Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales Adivinando números 1. Explica por qué puedo adivinar los dos números que has pensado si me dices el resultado de estas operaciones: Piensa un número. Multiplícalo por dos. Súmale 5. Multiplica el resultado por 5. Piensa otro número del 0 al 9. Súmalo al resultado anterior. Resta 25 al resultado obtenido. Demostración: 1) Piensa un número: a 2) Multiplícalo por dos: 2a 3) Súmale 5: 2a + 5 4) Multiplica el resultado por 5: 5 (2a + 5) = 10a + 25 5) Piensa otro número: b 6) Súmalo al resultado anterior: 10a + 25 + b 7) Resta 25 al resultado obtenido: 10a + 25 + b − 25 = 10a + b = ab El último dígito es el segundo número, lo que queda entre 10 es el primer número. 2. ¿Cómo se puede justificar que sepa el resultado?: Escribe el año en que naciste. Súmale el año de algún acontecimiento importante de tu vida. A este súmale los años que tendrás en 2007. Finalmente, a eso súmale el número de años que van a transcurrir desde que se produjo el acontecimiento importante de tu vida hasta el año 2007. La respuesta será 4014. Demostración: 1) Escribe el año en que naciste a 2) Súmale el año de algún acontecimiento importante de tu vida a + b 3) A este súmale los años que tendrás en 2007 (a + b ) + (2007 − a ) = 2007 + b 4) Súmale el número de años que van a transcurrir desde que se produjo el acontecimiento importante de tu vida hasta el año 2007 (2007 + b ) + (2007 − b ) = 2007 + 2007 = 4014 3. Piensa un número de 3 cifras, después, repítelo para formar un número de 6 cifras. Divídelo entre 7. Observa que el residuo es cero. El resultado divídelo entre 11. Finalmente, el resultado divídelo entre 13.El resultado es el número original, explica porque. Demostración abc abcadb = a × 10 5 + b × 10 4 + c × 10 3 + a × 10 2 + b × 10 + c = a (10 5 + 10 2 ) + b(10 4 + 10) + c(10 3 + 1) = 100100a + 10010b + 1001c 7 × 11 × 13 = 1001 100100a + 10010b + 1001c = 100a + 10b + c = abc 1001 Velocidades Ngj/v2008 1.2 Aritmética 1 Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales 4. Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba remando corriente arriba por un río cuya corriente llevaba una velocidad de 3 Km./h. En cierto momento el sombrero se le cayó al agua, aunque no se dio cuenta hasta que estuvo a 5 Km. de distancia. En ese momento empezó a remar corriente abajo hasta que los recogió. En aguas quietas la velocidad con la que rema el pescador es de 5 Km./h, por tanto su velocidad corriente arriba será de 2 Km./h, mientras que corriente abajo será de 8 Km./h. Si el pescador perdió su sombrero a las 2 de la tarde, ¿a que hora lo recuperó? Solución Hora inicial distancia velocidad Tiempo Hora final 2:00 p.m. 5 Km. 2 Km. /HR. 2.5 Hrs. 4:30 p.m. 4:30 p.m. 5 Km. 8 Km. / HR. 5/8 de HR. 5:07 p.m. = 37.5 min. Otra solución: Si el sombrero se mueve río abajo a 3 km/hr: Hora 2:00 4:30 5:30 6:30 7:00 Pescador río arriba a 2 km/hr Recorrió 5 km 2.5 hrs se tardó Sombrero río abajo a 3 km/hr 2.5 hrs después está a 5 km + 7.5 km del pescador. Se encuentra a 12.5 km de distancia del pescador Recorrió 8 km río abajo recorrió 3 km río abajo= 15.5 km Recorrió 16 km río abajo Otros 3 km = 18.5 km Recorrió 4 km río abajo= 1.5 km más = 20 km 20 km Lo alcanzó el pescador. El salario Ngj/v2008 1.2 Aritmética 2 Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales 