Examen de Estad´ıstica

Examen de Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a de Telecomunicación
25 de mayo de 2009
solución
Cuestiones
2h
C1.
Un alumno se examina de un examen tipo test que consta de 100 preguntas del tipo V/F.
Se sabe además que dichas preguntas han sido seleccionadas al azar de entre todo el temario de la
asignatura, y que, dado que no se penalizan las respuestas incorrectas, el alumno contestará (correcta
o incorrectamente) a todas las preguntas del examen (se correspondan o no a la parte del temario que
el alumno domina). Se pide,
a) Si θ denota el porcentaje del temario que sabe el alumno, determina la probabilidad de que
dicho alumno conteste correctamente a la primera pregunta. Se supone que cuando la pregunta
corresponde a la parte del temario que se sabe el alumno, éste siempre acierta la respuesta correcta.
b) Sabiendo que el tribunal encargado de corregir el examen establece que un alumno aprueba si
responde correctamente 76 preguntas como mı́nimo, calcula la probabilidad de que un alumno
apruebe si sabe sólo el 50 % de la asignatura, es decir si θ = 50 %.
Solución:
a) Sea θ = % de asignatura que sabe el alumno, θ ∈ [0, 100]. Sea X1 una variable aleatoria que toma el
valor 1 (o el valor 0) si el alumno contesta correctamente (o incorrectamente) a la primera pregunta del
examen. Definamos el suceso N =‘el alumno no sabe la respuesta’, y el suceso S=‘el alumno sı́ sabe
la respuesta’.
Entonces, para un alumno que sabe un θ % de asignatura, se verifica que
p(θ)
= Pr(X1 = 1) = Pr(X1 = 1|S) Pr(S) + Pr(X1 = 1|N ) Pr(N )
1
θ 1
= 1 × θ + (1 − θ) = + .
2
2 2
b) Se sabe que un alumno aprueba si se da el suceso
A = {X1 + . . . + X100 ≥ k} ,
donde k denota el número mı́nimo de preguntas correctas que garantizan el aprobado, es decir k = 76.
De modo que nos están pidiendo Pr(A) = Pr(Bin(100, p(0,50)) ≥ k), con p(0,50) =
0,50
2
+ 12 = 0,75.
Dado que n > 30 y np(1 − p) = 18,75 > 5 se podrá utilizar el TCL para aproximar esta binomial por
una Normal de media y desviación tı́pica dadas, respectivamente, por µ = np = 100 × 0,75 = 75 y
√
√
σ = 100 × 0,75 × 0,25 = 18,75 ≈ 4,33.
Ası́ que,
76 − 75
= Pr(N (0, 1) ≥ 0,23).
Pr(A) = Pr N (0, 1) ≥
4,33
1
Consultando la Tabla de la N (0, 1) se sabe que Pr(Ā) = 0,5910, de modo que el valor de la probabilidad
pedida será Pr(A) = 1 − 0,5910 = 0,4090.
Con todo ello se concluye que un alumno que sepa el 50 % de la asignatura tiene una probabilidad del
40,9 % de aprobar el examen.
C2.
a) El siguiente código de MATLAB/Octave, genera números de una variable aleatoria X.
6000
>>
>>
>>
>>
n = 10000;
u = rand(n,1);
x = (-1/2)*log(1-u);
hist(x)
5000
4000
3000
2000
>> p = sum(x<1)/n
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1. ¿Qué módelo de probabilidad sigue la variable aleatoria generada por este código? (Escribe
su función de densidad)
2. ¿Cuál serı́a el valor numérico aproximado de p ? Justifica tu respuesta.
b) Responde si la siguiente afirmación es VERDADERA o FALSA (Justifica tu respuesta). Sea X
una v.a. con función de densidad dada por fX (x) = e−x , con x ≥ 0. Entonces:
Pr({0 ≤ X ≤ 3} ∪ {2 ≤ X ≤ 4}) = 1 − e−4
Solución:
a)
1. El código simula una muestra de tamaño 10000 de una variable aleatoria exponencial con
parámetro λ = 2 usando el método de la inversa. Por lo tanto, tenemos que x = Fx−1 (u) donde
u ∼ U(0, 1). Para poder identificar el modelo de probabilidad subyacente en la simulación podemos
obtener Fx de la siguiente manera:
1
− log (1 − u) = x
2
(1 − u) = e−2x
u
= 1 − e−2x
Dado que U = FX (x), concluı́mos que X ∼ Exp(λ = 2), como se puede observar en el histograma.
