Matemáticas I 1.5 Listas de ejercicios −1 −1 −1 −1 −1 38. ¿Para qué valores reales de λ los vectores v1 = (λ, −1 2 , 2 ) v2 = ( 2 , λ, 2 ) y v3 = ( 2 , 2 , λ) 3 forman un conjunto linealmente dependiente en IR ? 39. Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u son también linealmente independientes. 40. Probar que si los vectores v1 , . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes. 41. Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de IR4 : a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0). b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b. c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d. 42. Hallar las soluciones del sistema de abajo y expresarlas como vectores de IR6 . Determinar la dimensión del subespacio de soluciones y encontar una base. 5x3 + 10x4 + 15x6 x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 −1x1 − 3x2 + 4x3 + 4x4 − 2x5 + 6x6 3x1 + 9x2 − 4x3 + 4x4 + 6x5 + 12x6 =0 =0 =0 =0 =0 =0 43. Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B , de m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de IRn . ¿Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0? 44. Considerar en IR4 los siguientes conjuntos de vectores: A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)} B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)} a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B). b) Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(A) y de lin(B). c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B). d) ¿Qué vectores forman el conjunto lin(A) ∩ lin(B)? 45. Sean W1 y W2 dos subespacios de V . Probar que también son subespacios de V los conjuntos: a) W1 ∩ W2 = {w ∈ V : w ∈ W1 y w ∈ W2 } b) W1 + W2 = {w = w1 + w2 : w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2 } 46. Consideremos en el espacio vectorial IR3 la base B = {u1 , u2 , u3 }. Sean, E el subespacio engendrado por los vectores v1 = u1 + 3u3 , v2 = 2u1 − 3u2 + u3 , v3 = 4u1 − 3u2 + 7u3 y F el subespacio engendrado por los vectores w1 = u1 + u2 + u3 , w2 = 2u1 + 3u2 + 4u3 , w3 = 3u1 + 4u2 + 5u3 . a) Hallar una base de E y una base de F . b) El subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F . c) El subespacio E + F y una base de E + F . I.T.I. en Electricidad 15 Matemáticas I 1.5 Listas de ejercicios 47. Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre IR. Probar que ( Bc = 1 0 0 0 ( ¿Es B1 = ! 0 1 0 0 , 1 −2 0 −2 ! , ! , 0 0 1 0 0 −2 0 −2 ! , ! , 0 0 0 1 !) 1 −2 1 −2 ! es una base de M2×2 (Se dice su base canónica). , 1 0 1 −2 !) también una base de M2×2 ? 48. Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre IR y sea E el subcona b+c −b + c a junto de M2×2 formado por las matrices de la forma ! con a, b, c ∈ IR. a) Demostrar que E es un subespacio vectorial. b) Probar que las matrices A1 = 1 0 0 1 ! , A2 = 0 1 −1 0 ! , A3 = 0 1 1 0 ! , forman una base de E . 49. Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Probar que: n B1 = {v1 , v2 , . . . , vn } es base de V ⇐⇒ B1∗ = [v1 ]B , [v2 ]B , . . . , [vn ]B o es base de IRn . 50. Considerar en IR3 , la base canónica Bc = {e1 , e2 , e3 }, la base B1 = {e1 , e3 , e2 } y la base B2 = {e3 , e1 , e2 }. Hallar las matrices del cambio de base entre ellas, es decir de Bc a B1 y a B2 , de B1 a Bc y a B2 y de B2 a Bc y a B1 . Si denotamos por Mc→1 , M1→2 y Mc→2 respectivamente las matrices de cambio de Bc a B1 , de B1 a B2 y de Bc a B2 , comprobar que es cierto que Mc→2 = M1→2 Mc→1 . 51. Probar que B = n o v1 = (1, −1, 0, −1), v2 = (0, −1, 0, −1), v3 = (1, −1, 1, −1), v4 = (1, 0, 1, −1) es una base de IR4 . Considerar en IR4 la base canónica, Bc . Hallar la matriz del cambio de base de la base B a la base Bc y viceversa. ¿Cuáles son las coordenadas del vector v = (1, 1, 1, 1) en la base B ? Si (w)B = (1, 1, 1, 1), ¿cuál es el vector w ? 