Teoremas de conservación - FICH-UNL

Cátedra: Física I
Unidad 4: Teoremas de conservación
GUÍA DE PROBLEMAS
1) Una masa cae libremente.¿Cuál es su momento lineal después de haber caído una distancia h?
Resp. = p = m 2.g .h
2) Demuestre que el momento lineal p y la energía cinética K de una masa m están relacionados por
K = p2 / 2 m
3) Una pelota de masa m cae sobre el piso y rebota en forma vertical. Justo antes de golpear el piso su
velocidad es v0 y precisamente después del golpear el piso, su velocidad es vf. ¿Cuál fue el cambio de
momento de la pelota debido a la colisión con el piso?
Resp. R = J = m(v f + vo )
4) Una pelota de 500 g se mueve a lo largo del eje de las x con una velocidad de 20 m/s. Golpea un
bate e invierte su dirección de modo que su velocidad a lo largo del eje x es ahora de 30 m/s. Calcular
la variación de la cantidad de movimiento y la variación de la energía cinética.
Resp. J = 25 [kg m/s], •E = 125 [J]
5) En una práctica de tiro al blanco, una mujer dispara una bala de 3 g con una velocidad horizontal de
250 m/s a una sandía de 5 kg que se halla en reposo en la parte superior de un poste. La bala se aloja
en la sandía. ¿Cuál es la velocidad con que la sandía se despega del poste?
Resp. = 0,15 m/s
6) Como se muestra en la figura una bala de 20 g y velocidad 50 m/s le pega a un bloque de 7 kg que
se halla en reposo sobre una mesa. La bala se clava en el bloque después de la colisión. Encuéntrese
a)la velocidad del bloque después de la colisión y b)la fuerza de fricción entre la mesa y el bloque si
éste se mueve 5 cm antes de detenerse.
V
Resp. a) V = 0,14 m/s
b) Fr = 1,36 N
7) En la figura ambas masas se desplazan hasta una altura h una de ella a la izquierda, y la otra hacia la
derecha. Se sueltan simultáneamente y sufren una colisión perfectamente elástica. Encontrar la
velocidad de cada una después del choque, si la masa de la izquierda es 3 veces mayor que la de la
derecha.
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h
12) Una ametralladora está fija a una plataforma que rueda sin fricción sobre unos rieles. La
plataforma se mueve con una velocidad v con respecto al suelo y la ametralladora dispara en sentido
contrario. Las balas se mueven con una velocidad u respecto de la plataforma, o sea con una velocidad
v + u respecto al suelo. La ametralladora dispara n balas, cada una de masa m por segundo. ¿Cuál es la
fuerza neta que actúa sobre el sistema?
Resp. f = nm u
→
→
13) En un motor a retropropulsión la fuerza de empuje está dada por f = − µ ve ((4.21) de las notas de
→
clase, Sección 4.2; donde ve es la velocidad relativa (respecto al motor) de salida de los gases y
µ dm / dt (caudal de chorro de gas).
Mostrar que en realidad la (4.21) es una aproximación a primer orden.
14) Un cohete está en el espacio exterior, lejos de cualquier planeta, cuando enciende su motor. En el
primer segundo de encendido, el cohete expulsa 1/120 de su masa con una velocidad relativa de
2400 m / seg. ¿Cuál es su aceleración?
Resp. 20 m / seg 2
15) Suponga que ¾ de la masa inicial m0 del cohete del problema anterior es combustible, de modo
que la masa final es m = m0 / 4 , y que el combustible se consume totalmente a ritmo constante en un
tiempo t = 90 seg. Si el cohete parte del reposo en nuestro sistema de coordenadas, calcule su
velocidad final.
→
dV
1 dm →
(Ayuda: Integre la ecuación (4.20)
=−
ve )
dt
m0 dt
Resp. 3327 m / seg.
→
→
→
El uso correcto y el inadecuado de la formula f = d P/ dt ( P impulso lineal), en el caso de masas
variables
→
16) Sea el caso de un carrito lleno de agua, que se mueve con velocidad constante v y que va
perdiendo parte del agua por un orificio en su fondo con velocidad constante µ = −dm / dt (ver Figura).
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→
→
El carrito esta libre de fuerzas exteriores entonces f = m a = 0 . En consecuencia, se debe verificar que
→
→
f = d P/ dt = 0 . Sin embargo:
→
→
→ → dm
→ dm
dP d
= (m v ) = m a + v
=v
≠0
dt
dt
dt
dt
Explique en que consiste el error (ver notas de clase, Sección 4.3).
17) Una partícula de masa m que viaja con una rapidez v0 a lo largo del eje x dispara repentinamente
un tercio de su masa con rapidez 2v0 paralela al eje y. Exprésese la velocidad de la partícula residual
en la notación i, j, k. (utilice lo analizado en el problema 16)
18) Sea el caso de un carrito de masa m que pierde agua horizontalmente hacia atrás, a razón de
→
µ = −dm / dt y con una velocidad relativa al carrito v e (ver Figura )
Teniendo en cuenta lo visto con el cohete, sobre el carrito actuará una fuerza de retropropulsión (4.21)
→
→
f = − µ v e . Entonces:
→
→
→
f = −µ v e = m a
→
⇔
a=−
µ
m
→
ve
(1)
→
El carrito se moverá entonces, con una aceleración en dirección contraria a ve .
