CONTROL III-TAREA 24 - Gerardo Guacaneme V.

Universidad Distrital Francisco José de Caldas – Facultad de Ingeniería Electrónica.
CONTROL III - TAREA 24.
Gerardo Guacaneme Valbuena 9920553.
A continuación se realizará un análisis de tres controladores
no lineales utilizando el diagrama de estabilidad de Nyquist,
se intentará determinar la presencia un ciclo límite y calcular
aproximadamente la amplitud y la fase de la señal oscilatoria
de dicho ciclo límite. Para los tres casos que se evaluarán se
utilizará como planta el sistema lineal de tercer orden que se
observa en la figura 1. Cuya función característica es:
1
de Excel y sé graficaron los valores encontrados. En la figura
3 se observa diagrama polar de la planta en azul, en rojo el
diagrama polar el inverso de la función descriptiva del
controlador. Se aprecia que las dos curvas no se tocan para el
intervalo de valores dado.
0,3
0,2
0,1
0
-2
-1
0
1
2
-0,1
-0,2
Para el ejercicio supondremos
-0,3
Fig. 3. Diagrama estabilidad para el sistema con el primer controlador.
Fig. 1. Esquema de bloques de la planta que se usará para corroborar los
diagramas de estabilidad.
El primer controlador que se probará corresponde a un sistema
con histéresis como se muestra en la figura 2, este es el mismo
sistema que se propuso como ejercicio en la tarea anterior. La
función descriptiva de este sistema es:
Esto es consecuente con el hecho de que el controlador
descrito en la figura 2 genera siempre un comportamiento
inestable ya que, cuando se tengan valores de entrada de error
positivos (valor de salida de la planta negativo) se inyecta al
sistema un valor negativo en la entrada lo cual hace que el
error sea más positivo; de igual manera sucede para los
valores de error negativos, el sistema crece (o decrece)
indefinidamente, por lo cual carece de un ciclo límite. En la
figura cuatro se observa la respuesta temporal del sistema con
este controlador, está crece permanentemente.
200
180
160
140
120
y s (t)
8
100
6
80
4
60
u
2
40
20
0
0
-2
0
5
10
15
t
Fig. 4. Respuesta temporal del sistema en lazo cerrado con el primer
controlador y condiciones iniciales cero.
-4
-6
-8
-5
0
e
5
Fig. 2. Respuesta del primer controlador M=5, h=0.5 para el ejemplo.
Se puede graficar el diagrama estabilidad de Nyquist de la
planta usando una hoja de cálculo o bien a través de la función
nyquist de MATLAB, para este caso se ha utilizado una tabla
Control III –Grupo 3– 27 de Junio de 2012.
Se prueba ahora un controlador que corresponde un sistema
con histéresis como el que se muestra en la figura 5, este es
muy semejante al controlador anterior con la diferencia de que
sus valores de salida están invertidos. La función descriptiva
de este sistema es:
Universidad Distrital Francisco José de Caldas – Facultad de Ingeniería Electrónica.
8
En la figura 7 se observa la respuesta temporal del sistema en
lazo cerrado con el segundo controlador. Se han colocado dos
etiquetas en dos picos consecutivos de la salida oscilatoria en
las cuales se puede observar el valor pico así como el tiempo
transcurrido. Para valor pico observamos que el máximo está
aproximadamente en 7.5 lo cual es una aproximación muy
buena al valor que se obtuvo a partir de la gráfica del
diagrama estabilidad de Nyquist
6
4
2
u
2
0
-2
-4
8
-6
-8
-5
0
e
X: 12.24
Y: 7.534
6
5
Fig. 5. Respuesta del segundo controlador M=5, h=0.5 para el ejemplo.
4
2
y s (t)
Al graficar el diagrama estabilidad de Nyquist de la planta y el
inverso de la función descriptiva del controlador usando Excel
se obtiene el gráfico que se muestra en la figura 6. El punto de
intersección de las dos curvas nos da aproximadamente los
siguientes valores:
X: 17.08
Y: 7.579
0
-2
-4
A partir de la gráfica sistema es estable en el punto en el
cual las dos curvas se cortan, pues no envuelve a -1. Para
este punto, los valores aproximados que se tienen en la tabla
de Excel son:
-6
-8
0
5
10
15
t
20
25
30
Fig. 7. Respuesta temporal del sistema lazo cerrado con el segundo
controlador.
Para determinar el periodo calculamos la diferencia entre los
valores del tiempo:
0,3
0,2
0,1
que como antes nos da un valor muy aproximado al obtenido a
partir de la gráfica del diagrama estabilidad.
0
-2
-1,5
-1
-0,5
10
0
-0,1
8
6
-0,2
4
2
u
-0,3
Fig. 6. Diagrama estabilidad para el sistema con el segundo controlador.
0
-2
Por lo que el primer armónico de la función de salida
resultante del sistema corresponde aproximadamente a:
-4
-6
-8
Eso quiere decir que el valor pico de la función de salida de
esta cercano a 7.5 y que el periodo está cercano a:
-10
-5
0
e
5
Fig. 8. Relación entrada-salida del tercer controlador (M=2,h=2,k=4).
El tercer controlador que se probará corresponde al segundo
Control III –Grupo 3– 27 de Junio de 2012.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas – Facultad de Ingeniería Electrónica.
sistema de la tarea anterior, la relación entre la entrada y la
salida de este sistema se muestra en la figura ocho, La función
descriptiva de este sistema es:
3
las cuales se puede observar el valor pico así como el tiempo
transcurrido. Para valor pico observamos que el máximo está
aproximadamente en 1.84 lo cual es aproximado al valor que
se obtuvo a partir de la gráfica del diagrama estabilidad de
Nyquist.
2
1.5
X: 13.93
Y: 1.848
X: 18.89
Y: 1.843
15
y
20
1
0.5
y s (t)
Al graficar el diagrama estabilidad de Nyquist de la planta y el
inverso de la función descriptiva del controlador usando Excel
se obtiene el gráfico que se muestra en la figura 9. El punto de
intersección de las dos curvas nos da aproximadamente los
siguientes valores:
0
-0.5
-1
A partir de la gráfica sistema es estable en el punto en el
cual las dos curvas se cortan, pues no envuelve a -1. Para
este punto, los valores aproximados que se tienen en la tabla
de Excel son:
-1.5
-2
0
5
10
25
30
Fig. 10. Respuesta temporal del sistema lazo cerrado con el tercer
controlador..
0,3
Para determinar el periodo calculamos la diferencia entre los
valores del tiempo:
0,2
0,1
0
-2
-1
0
1
2
-0,1
-0,2
-0,3
Fig. 9. . Diagrama estabilidad para el sistema con el tercer controlador.
Por lo que el primer armónico de la función de salida
resultante del sistema corresponde aproximadamente a:
Eso quiere decir que el valor pico de la función de salida de
esta cercano a 2 y que el periodo está cercano a:
En la figura 10 se observa la respuesta temporal del sistema en
lazo cerrado con el segundo controlador. Se han colocado dos
etiquetas en dos picos consecutivos de la salida oscilatoria en
Control III –Grupo 3– 27 de Junio de 2012.
que como antes nos da un valor aproximado al obtenido a
partir de la gráfica del diagrama estabilidad.