52. En una cierta base {u1 , u2 , u3 , u4 } de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas (3, 1, 2, 6). Hallar las coordenadas de w en otra base {v1 , v2 , v3 , v4 } cuyos vectores verifican que v1 = u1 + u2 , v2 = 2u4 − u1 , v3 = u2 − u3 , v4 = 2u1 − u2 . 53. Se consideran en IR3 las bases B = {u1 , u2 , u3 } y B 0 = {v1 , v2 , v3 }, siendo u1 = (−3, 0, −3), u2 = (−3, 2, −1), u3 = (1, 6, −1) y v1 = (−6, −6, 0), v2 = (−2, −6, 4), v3 = (−2, −3, 7). a) Hallar la matriz de paso de B a B 0 . b) Calcular la matriz de coordenadas, [w]B , siendo w = (−5, 8, −5). c) Calcular [w]B 0 de dos formas diferentes 54. Sean B = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (0, 1, −1)} y B 0 = {w1 , w2 , w3 } dos bases de IR3 , 0 −2 −1 0 y sea P = −1 2 −4 −2 la matriz del cambio de base de B a B . 0 −1 −1 a) Encontrar [3v1 ]B 0 y [v1 − v2 ]B 0 . b) ¿Qué vectores son w1 , w2 y w3 ? I.T.I. en Electricidad 16 Matemáticas I 55. 1.5 Listas de ejercicios a) Encontrar dos vectores de IR2 con norma euclı́dea uno y cuyo producto interior euclı́deo con (−2, 4) sea cero. b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en IR3 con norma euclı́dea uno y cuyo producto interior euclı́deo con (−1, 7, 2) es cero. 56. Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). Determinar si cada una de las expresiones siguientes define un producto interior en IR3 : a) hu, vi = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3 b) hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 c) hu, vi = u1 v2 + u2 v3 + u3 v1 d) hu, vi = 2u1 v1 + 2u2 v2 + u3 v3 + u1 v2 + u2 v1 57. Demostrar que si V es un espacio con producto interior, entonces ∀ u, v ∈ V , hu, vi = 1 ku + vk2 − ku − vk2 4 −1 58. Sean a = ( √15 , √ ) y b = ( √230 , √330 ). Probar que {a, b} es ortonormal si IR2 tiene el producto 5 interior hu, vi = 3u1 v1 + 2u2 v2 donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ), y que no lo es si IR2 tiene el producto interior euclı́deo. 59. Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores v1 , v2 , . . . , vk entonces es ortogonal a lin{v1 , v2 , . . . , vk }. 60. Tomemos en IR4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en la forma w = w1 + w2 donde, w1 está en el subespacio W generado por los vectores u1 = (−1, 0, 1, 2) y u2 = (0, 1, 0, 1), y w2 es ortogonal a W . 61. Considera IR3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base {u1 , u2 , u3 } en una base ortonormal. a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (1, 2, 1). b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (3, 7, −2), u3 = (0, 4, 1). 62. Para cada uno de los productos interiores definidos en el ejercicio 56 (los que lo sean), utilizar el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base formada por los vectores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0) y u3 = (1, 0, 0) en una base ortonormal. 63. Suponer que IR4 tiene el producto interior euclideo. a) Hallar un vector ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) y u4 = (0, 0, 0, 1), y que forme ángulos iguales con los vectores u2 = (0, 1, 0, 0) y u3 = (0, 0, 1, 0). b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u1 y a u2 , tal que el coseno del ángulo entre x y u3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u4 . 64. Sea IR4 con el producto interior euclı́deo. Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) al subespacio generado por los vectores v1 = (1, 1, 1, 0) y v2 = (1, 1, 0, 0). n 65. Sea P3 [x] = a0 + a1 x + a2 x2 : a0 , a1 , a2 ∈ IR de grado menor o igual que 2. a) Probar que hp(x), q (x)i = Z o el espacio vectorial de las funciones polinómicas 1 p(x)q (x) dx define un producto interior en P3 [x]. 0 b) Probar que la base Bc = {1, x, x2 } no es una base ortonormal con este producto interior y hallar una que sı́ lo sea. I.T.I. en Electricidad 17