
empresas frente a la alternativa de que los beneficios empresariales dependen
positivamente del gasto en I+D.
2. Considere el modelo de regresión simple sin constante:
yt = βxt + ut ,
t = 1, ..., T,
donde xt sólo toma valores positivos. Suponemos que este modelo cumple los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, salvo el supuesto de
homocedasticidad puesto que var(ut |xt ) = σ 2 xt . Se dispone de la siguiente información:
T
T
T
P
P
P
xt = 1977
yt = 1578
x4t = 41630
t=1
T
P
t=1
T
P
x2t = 4897
xt yt = 3851
t=1
T
P
t=1
t=1
x2t e2t = 6121341
t=1
T
P
T
P
t=1
e2t = 380560
u
b2t = 260125
T = 1000
t=1
donde et son los residuos basados en el estimador MCO y u
bt son los residuos basados
en el estimador MCG
1
a) Contraste, utilizando el estimador MCO, H0 : β = 0 frente a H1 : β 6= 0
b) Obtenga el estimador de mínimos cuadrados generalizados de β y calcule su
varianza estimada.
3. Considere el modelo lineal con una sola variable explicativa
Yt = βXt + ut
donde la variable Xt siempre es positiva. Se consideran los siguientes estimadores
alternativos del parámetro unidimensional β :
PT
PT
PT
T
X
X
Y
X t Yt
Y
Yt
t
t
t
t=1
t=1
b4 = 1
βb1 = PT
; βb2 = PT
; βb3 = Pt=1
;
β
T
2
T t=1 Xt
t=1 Xt
t=1 Xt
t=1 Xt
a) Si se verifican todos los supuestos básicos del modelo lineal de regresión con
observaciones iid, determine la esperanza y la varianza (condicional) de cada
uno de estos estimadores y seleccione, entre los que sean insesgados, aquel que
sea óptimo.
b) Supongamos que en realidad no se cumple el supuesto de homocedasticidad, ya
que las perturbaciones son independientes con media 0 y V ar(ut |Xt ) = σ 2 λt .
1) Determine cuál es ahora el estimador lineal insesgado óptimo de β y calcule
su esperanza y su varianza.
2) ¿Es posible encontrar λt de manera que el estimador óptimo obtenido en el
subapartado anterior sea βb1 ? Responda también a esta pregunta cambiando
βb1 por βb2 , βb3 y βb4 .
4. Considere el modelo de regresión simple sin constante:
yt = βxt + ut ,
t = 1, ..., T,
que satisface todos los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, salvo quizás el supuesto de homocedasticidad. Se dispone de la siguiente
información:
P 4
P
P
y
=
1842
x
=
1977
t
t
t xt = 41629
t
t
P 2 2
P 2
T = 1000
t xt et = 221193
P t xt = 4897
P
2
t xt yt = 4445
t et = 26295
b t , donde βb es el estimador MCO de β.
et = yt − βx
a) Contraste H0 : β = 0 frente a H1 : β 6= 0.
b) Sabiendo ahora que
X x t yt
t
σt2
= 165 y
X x2
t
t
σt2
= 176,
donde σt2 = V ar (ut |xt ), obtenga el estimador de mínimos cuadrados generalizados y proponga un estimador de su varianza.
2
c) Suponiendo que σt2 = γ1 + γ2 x2t , donde γ1 y γ2 son parámetros desconocidos,
obtenga estimadores consistentes de los parámetros γ1 y γ2 . Explique cómo
obtendría un estimador del parámetro β asintóticamente eficiente a partir de
estas estimaciones.
5. El número de desempleados de un país en un periodo de tiempo (Dt ) depende de
la población activa que exista en dicho periodo (At ) y del nivel de producción (Pt ),
según el modelo
Dt = β1 + β2 At + β3 Pt + ut
Se dispone de 78 observaciones de estas variables para la economía española. En
base a esa muestra se ha estimado por MCO el modelo obteniéndose los siguientes
resultados:
(1) : Dt = −34241 + 3,75 At − 1,98 Pt + et
(0,558)
[0,402]
(0,377)
[0,281]
Entre paréntesis figuran los errores estándar de los estimadores MCO válidos cuando
se verifican todos los supuestos básicos del modelo y entre corchetes los errores estándar robustos a heterocedasticidad (basados en la matriz de varianzas de White).
