AB о о о uvw , , AB о u о v о о uv + о v о v о u о u о v о о о о о о

TEMA 4 : VECTORES EN EL ESPACIO
1.- Definición de vector fijo y vector libre
Se llama vector fijo de origen A y extremo B al par ( A, B) que tiene:
-dirección: la de la recta que lo contiene.
-sentido: de A a B.
AB .
- módulo: la longitud del segmento AB. Se representa por
Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección
y el mismo sentido. Un vector libre es el conjunto de vectores fijos equipolentes a uno
dado. Se representan por letras minúsculas
r r r
u , v , w ,... o bien por [ AB] .
2.-Operaciones con vectores libres y propiedades
r
r
r
SUMA: Se llama suma de vectores u y v y la representamos por u +
vector libre que se obtiene del siguiente modo:
r
de
r
u.
r
v
al
r
1. Trasladamos el vector v de manera que el origen de v coincida con el extremo
r
2. Unimos el extremo de u con el extremo de
r
v
PROPIEDADES
( ur + vr ) + wr = ur + ( vr + wr )
1. Asociativa:
r r r r
u + v = rv + ru
r
r
3.Elemento neutro: u + 0 = 0 + u
r
r
r r r
4.Elemento opuesto: u + ( − u ) = ( − u ) + u = 0
2. Conmutativa:
r
PRODUCTO POR UN ESCALAR: Se llama producto de un vector u por un número
r
real k al vector libre que representamos por ku y que tiene:
r
Dirección: la misma de u
r
Módulo: el módulo de u multiplicado por el valor absoluto de k .
r
Sentido: si k>0, el mismo que el de u y si k<0, sentido opuesto.
PROPIEDADES
r
r
r
r
1. k ( u + v ) = ku + kv
2.
(k
(
1
r
r
r
+ k2 )u = k1u + k 2 u
)r
( r)
3. k1k 2 u = k1 k 2 u
r
r
4. 1⋅ u = u
3.- INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
r r
r
r
DEFINICIÓN: Un vector u es COMBINACIÓN LINEAL de u1 , u2 , ...., un si
existen números reales k1 , k 2 ,..., k n tales que :
r
r
r
r
u = k1 ⋅ u1 + k2 ⋅ u2 + ...+ kn ⋅ un
DEFINICIÓN: Un conjunto de vectores son linealmente independientes si
ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso
contrario diremos que son linealmente dependientes.
El máximo número de vectores linealmente independientes es el rango de un
conjunto de vectores,
DEFINICIÓN: Sean tres vectores no nulos y no coplanarios del espacio. Diremos
que forman BASE si son linealmente independientes y cualquier vector del espacio se
puede poner como combinación lineal de los vectores de la base.
Si O es un punto fijo y
r r r
B = { x , y, z}
es una base, al conjunto formado por O y
B se le llama SISTEMA DE REFERENCIA. Por tanto podremos escribir:
r
DEL VECTOR u .
r
r
r
u = k1 x + k 2 y + k3 z = ( k1 , k2 , k3 )
Por tanto podremos escribir:
(
y se llaman COORDENADAS
r r
u + v = u1 + v1,u2 + v2 , u3 + v3
r
ku = ( ku1 , ku2 , ku3 )
)
4.-APLICACIONES
1) CÁLCULO DEL RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES: se forma la matriz con
las componentes de los vectores y se averigua el rango.
EJERCICIOS DEL 37 AL 48, AMBOS INCLUSIVE
2) CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR
3) CÁLCULO DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
EJERCICIOS 51, 52,54