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→
→
→
Si ahora utilizamos la formula f = d P/ dt , teniendo mucho cuidado en incluir en d P el impulso que
se lleva la masa de agua µ dt :
→
→
→
→
d P = d (m v ) + µ dt (ve + v )
→
→
donde ( ve + v ) es la velocidad del agua expelida respecto al suelo. Entonces:
→
→
→
→
→ → dm
→
→
dP d
= ( m v ) + µ (v e + v ) = m a + v
+ µ ve + µ v =
dt
dt
dt
→
→
→
→
→
→
(2)
→
*
= m a − µ v + µ v e + µ v = m a − µ ve = f
→
Obviamente
→
f ≠ f * . Explique donde está el conflicto (ver con mucho cuidado e interpretar de las
→
→
notas de clase, Sección 4.3, que fuerzas son las que intervienen en f = d P/ dt ).
Leyes de Kepler
18) Probar que:
Cuanto más lejos de la Tierra está un satélite, tanto más lentamente se desplaza en el
espacio y tanto más largo es su período de revolución.
19) Para un satélite que orbita, en órbita circular, a 300 Km de altura su velocidad orbital es
v0 = 7.74 10 5 cm / seg. Encontrar su período orbital.
Rta: 90 minutos
20) Para un satélite en órbita circular a 6.6 radios terrestres (R=6370 Km.) Calcular su velocidad
orbital y su período.
Rta: v0 = 3.1 Km / seg
y
τ = 24 horas (satélite sincrónico).
21) Idem que en el caso anterior pero para la Luna que orbita a 60 radios terrestres aproximadamente
(suponemos una órbita circular).
Rta: v0 = 1 Km / seg
y
τ Lunar = 27.3 días
22) ¿En qué punto de la órbita elíptica tiene mayor rapidez un planeta?
23) El asteroide Pallas tiene un período orbital de 4.62 años y una excentricidad orbital de 0.233.
Calcule el eje mayor de su órbita
( γ = 6.67 × 10 −11 N m 2 / Kg 2 y M Sol = 1.99 × 10 30 Kg . )
Rta: 4.15 × 1011 m
Fuerza y energía potencial
24) La energía potencial de un par de átomos de hidrógeno separados una distancia grande x, está dada
C
por la expresión V ( x) = − 66 , donde C 6 es una constante positiva.
x
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a) ¿Qué fuerza ejerce un átomo sobre el otro?
b) ¿Es la fuerza de atracción o de repulsión?
25) Sobre un objeto que se mueve en el plano-xy actúa una fuerza conservativa descrita por la función
 1
1 
de energía potencial V ( x, y ) = α  2 + 2  , donde α es una constante positiva. Deduzca una
y 
x
∧
∧
expresión para la fuerza expresada en términos de los vectores unitarios i y j .
26) Una partícula de masa m se mueve sobre el eje-x bajo la acción de una fuerza conservativa
− g 2 h2
derivada de una función de energía potencial V ( x) =
+ 2
x
x
a) Determinar la posición de equilibrio de la partícula
2h 2
Resp. xequil = 2
g
Diagramas de energía
27) Una bolita se mueve sobre el eje-x. La función de energía potencial se muestra en la Figura.
a) ¿En cuál de los puntos marcados sobre el eje-x la fuerza sobre la bolita es cero?
b) ¿Cuál de esas coordenadas es una posición de equilibrio estable y cuál de equilibrio inestable?
28) Determine las regiones permitidas y las prohibidas para el movimiento de una masa puntual m en
un diagrama de energía como el dado en la Figura.
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Conservación de la energía
29) Determine la velocidad de escape de un satélite en el campo gravitatorio terrestre.
30) Determine la condición para movimientos ligados en el campo gravitatorio terrestre.
31) Sea el caso mostrado en la figura de un cuerpo de masa m que se desliza sin fricción sobre una
superficie esférica, partiendo de la posición más alta con una velocidad inicial v0 . Deseamos saber en
qué punto la masa deja de estar en contacto con la superficie de la esfera.
a) Cuando v0 = 0 .
b) Cuando v0 > g ρ
c) ¿Qué ocurre si sustituimos el cuerpo por uno de masa m1 > m ?
(Ayudarse con las notas de clase para resolverlo)
32) dos individuos de masas exactamente iguales, colgados de sendos extremos de una cuerda (que
supondremos de masa despreciable e inextensible), que pasa por una polea fija al techo (también de
masa despreciable y sin fricción). Inicialmente ambos individuos están en reposo (equilibrio).
Ahora comienzan a trepar por la cuerda; el de la izquierda es más fuerte y trepa más rápido que el de la
derecha. ¿Por qué ambos llegan simultáneamente a la polea?
Fundamente su razonamiento. (Utilice como ayuda el Ejemplo d) del Capítulo IV, de las notas de
clase).
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