5. Supongamos que estás negociando el salario con tu jefe y éste te da a elegir entre 2 ofertas: A) 2.000.000 por tu primer año de trabajo y un aumento de 400.000 pesos anuales en los 5 años siguientes. B) 1.000.000 por tu primer semestre de trabajo y un aumento de 100.000 pesos cada semestre durante los 5 años siguientes. ¿Qué oferta elegirías y por qué? Solución Año A B 1 2´000,000 1´000,000 1´100,000 2 2´400,000 1´200,000 1´300,000 3 2´800,000 1´400,000 1´500,000 4 3´200,000 1´600,000 1´700,000 5 3´600,000 1´800,000 1´900,000 total 14´000,000 14´500,000 Los cuatro cuatros 6. El problema de los cuatro cuatros es el siguiente: Escribir con cuatro cuatros y signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado. En la expresión no puede figurar, aparte de los cuatro cuatros, ninguna cifra o letra o símbolo algebraico que suponga letras, tal como: log, lim, etc. Pero si puede usarse la parte entera. Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100. A veces será necesario recurrir al signo de factorial ( ! ) y al de la raíz cuadrada. La raíz cúbica no puede ser empleada a causa del índice 3. Escribe con cuatro cuatros todos los números del 0 al 10. Solución 4 4 4× 4 4 4 4+4+4 4−4 4× 4 + 4 0= − 1= 2= + 3= 4 = 4+ 5= 4 4 4× 4 4 4 4 4 4 6= 4+4 +4 4 7= 44 −4 4 8= 4+4+4−4 9 = 4+4 4 4 10 = 44 − 4 4 Acertijo con dinero Ngj/v2008 1.2 Aritmética 3 Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales 7. Cuando el Sr. Martínez fue al banco se dio cuenta de que se había quedado en números rojos (debiéndole al banco). Sin comprender cómo había sucedido, le explicó al Director del Banco lo siguiente: Inicialmente tenía 100.000 pesos en mi cuenta. Retiré sucesivamente 6 cantidades de dinero que sumaban 100.000, pero según mis registros únicamente había 99.000 disponibles. Las cifras exactas fueron las siguientes: Retiros Cantidad que quedaba en depósito 50.000 50.000 25.000 25.000 10.000 15.000 8.000 7.000 5.000 2.000 2.000 0 100.000 99.000 Como ve, aparentemente debo 1.000 pesos al banco. – Dijo el Sr. Martínez Apreciamos su honestidad, le dijo el Director del banco, pero no nos debe nada. Entonces, ¿hay algún error en mis cifras? No, sus cifras son correctas. ¿Dónde está el error? Solución El error está en comparar la suma de retiros con la suma de saldos Ngj/v2008 1.2 Aritmética 4 Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales Reparto justo 8. Los hermanos Zipi y Zape me encargaron que vendiera en el mercado dos partidas de melones. Zipi me encargó 30 melones que debían ser vendidos al precio de 3 por una moneda de 500 pesetas; Zape me entregó también 30 melones para los que estipuló un precio más caro: 2 melones por una moneda de 500 pesetas. Lógicamente, después de efectuada la venta Zipi tendría que recibir 10 monedas de 500 pts y Zape 15. El total de la venta sería pues 25 monedas de 500 pts. Para mayor comodidad, empecé a venderlos en lotes de 5 por 1000 pts: Si tenía que vender 3 por 500 pts y luego 2 por 500 pts, sería más sencillo vender 5 por 1000 pts. Vendidos los 60 melones en 12 lotes de cinco melones cada uno, recibí 24 monedas de 500 pts. ¿Cómo se explica esta diferencia de 500 pts entre lo recibido y lo que se supone que habría que recibir? Solución Melones vendidos Melones que quedan Melones que quedan de Zipi de Zape 5 3: 30-3= 27 2: 30-2= 28 10 3: 27-3= 24 2: 28-2= 26 15 3: 24-3= 21 2: 26-2= 24 20 3: 21-3= 18 2: 24-2= 22 25 3: 18-3= 15 2: 22-2= 20 30 3: 15-3= 12 2: 20-2= 18 35 3: 12-3= 9 2: 18-2= 16 40 3: 9-3= 6 2: 16-2= 14 45 3: 6-3= 3 2: 14-2= 12 50 3: 3-3= 0 2: 12-2= 10 Los últimos diez melones debió de venderlos a 2 por 500 Ngj/v2008 1.2 Aritmética 5 Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales ¿Cómo escapar de una torre? 