La función de densidad es por tanto:
(
2e−2x
x≥0
fX (x) =
0
en caso contrario
2. El comando está aproximando la probabilidad Pr(X < 1), mediante simulación de la variable
aleatoria X. Como X ∼ Exp(λ = 2), entonces:
Pr(X < 1) = FX (1) = 1 − e−2 = 0,8647
2
b) Es VERDADERO. Ya que
{0 ≤ X ≤ 3} ∪ {2 ≤ X ≤ 4} = {0 ≤ X ≤ 4} ,
y por tanto, como X ∼ Exp(λ = 1)
Pr({0 ≤ X ≤ 4}) = FX (4) = 1 − e−4 .
C3.
Considera un canal de comunicación binario que transmite palabras codificadas, cada una de
n = 8 bits. Para cada bit individual, la probabilidad de que sea transmitido correctamente es 0,95 y
además el código es capaz de corregir hasta 2 errores de cada palabra. Si suponemos que la transmisión
de bits sucesivos es independiente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún error en la transmisión de los bits que componen
una palabra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en la transmisión de una palabra, el primer bit transmitido
incorrectamente sea el quinto?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una palabra sea transmitida correctamente? (su contenido es
recuperable por el receptor)
Solución:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún error en la transmisión de los bits que componen una
palabra?
Una palabra está compuesta de n = 8 bits que se transmiten independientemente y la probabilidad de
transmisión correcta para cada uno de ellos es 0,95. Tenemos que la variable aleatoria ‘número de bits
transmitidos erróneamente en una palabra’, a la que denotamos por N , sigue distribución Binomial de
parámetros n = 8 y p = 1 − 0,95 = 0,05, por tanto,
Pr(N = 0) = (1 − p)8 = 0,958 = 0,663 .
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en la transmisión de una palabra, el primer bit transmitido incorrectamente sea el quinto?
El ‘número de bits transmitidos hasta el primero erróneo’ es una variable que denotamos por M y que
sigue distribución geométrica de parámetro p = 0,05, por tanto,
Pr(M = 5) = (1 − p)4 × p = 0,954 × 0,05 = 0,041 .
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una palabra sea transmitida correctamente? (su contenido es recuperable por el receptor)
Para que una palabra sea transmitida correctamente debe tener, a lo sumo, 2 errores, ası́ que utilizando
la variable N ∼ B(n = 8, p = 0,05) del apartado a), la probabilidad de que una palabra sea transmitida
correctamente es:
8
8
Pr(N ≤ 2) = 0,958 +
0,957 × 0,05 +
0,956 × 0,052 = 0,994 .
1
2
3
C4.
Sean X e Y dos v.a. con función de densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(
k 0≤x≤1 x≤y≤2
0 en otro caso
a) Calcula la función de densidad de Y |X = x. ¿Son X e Y independientes?
Y −X
2 .
b) Calcula la función de densidad conjunta de U = X y V =
Solución:
a) Primero necesitamos calcular el valor de la constante, para eso integramos en el recinto apropiado:
1=
Z
1
0
Z
2
x
k dydx ⇒ k = 2/3
También se puede resolver geométricamente calculando
el volumen del recinto k · 1 + k · 1·1
2 = 1.
Ahora necesitamos calcular la función de densidad marginal de X:
Z 2
2
2
fX (x) =
dy = (2 − x) 0 ≤ x ≤ 1
3
3
x
Por lo tanto la función de densidad condicionada:
fY |X=x (y) =
2/3
1
f (x, y)
=
=
fX (x)
2/3(2 − x)
2−x
x≤y≤2
Como fY |X=x (y) depende de x nunca va a ser igual a fY (y), por lo tanto no son independientes.
b)
X=U ,
Y = 2V + U ,
Por lo tanto
fU,V (u, v) = fX,Y (x, y) · dx
du
dy
du
dx
dv
dy
dv
donde el nuevo recinto R es:
R⇒
(
dx
du
dy
du
(
=
dx
dv
dy
dv
2
3
1 0
=
1 2
×2
0
0≤u≤1
u ≤ 2v + u ≤ 2 ⇒ 0 ≤ v ≤
4
=2
en el recinto R
resto
2−u
2
Examen de Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a de Telecomunicación
25 de mayo de 2009
solución
Problemas
1h 30m
P1.
CX
CY
Los componentes del circuito mostrado en figura han sido producidos por el mismo proceso y comparten
el tipo de material. Los tiempos de vida de los dos, constituyen un vector bidimensional aleatorio, (X, Y ),
con función de densidad conjunta
(
k, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10;
fXY (x, y) =
0, resto.
Se supone que las unidades de medida son años.
a) Calcula k para que fXY sea una función de densidad
b) ¿Son los tiempos de vida de los dos componentes independientes?
c) Calcula la probabilidad de que el sistema siga funcionando después de 7 años.
d) Si se supone que después de 4 años el componente CX sigue funcionando, calcula la probabilidad
de que el sistema funcione más de 7 años.
e) Si se sabe que el el tiempo de vida del componente CX es 3, ¿qué tiempo de vida medio tendrá el
componente CY ?
