Modificaciones de gráficas de funciones

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Modificaciones de gráficas de funciones
Traslaciones. Conocido el gráfico de la función f , consideremos la función g (x) =
f (x − a), a ∈ R.
(x, y) ∈ Gr (g) ⇔ y = g (x) = f (x − a) ⇔ (x − a, y) ∈ Gr (f ). Pero hemos visto que
(x − a, y) ∈ Gr (f ) es equivalente a (x, y) ∈ Ta→ (Gr (f.)) De modo que Gr (g) es la
a−traslación horizontal de Gr (f ) .
Si en cambio g (x) = f (x) + b, entonces (x, y) ∈ Gr (g) ⇔ y = f (x) + b ⇔ y − b = f (x) ⇔
(x, y − b) ∈ Gr (f ) . Esto es, Gr (g) = Tb↑ (Gr (f )) . La b−traslación vertical de Gr (f ) .
y
25
20
15
10
5
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-5
figura 1.22
Ejemplo 11: Conocemos el gráfico de la función f (x) = x2 , que es una parábola
con vértice en el origen. El gráfico de g (x) = (x − 3)2 , es entonces una parábola
igual pero con vértice en (3, 0) . Sea ahora h (x) = (x − 3)2 − 4. su gráfico será una
(−4) −traslación vertical del gráfico de g: una parábola con vértice en (3, −4) .
Cambios de escala.
¡ ¢ conocido
¡
¢ y
¡ ¢ Nuevamante partimos de una función f con gráfico
definimos g (x) = f λx , con λ > 0. (x, y) ∈ Gr (g) ⇔ y = g (x) ⇔ y = f λx ⇔ λx , y ∈
Gr (f ) ⇔ (x, y) ∈ Sλ→ [Gr (f )] . Esto es, Gr (g) = Sλ→ [Gr (f )] .
Análogamente, si g (x) = µf (x) , entonces Gr (g) = Sµ↑ [Gr (f )] .
Ejemplos:
√
1 − x2 . Sea g (x) =
4. Consideremos
la
función
f
:
[−1,
1]
→
R
definida
por
y
=
√
1
2
3 9 − x . g : [−3, 3] → R..qBuscando la semejanza de g con f , encontramos con
¡ ¢2
¡ ¢
simples cálculos que g (x) = 1 − x3 = f x3 . De modo que el gráfico de g se obtiene
con una dilatación horizontal de razón 3 del gráfico de f.
5. Tratemos de graficar la función
s
h (x) = 2 1 −
(x − 4)2
.
9
q
¡ ¢2
Consideramos primero g (x) = 2 1 − x3 . Entonces h (x) = g (x − 4) , de modo que
2
Capítulo 1 - Precálculo
¡ ¢
el gráfico de h es una 4−traslación horizontal del de g. Por su parte, g (x) = 2f x3 ,
√
con f (x) = 1 − x2 . Por lo tanto su gráfico se obtiene de dilatar con razón 3 en sentido
horizontal y razón 2 en sentido vertical al gráfico de f.
y
2
1
0
0
1
2
3
figura 1.23
4
q
2 1−
5
6
7
8
x
(x−4)2
9
Simetrías. Si g (x) = f (−x) , (x, y) ∈ Gr (g) ⇐⇒ y = f (−x) ⇐⇒ (−x, y) ∈ Gr (f ) .
Como (−x, y) es el punto simétrico de (x, y) respecto del eje de ordenadas, el gráfico de g y
el gráfico de f son simétricos respecto del eje vertical. Análogamente, El gráfico de y = −f (x)
y el de y = f (x) son simétricos respecto del eje de absisas.
El gráfico de |f (x)| se obtiene del de f reflejando sobre el eje horizontal la parte del
gráfico de f que vive debajo de éste, mientras se deja inalterada la otre parte.