9. Hace 300 años vivió un príncipe de corazón enfermo y excesivo orgullo. Éste había prometido a su hija en matrimonio a un rico vecino, pero ésta tenía un plan diferente. Enamorada de un lacayo, intentó huir con él a las montañas, pero fueron capturados. El príncipe decidió ejecutarlos al día siguiente. Los encerró en una alta torre junto con una muchacha, una sirviente que los había ayudado en su fallida huida. Mirando por la ventana, observaron que era imposible saltar y sobrevivir. Sin embargo, había una cuerda, colgando de una polea, en cuyos extremos había sendas cestas. Éstas habían sido utilizadas en el pasado para subir ladrillos y bajar escombros. También había en la torre 13 trozos de cadena de unos 5 kilogramos cada uno. Los prisioneros dedujeron que si una de las cestas llevaba una carga superior en cinco kilogramos a la otra, la más pesada descendería suavemente al suelo a la vez que la otra ascendía hacia la ventana. Sabiendo que los pesos de los prisioneros eran, respectivamente, de 90, 50 y 40 kilogramos, ¿cómo podrían escapar de la torre? En ningún momento una cesta en descenso puede pesar 5 kilogramos más que la otra. ¿Cuántas veces han bajado las cestas? Solución orden 1 2 3 4 5 6 7 8 Cesta baja con 7 cadenas = 35 Kg. Persona de 40 kilos 9 cadenas = 45 Kg. Persona de 50 Kg. 9 cadenas = 45 Kg. Persona 90 Kg. 7 cadenas = 35 Kg. Persona de 50 Kg. Ngj/v2008 Cesta sube con Vacía 7 cadenas = 35 Kg. Vacía 9 cadenas = 45 Kg. Vacía Persona de 50 Kg. + 7 cadenas Vacía 9 cadenas = 45 Kg. 1.2 Aritmética 6 Matemáticas Discretas Tc1003 Conceptos Fundamentales El Problema del Historiador 10. Josephus Flavius fue un famoso historiador judío de la primera centuria (37100). Cuentan que durante la guerra de los judíos y los romanos, él se quedó atrapado, con otros cuarenta soldados judíos, en una cueva asediada por los romanos y sin una posible vía de escape. La leyenda dice que, prefiriendo suicidarse a ser capturados, los soldados decidieron matarse entre ellos, pero Josephus y un amigo suyo no estaban de acuerdo. Para sobrevivir Josephus sugirió que se procediera del siguiente modo: Todos ellos debían colocarse en círculo, numerándose del 1 al 41, y empezando a contar por el primero toda tercera persona sería asesinada hasta que sólo quedara una persona que debería suicidarse. Josephus salvó su vida y la de su amigo colocándose en el lugar 31 y 16 respectivamente. Comprueba que las dos últimas personas que quedaron fueron Josephus y su amigo. 1º 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 Ngj/v2008 2º 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 3º 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 1º 40 2 7 11 16 20 25 29 34 38 2 8 16 2º 41 4 8 13 17 22 26 31 35 40 4 11 17 3º 1 5 10 14 19 23 28 32 37 41 7 13 20 1.2 Aritmética 1º 22 29 35 2 11 22 31 2 16 31 4 31 16 2º 25 31 38 4 16 25 35 4 22 35 16 35 31 3º 26 34 40 8 17 29 38 11 25 2 22 4 35 7