Ejercicios de Algebra II Teorema 0.1 Sea G = ∅ un semigrupo con

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Ejercicios de Algebra II
Teorema 0.1 Sea G 6= ∅ un semigrupo con una operación binaria ∗, que
cumple con las siguientes condiciones:
(i) Existe e ∈ G tal que a ∗ e = a para todo a ∈ G,(existencia de neutro
derecho).
(ii) Para cada a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = e, existencia de inverso
derecho.
Entonces si c ∗ c = c es c = e.
Demostración.- Sea c ∗ c = c y sea c−1 el inverso derecho de c, por la tanto
(c ∗ c) ∗ c−1 = c ∗ c−1 ⇒ c ∗ (c ∗ c−1 ) = e ⇒ c ∗ e = e ⇒ c = e.¥
Teorema 0.2 Sea G 6= ∅ un semigrupo con una operación binaria ∗, que
cumple con las siguientes condiciones:
(i) Existe e ∈ G tal que a ∗ e = a para todo a ∈ G,(existencia de neutro
derecho).
(ii) Para cada a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = e, existencia de inverso
derecho.
Entonces si G es un grupo.
Demostración en clase
Ejercicios
1. Demostrar que el teorema anterior es válido si el semigrupo tiene neutro
izquierdo e inverso izquierdo.
2. ¿ Será cierto el teorema si el semigrupo tiene neutro derecho e inverso
izquierdo. ?
NURR.
Algebra II.
Prof.- Armando Montilla
3. ¿ Será cierto el teorema si el semigrupo tiene neutro izquierdo e inverso
derecho. ?
4. Demostrar que si un semigrupo G 6= ∅ tiene neutro derecho y neutro
izquierdo estos son iguales.
5. Demostrar que en un monoide G 6= ∅ si cada elemento tiene inverso
derecho e inverso izquierdo, estos son iguales.
Teorema 0.3 Sea G 6= ∅ un semigrupo con una operación binaria ∗, que
cumple las siguientes condiciones:
(i) Para cada a, b ∈ G existe x ∈ G tal que a ∗ x = b.
(ii) Para cada a, b ∈ G existe y ∈ G tal que y ∗ a = b.
Entonces G es un grupo.
Demostración.- Veamos primero que existe elemento neutro. Sea a ∈ G,
por hipótesis (i), existe ea ∈ G tal que a ∗ ea = a, veamos ahora que para
cualquier c ∈ G se cumple que
c ∗ ea = c.
En efecto, por hipótesis (ii) es c = t ∗ a, para algún t ∈ G, luego:
c ∗ ea = (t ∗ a) ∗ ea = t ∗ (a ∗ ea ) = t ∗ a = c.
Ejercicios
1. Completar la demostración de este teorema.
2. Demostrar que si un grupo G tiene la propiedad de que a2 = a para todo
a ∈ G, es abeliano.
3. Demostrar que si un grupo G tiene la propiedad de que (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2
para todo a, b ∈ G, entonces (a ∗ b)−1 = a−1 b−1 .
4. Sea Q el conjunto de los números racionales, definir en Q la siguiente
xy
. ¿ Es (Q, ∗) un semigrupo ? ¿ Es (Q, ∗) un monoide
operación: a ∗ b =
2
? ¿ Es (Q, ∗) un grupo ? Identificar el elemento neutro y los inversos en
caso de haberlos.
5. Sea Q el conjunto de los números racionales, definir en Q la siguiente
x+y
operación: a ∗ b =
. ¿ Es (Q, ∗) un semigrupo ? ¿ Es (Q, ∗) un
2
monoide ? ¿ Es (Q, ∗) un grupo ? Identificar el elemento neutro y los
inversos en caso de haberlos.
NURR.
Algebra II.