Ejemplo 6: Sobre la¯ base ¯ del gráfico conocido de f (x) = x1 , buscaremos un gráfico
¯
¯
aproximado de g (x) = ¯ 3x−12
x−3 ¯ − 2. el procedimiento pasa por efectuar la división entera:
3x − 12 = (x − 3) · 3 − 3, de donde se deduce
3x − 12
3
=−
+3
x−3
x−3
La gráfica buscada se construye entonces a partir de la gráfica de
↑
siguiendo los pasos:
reflexión sobre eje x, T3↑ , reflexión parcial y T−2
1
x,
a través de T3→ , S3↑ ,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
3
1
1
3
3
3
7→
7→
7→ −
7→ −
+ 3 7→ ¯¯−
+ 3¯¯ 7→ ¯¯−
+ 3¯¯ − 2
x
x−3
x−3
x−3
x−3
x−3
x−3
3
y
-2
y
2
2
1
1
-1
1
2
x
3
1
-1
-1
-2
-2
-3
fig. 1.24 a
y=
-3
1
x
y
fig. 1.24 b
2
1
1
1
2
3
4
x
5
1
-1
-1
-2
-2
fig. 1.24 c
y=
-3
3
x−3
5y
4
4
3
3
2
2
1
1
1
fig. 1.24 e
2
3
4
3
y = − x−3
+3
x
5
1
-1
2
fig. 1.24 d
5y
-1
3
y=
4
x
5
1
x−3
y
2
-3
2
fig. 1.24 f
2
3
4
x
5
3
y = − x−3
3
4
x
5
¯
¯
¯ 3
¯
y = ¯− x−3
+ 3¯
4
Capítulo 1 - Precálculo
y
6
4
2
1
2
3
4
5
x
-2
figura 1.24 g
¯
¯
¯ 3
¯
y = ¯− x−3
+ 3¯ − 2
Ejercicios :
• Dadas las funciones f (x) =
76. f (x − 1)
81.
1
2 f (x)
1
x
y f (x) =
√
x. trazar para cada una de ellas la gráfica de:
77. f (x + 3)
78. f (x) − 2
79. 1 − f (x)
80. 3f (x)
82. f (2x)
83. |f (x)|
84. −2f (x),
85. f (−x)
Curvas en forma implícita
Tal vez llame la atención que en las traslaciones y redimensionamientos horizontales, el modificante aparece en la expresión de la función afectado por operación inversa (resta o división)
mientras que en las verticales lo hace en directa (suma o producto):
f (x − a) , f
³x´
λ
, contra f (x) + b, µf (x) .
Bastará igualar las expresiones a y y pasar los modificantes al otro miembro, de modo que
actúen sobre la variable que están modificando, para que la asimetría desaparezca:
y = f (x − a) , y = f
³x´
λ
, y también y − b = f (x) ,
y
= f (x) .
µ
Estas expresiones son ecuaciones de dos variables y sus soluciones curvas en el plano. Son
casos particulares de una forma más general de describir curvas planas usando funciones de dos
variables, que se llama forma implícita. En forma implícita se incorporan otras curvas que no
son gráficos de funciones, como circunferencias, elipses e hipérbolas de asíntotas oblicuas. Para
ellas son también válidas las modificaciones arriba descriptas, de modo que un cuadro sinóptico
5
para el caso general podrá ser usado también en el caso particular.
acción sobre la ecuación
F (x − a, y) = 0
¡F (x,¢y − b)
F ¡ λx , y ¢ , λ > 0
F x, λy , λ > 0
F (−x, y)
F (x, −y)
efecto sobre la gráfica
mover a unidades horizontalmente
mover b unidades verticalmente
extender-comprimir horizontalmente con factor λ
extender-comprimir verticalmente con factor λ
reflejar sobre el eje vertical
reflejar sobre el eje horizontal
(1)
Ejemplos:
7. Tomamos el círculo unidad C, cuya ecuación (implícita) es x2 + y 2 = 1, y lo trasladamos
dos veces: C 0 = T1→ T1↑ (C). La ecuación es
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 1
Luego expandimos en ambos ejes: C 00 = S3→ S2↑ (C 0 ), que da la ecuación
i2 h y
i2
−1 +
−1 =1
3
2
hx
O bien,
(x − 3)2 (y − 2)2
+
= 1.
9
4
Una elipsa de semiejes 3 y 2 con centro en (3, 2) .
8. Ahora partimos del mismo círculo pero dilatamos primero para convertirlo en una elipse de
semiejes 3 y 2: C 0 = S3→ S2↑ (C). En un segundo paso trasladamos 1 y 1: C 00 = T1→ T1↑ (C 0 ).
Obtenemos otra elipse diferente
C0 :
x2 y2
+
= 1,
9
4
C 00 :
(x − 1)2 (y − 1)2
+
=1
9
4
2
1
1
3
figura 1.25
6
Capítulo 1 - Precálculo
Ejercicios:
¢
¡
86. Hallar la ecuación de un círculo con centro en − 12 , 3 y radio 9.25. ¿Pertenece el origen
de coordenadas a ese círculo?
87. Trazar la gráfica de la elipse
(x + 3)2 (y − 1)2
+
= 1.
9
4
Dar las coordenadas de los cuatro vérices.
88. Trazar la gráfica de la siguiente ecuación:
x2 +
(y − 1)2
= 4.
4