Supondremos que este modelo satisface todos los supuestos básicos del modelo de
regresión con observaciones iid salvo, quizá, el de homocedasticidad; además supondremos que los errores siguen una distribución normal. Se dispone de los siguientes
resultados basados en estimaciones MCO auxiliares (entre paréntesis se dan los errores estándar MCO):
(2) : e2t = α̂0 + α̂1 At + α̂2 Pt + α̂3 A2t + α̂4 Pt2 + α̂5 At Pt + resid.;
(3) : et = δ̂0 + δ̂1 At + δ̂2 Pt + δ̂3 A2t + δ̂4 Pt2 + δ̂5 At Pt + resid.;
(4) : e2t = γ̂1 + γ̂2 At + γ̂3 Pt + v̂t ;
R2 = 0,24,
v̂ ′ v̂ = 135,4
(5) : et = θ̂1 + θ̂2 At + θ̂3 Pt + ω
bt ;
R2 = 0,01,
ω
b′ω
b = 34587
√
√
√
(6) : Dt∗ = Dt / At ; A∗t = At / At ; Pt∗ = Pt / At
Dt∗ = 562 + 6,02 A∗t − 1,92 Pt∗ + e∗t
(84,8)
(0,94)
(0,39)
√
√
√
√
(7) : Dt∗ = Dt / At ; Ct∗ = 1/ At ; A∗t = At / At ; Pt∗ = Pt / At
Dt∗ = −34449Ct∗ + 3,77 A∗t − 1,99 Pt∗ + e∗t ;
(4965)
(0,059)
(0,39)
(8) : Dt∗ = Dt /At ; Ct∗ = 1/At ; Pt∗ = Pt /At
Dt∗ = 3,78 − 34634Ct∗ − 1,99 Pt∗ + e∗t .
(0,60)
(5133)
(0,40)
Con esta información:
3
R2 = 0,45
R2 = 0,05
a) Contraste, de todas las formas que pueda, que la varianza de las perturbaciones
ut depende de las variables At y Pt .
b) Utilizando el estimador MCO, contraste la significatividad individual de la
variable At .
c) Un analista llega a la conclusión de que V ar(ut |X) = σ 2 At y realiza una estimación eficiente del modelo basada en esa información. Indique cómo debería
contrastar este analista la significatividad individual de la variable At y qué
resultado obtendría.
6. Un analista de una empresa informática sugiere un modelo lineal para explicar las
ventas mensuales de ordenadores personales, Yt , en función de la población, X1t , y
de la renta per cápita, X2t :
Yt = β0 + β1 X1t + β2 X2t + ut
(1)
Suponemos que este modelo cumple los supuestos básicos del modelo de regresión
lineal con observaciones iid, salvo quizás el supuesto de homocedasticidad; también
suponemos que los errores siguen una distribución normal. En base a una muestra
de 130 ciudades de Estados Unidos se han obtenido los resultados que se presentan
en la tablas adjuntas.
a) Con la información proporcionada en las tablas, contraste de todas las formas
posibles si lo errores son homocedásticos.
b) El mismo analista propone dos posibles vías para mejorar la estimación. La
primera consiste en estimar por MCO el modelo:
p
Y
X2t
1
ut
√ t = β0 √
+ β1 X1t + β2 √
+√
X1t
X1t
X1t
X1t
(2)
La segunda posibilidad es estimar por MCO el modelo:
p
ut
Y
1
X1t
√ t = β0 √
+ β1 √
+ β2 X2t + √
X2t
X2t
X2t
X2t
(3)
¿Qué forma funcional tendría la varianza del error del modelo (1) si el estimador
MCO de los parámetros del modelo (2) es el estimador de mínima varianza?
y ¿Qué forma funcional tendría la varianza condicional del error del modelo
(1) si el estimador MCO de los parámetros del modelo (3) es el estimador de
mínima varianza?. Para obtener estimadores eficientes de los parámetros del
modelo en (1) ¿qué modelo debe estimarse?. Justifique la respuesta utilizando
la información de las tablas.
c) En base a las respuestas en los apartados anteriores, contraste si la población
es un factor determinante para el nivel de ventas.
4
7. Suponga que está interesado en estudiar el comportamiento de la demanda de ropa
de mujer en España y que para ello dispone de una muestra de datos sobre gasto
del hogar y características demográficas para 2931 hogares formados por parejas
casadas. El objetivo final es estudiar si la elasticidad de la demanda de ropa con
respecto a la renta total del hogar es mayor cuando la mujer participa en el mercado
de trabajo que cuando no lo hace. Para ello se ha estimado la siguiente curva de Engel
de cuya estimación se dispone de varias tablas de resultados (ver hojas adjuntas).
Share_wt = β1 + β2 log(Xt ) + β3 Dt + β4 Dt log(Xt ) + β5 Edadt + β6 Edad2t + ut ,
donde Share_w es el porcentaje de gasto en ropa de mujer sobre la renta total
del hogar, X es la renta total del hogar. La participación laboral de la mujer viene
recogida por la variable ficticia D que toma valor 1 cuando la mujer participa en el
mercado de trabajo y 0 cuando no participa. Los efectos no lineales de la edad se
controlan por la variable Edad y su cuadrado. Suponemos que este modelo cumple
los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, salvo
quizás el supuesto de homocedasticidad; también suponemos que los errores siguen
una distribución normal. Para llegar al objetivo final, debe seguir los siguientes
pasos:
a) Contraste de todas las formas posibles la hipótesis de homocedasticidad.
b) En vista de los resultados obtenidos en la tabla 3, se cree que la edad es la
variable causante de la heterodedasticidad, de la forma V ar(ut |X) = σ 2 Edad2t .