Solución:
a) Calculamos k, como
Z
0
10
Z
y
10
k dxdy = 1 ⇒ 50k = 1 ⇒ k =
O también, por razonamientos geométricos k =
5
2
102
=
1
50
= 0,02.
1
50
y
10
10
x
b) Las densidades marginales de X y Y se calculan como
( Rx
x
1
0 ≤ x ≤ 10;
0 50 dy = 50
fX (x) =
0
resto.
( R 10
10−y
1
0 ≤ y ≤ 10;
y 50 dx = 50
fY (y) =
0
resto.
Como fXY (x, y) 6= fX (x) fY (y) resulta que las variables X y Y no son independientes.
c) La probabilidad de que el sistema siga funcionando después de 7 años es:
Pr (X > 7, Y > 7) =
Z
10
7
Z
10
y
9
1
dxdy =
.
50
100
También podrı́amos haberlo resuelto usando razonamientos geométricos, siendo inmediato calcular que
1 3×3
9
Pr (X > 7, Y > 7) = 50
2 = 100
y
10
7
7
10
x
d) La probabilidad pedida es equivalente a calcular
Pr(X > 7, Y > 7|X > 4) =
Pr(X > 7, Y > 7, X > 4)
Pr(X > 7, Y > 7)
9 100
9
=
=
=
Pr(X > 4)
Pr(X > 4)
100 84
84
donde la probabilidad Pr(X > 4) ha sido calculada usando la formula
Pr(X > 4) =
Z
10
fX (x)dx =
4
Z
10
4
10
x2 84
16
x
dx =
=
.
=1−
50
100 4
100
100
Pr(X > 4) podı́a ser calculada también usando simples razonamientos geométricos, como
1−
16
84
1 4·4
·
=1−
=
50
2
100
100
e) La variable aleatoria Y |X = 3 tiene densidad
fXY (3, y)
=
fY |X=3 (y) =
fX (3)
6
(
1 50
50 3
0
=
1
3
0 ≤ y ≤ 3;
resto.
La media de Y |X = 3 se calcula como
E[Y |X = 3] =
Z
3
y fY |X=3 (y) dy =
0
3
9
3
y 2 = = .
6 0
6
2
Este resultado se podrı́a haber calculado inmediatamente sabiendo que Y |X = 3 está distribuida como
una U(0, 3).
P2. Sea A una variable aleatoria que sigue una distribución Uniforme (0, 2) y sea B una variable
aleatoria binaria que toma valores 0 ó 1, con P(B = 0) = 1/4. Entonces sea el proceso estocástico
X(t) = At2 + B, siendo A y B independientes,
a) Calcular la media y la varianza del proceso X(t).
b) Estudiar si el proceso X(t) es estacionario en sentido débil.
c) Calcular la Pr(X(1) < 2).
d) Sea el proceso estocástico Y (t) =
2
X(t)−B
t
, ¿es estacionario en sentido débil?
Solución:
a) Comenzamos calculando los momentos de la variable aleatoria A,
E[A] =
Z
2
0
2
E[A ] =
Z
0
Por tanto:
2
2
a2 1
a da = = 1;
2
4 0
2
4
a3 = ;
a da =
2
6 0
3
21
Var[A] =
4
1
− 12 = .
3
3
Continuamos con los de la variable B,
1
3
3
E[B] = 0 + 1 = ;
4
4
4
3
3
1
E[B 2 ] = 02 + 12 = ;
4
4
4
2
3
3
3
Var[B] = −
=
.
4
4
16
Ahora podemos calcular la media y la varianza del proceso X(t), dado que A y B son independientes,
3
E[X(t)] = E[At2 + B] = E[At2 ] + E[B] = t2 E[A] + E[B] = t2 + ;
4
Var[X(t)] = Var[At2 + B] = Var[At2 ] + Var[B] = t4 Var[A] + Var[B] = t4
3
1
+ .
3 16
b) El proceso X(t) no es estacionario en sentido débil puesto que la media del proceso depende de t.
7
c)
Pr(X(1) < 2) =
Pr(A + B < 2)
(Por el Teorema de la Prob. Total)
=
Pr(A + B < 2|B = 0) Pr(B = 0) + Pr(A + B < 2|B = 1) Pr(B = 1) =
=
Pr(A < 2) Pr(B = 0) + Pr(A < 1) Pr(B = 1)
Z
Z
3 11
1 21
da +
da
4 0 2
4 0 2
2
1
1 a 3 a 5
+
=
4 2
4 2
8
=
=
0
0
d)
E[Y (t)] = E
"
X(t) − B
t
2 #
=E
"
At2 + B − B
t
2 #
i
h
4
2
= E (At) = t2 E[A2 ] = t2 .
3
El proceso Y (t) no es estacionario en sentido débil puesto que la media del proceso depende de t.
8