Prof.- Armando Montilla
6. Sea Q el conjunto de los números racionales, definir en Q la siguiente
operación: a ∗ b = a + b + ab. ¿ Es (Q, ∗) un semigrupo ? ¿ Es (Q, ∗)
un monoide ? ¿ Es (Q, ∗) un grupo ? Identificar el elemento neutro y los
inversos en caso de haberlos.
7. Sea A un conjunto no vaı́o. Demostrar que P(A) con la operación C ∗D =
C ∩ D es un monoide.
8. Sea G el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2. determinar si G
con la operación suma de matrices, es: semigrupo, monoide, grupo.
9. Sea G el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2. Determinar si G
con la operación producto de matrices, es: semigrupo, monoide, grupo.
10. Sea P el conjunto de los polinomios de de grado n. determinar si P con
la operación suma de polinomios, es: semigrupo, monoide, grupo.
11. Sea P el conjunto de los polinomios de de grado n. determinar si P con
la operación producto de polinomios, es: semigrupo, monoide, grupo.
12. Sean (G, ∗1 ) y (H, ∗2 ) grupos Definir en G × H la siguiente operación:
(g1 , h1 ) ∗ (g2 , h2 ) = (g1 ∗1 g2 , h1 ∗2 h2 )
¿Es (G × H, ∗) un grupo?
Homomorfismos:
Ejemplo.- Sean (G, ∗g ) y (H, ∗h ) grupos, definimos f : G → H como
f (g) = eh para todo g ∈ G, entonces f es un homomorfismo ya que
f (g ∗g s) = eh = eh ∗h eh = f (g) ∗h f (s)
En este caso se ha denotado las operaciones en los respectivos grupos de
manera diferente, ∗g para la operación en G y ∗h para la operación en H, a
fı́n de hacer enfasis en que son operaciones diferentes , sin embargo esto no es
necesario, ya que podemos usar la misma notación para las dos operaciones,
interpretandose segun los elementos que se operan, en este caso el ejemplo
anterior se puede expresar de la siguiente manera:
Sean (G, ∗) y (H, ∗) grupos, definimos f : G → H como f (g) = eh para
todo g ∈ G, entonces f es un homomorfismo ya que
f (g ∗ s) = eh = eh ∗ eh = f (g) ∗ f (s)
Nótese que en g ∗ s, el sı́mbolo ∗ se interpreta como la operación en G,
mientras que en f (g) ∗ f (s) el sı́mbolo ∗ se interpreta como la operción en H.
Ejemplo.- Sean G y H grupos, definimos i : G → G × H mediante:
i(g) = (g, eh ), para todo g ∈ G, entonces i es un homomorfismo, ya que
i(g ∗ s) = (g ∗ s, eh ) = (g ∗ s, eh ∗ eh ) = (g, eh ) ∗ (s, eh ) = i(g) ∗ i(s)
NURR.
Algebra II.
Prof.- Armando Montilla
Ejemplo.- Sean G y H grupos, definimos i : H → G × H mediante:
i(h) = (eg , h), para todo h ∈ H. ¿Es i in homomorfismo?
Ejercicio.- Sean G y H grupos, y π; G × H → G definida por π(g, h) = h
para todo (g, h) ∈ G × H. ¿Es π un homomorfismo?
Ejercicio.- Sean G y H grupos, y π; G × H → H definida por π(g, h) = g
para todo (g, h) ∈ G × H. ¿Es π un homomorfismo?
Ejemplo.- Consideremos los grupos (Z, +) y (Z∗ , ·) y definimos f : (Z, +) →
(Z∗ , ·) como f (m) = 3m , entonces f es un homomorfismo ya que
f (m + n) = 3(m+n) = 3m 3n = f (m)f (n).
Ejercicio.- Dar un ejemplo de un homomorfismo f , con f : (Z, ·) → (Z∗ , ·).
Ejercicio.- Dar un ejemplo de un homomorfismo f , con f : (Z, +) →
(Z∗ , +).
Ejercicio.- Dar un ejemplo de un homomorfismo f , con f : (Z, ·) → (Z∗ , +).