Confirme si sus sospechas son ciertas.
c) Explique cómo contrastaría la hipótesis de que la elasticidad-renta de la ropa de
mujer es mayor cuando la mujer participa en el mercado de trabajo que cuando
no lo hace. ¿Cuál es su conclusión? Nota: La fórmula de la elasticidad-renta en
esta curva de Engel es
ξ=
β2 + β4 D
∂ log(q)
=1+
∂ log(X)
Share_w
8. Considere la siguiente relación lineal entre el precio de las viviendas (price) y algunas
características de las mismas como metros cuadrados (sqrf t), tamaño de la parcela
(lotsize) y número de dormitorios (bdrms):
pricet = β1 + β2 sqrf tt + β3 lotsizet + β4 bdrmst + ut
(1)
Se dispone de 88 observaciones. Suponemos que este modelo cumple los supuestos
básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, salvo quizás el supuesto
de homocedasticidad; también suponemos que los errores siguen una distribución
normal. Se dispone de la siguiente información sobre la regresión MCO auxiliar de
la variable gt sobre los regresores del modelo 1:
ĝt = −1,6161 + 0,000495sqrf tt + 0,000059lotsizet + 0,30485bdrmst
5
(2)
donde gt = û2t . De la regresión auxiliar 2 se sabe que R2 = 0,16. Además se dispone
de la información proporcionada en las tablas adjuntas.
a) Contraste de todas la formas posibles la hipótesis de homocedasticidad de los
errores del modelo 1.
b) Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el apartado anterior, contraste
si la variable lotsize es significativa en la ecuación 1.
c) Suponga ahora que la varianza de los errores del modelo 1 es:
var(ut |X) = σt2 = σ 2 (α1 + α2 sqrf tt + α3 lotsizet + α4 bdrmst )2
Explique cómo podría estimar σt2 y cómo transformaría el modelo 1 para obtener el estimador MCGF de β = (β1 , β2 , β3 , β4 )′ .
d ) La Tabla 4 muestra los resultados de la estimación del modelo 1 según la transformación utilizada en el apartado anterior. Contraste la validez del supuesto
del apartado anterior sobre la varianza de los errores del modelo de la ecuación
1.
9. Considere el siguiente modelo de uso del tiempo dedicado al ocio:
ociot = β1 + β2 edadt + β3 hijost + β4 rentat + ut
(1)
donde la variable ocio es el número de horas semanales que se asignan a actividades
recreativas, edad la edad en años, hijos es el número de hijos menores de 18 años y
renta la renta mensual del hogar. Suponemos que este modelo cumple los supuestos
básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, salvo quizás el supuesto
de homocedasticidad. Utilizando una muestra de 100 mujeres se ha estimado el
vector de parámetros β y los resultados se muestran en las tablas adjuntas.
a) Contraste de todas las formas posibles si efectivamente existe un problema con
los errores del modelo.
b) Un grupo de investigación cree que V ar(ut |X) = σt2 = σ 2 edadt . Según lo que
se presenta en las tablas, explique detalladamente qué hicieron estos investigadores para obtener un estimador eficiente de β.
c) ¿Tiene razón el grupo de investigación en relación al origen de la heterocedasticidad?
d ) Contraste la idea de que a mayor número de hijos (no adultos) menor es el
tiempo que una mujer dedica al ocio.
10. El modelo (1) se estima por dos métodos distintos utilizando 250 observaciones.
Los resultados aparecen en las expresiones (2) y (3), que muestran dos estimaciones
MCO con, entre paréntesis, errores estándar válidos cuando se verifican los supuestos
básicos y, entre corchetes, errores estándar de White. Las regresiones auxiliares (4) y
6
(5) han sido también estimadas por MCO. Suponemos que el modelo (1) cumple los
supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, salvo quizás
el supuesto de homocedasticidad; asimismo, suponemos que los errores del modelo
(1) siguen una distribución normal. El rango de X2t es (0, ∞).
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
Yt = 25,18 + 1,61X2t − 1,43X3t + et ,
(2,6)
[3,7]
(0,5)
[0,6]
(1)
(2)
2
R = 0,19
(0,6)
[0,7]
1
X2t
X3t
Y
√ t = 21,89 √
+ 1,16 √
− 1,92 √
+ e∗t ,
X2t
X
X
X
(2,1)
(0,4)
(0,5)
2t
2t
2t
R2 = 0,23
2
2
e2t = α̂1 + α̂2 X2t + α̂3 X3t + α̂4 X2t
+ α̂5 X3t
+ α̂6 X2t X3t + ât , R2 = 0,21
e2t = γ̂1 + γ̂2 X2t + b̂t ,
R2 = 0,20,
b̂′ b̂ = 64
(3)
(4)
(5)
a) Se sospecha que V ar (ut |X) depende de X2t . ¿Es cierta esta sospecha? Justifique su respuesta.
b) ¿Qué hipótesis sobre la V ar (ut |X) se asume en la estimación (3)?
c) Escriba la regresión auxiliar del contraste de heterocedasticidad de White para
los errores del modelo transformado (3). ¿A partir de qué valor del coeficiente
de determinación de esta regresión auxiliar se rechazaría la hipótesis sobre la
V ar (ut |X) asumida en (3)?
d ) Contraste la significatividad estadística de la variable X3t si el R2 de la regresión
auxiliar especificada en c) es 0.10.
7
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