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Apuntes: Matemáticas Empresariales I
1.
Lección 1 - Espacio Vectorial
Definiremos espacio vectorial como la estructura algebraica consistente en:
1. Grupo abeliano {V, +, } cuyos elementos se denominan vectores.
Para que los elementos de V conjunto con la operación + formen un grupo
abeliano deben cumplir las siguientes propiedades:
a) Propiedad asociativa. Dados tres vectores de V, se debe cumplir que v⃗i +
(⃗
vj + v⃗k ) = (⃗
vi + v⃗j ) + v⃗k . Es decir, que debe dar el mismo resultado si se
realiza la operación agrupándolos de formas distintas.
b) Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos ⃗0, que cumpla
que v⃗i + ⃗0 = v⃗i . Es decir, que al aplicar la operación a cualquier elemento
junto con el neutro, el resultado sea el propio elemento.
⃗ i ), que
c) Elemento Simétrico. Debe existir un elemento, que llamamos (−v
⃗ i ) = ⃗0. Es decir, que al aplicar la operación a cualquier
cumpla que v⃗i + (−v
elemento junto con el simétrico, el resultado sea el neutro.
d ) Propiedad conmutativa. Dados dos vectores de V, se debe cumplir que
v⃗i + v⃗j = v⃗j + v⃗i . Es decir, el orden de los elementos en la operación no
altera el resultado.
2. Un cuerpo conmutativo {R, +, ·} , cuyos elementos se denominan escalares
3. Una ley de composición externa, tal que el producto escalar por un vector (k·⃗v )
de como resultado un vector (k · ⃗v ϵV) y que cumpla los siguientes axiomas:
a) Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores:
k · (⃗
vi + v⃗j ) = k · v⃗i + k · v⃗j ,
b) Que sea distributivo respecto a la suma de escalares:
(ki + kj ) · ⃗v = ki · ⃗v + kj · ⃗v ,
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c) Que sea pseudoasociativa:
(ki · kj ) · ⃗v = ki · (kj · ⃗v )
d ) Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo:
1 · ⃗v = ⃗v
Ejemplo
Sea el conjunto de elementos de R2 (son todos aquellos que tienen dos coordenadas y que cada coordenada es un numero real). Sea la operación suma de vectores
definida de la forma siguiente: dados dos vectores de R2 x̄ = (x1 , x2 ) e ȳ = (y1 , y2 ) se
define el vector suma como otro vector s̄ ∈ R2 que cumple que s̄ = (x1 + y1 , x2 + y2 ).
Sea la operación externa producto escalar definida de la forma siguiente: dado un
vector de R2 (x̄ = (x1 , x2 )) y dado un escalar k perteneciente al espacio R se define
el producto escalar a otro vector p̄ ∈ R2 que cumple que p̄ = (kx1 , kx2 ). Demostrar
que los tres elementos forman un espacio vectorial.
Para que los tres elementos formen un espacio vectorial deben cumplir las
propiedades del espacio vectorial. En primer lugar, el conjunto de elementos R2 y la
operación suma deben formar un grupo abeliano. Para ello deben cumplir las cuatro
propiedades del grupo abeliano:
1. Propiedad asociativa. Sean tres elementos cualquiera de R2 , x̄ = (x1 , x2 ), ȳ =
(y1 , y2 ) y z̄ = (z1 , z2 ) deben cumplir que x̄ + (ȳ + z̄) = (x̄ + ȳ) + z̄. Y operando
lo que se obtiene es que (x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] tiene que ser igual que
[(x1 , x2 )+(y1 , y2 )]+(z1 , z2 ) y operando se obtiene que (x1 , x2 )+(y1 +z1 , y2 +z2 )
tiene que ser igual a (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 ) donde ya se han realizado la
primera operación suma. Ahora, se realiza la segunda operación y entonces
[x1 +(y1 +z1 ), x2 +(y2 +z2 )] debe ser igual a [(x1 +y1 )+z1 , (x2 +y2 )+z2 ]. Dichas
expresiones serán iguales si x1 + (y1 + z1 ) = (x1 + y1 ) + z1 y si x2 + (y2 + z2 ) =
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(x2 + y2 ) + z2 . Dichas expresiones se cumplen ya que los elementos xi , yi , zi son
números reales y los numeros reales tienen la propiedad asociativa.
2. Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos 0̄ = (0, 0), que
cumpla que x̄ + 0̄ = x̄. En este caso, dado el elemento neutro, debe cumplir
que (x1 , x2 ) + (0, 0) = (x1 , x2 ) y operando se obtiene que x1 + 0 = x1 y que
x2 + 0 = x2 . Como los xi son números reales y el 0 es el neutro de los reales,
dicha propiedad se cumple.
¯ = (−x1 , −x2 ),
3. Elemento Simétrico. Debe existir un elemento, que llamamos (−x)
¯ = 0̄. En este caso, dado el elemento simétrico, se
que cumpla que x̄ + (−x)
debe cumplir que (x1 , x2 ) + (−x1 , −x2 ) = (0, 0) y operando se obtiene que
x1 + (−x1 ) = 0 y que x2 + (−x2 ) = 0. Como los xi son números reales, se
cumple que la suma de un número con su opuesto da el 0.
4. Propiedad conmutativa. Sean dos elementos cualquiera de R2 , x̄ = (x1 , x2 ) y
ȳ = (y1 , y2 ), deben cumplir que x̄ + ȳ = ȳ + x̄. En este caso, se debe cumplir
que (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) y operando, se debe cumplir que
(x1 + y1 , x2 + y2 ) = (y1 + x1 , y2 + x2 ) e igualando ambos lados se debe cumplir
que x1 + y1 = y1 + x1 y que x2 + y2 = y2 + x2 . Como los xi y los yi son números
reales, dicha propiedad se cumple.
Ahora, una vez que sabemos que R2 y la operación suma forman un grupo
abeliano, debemos comprobar que junto con la operación producto escalar, forman
un espacio vectorial. Para ello debemos comprobar que se cumplen las propiedades
siguientes:
1. Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores. En este caso lo que debe
cumplir es que dados dos vectores de R2 , x̄ = (x1 , x2 ) y ȳ = (y1 , y2 ) y dado
un escalar k se debe cumplir que k · (x̄ + ȳ) = k · x̄ + k · ȳ. Desarrollando la
expresión, se debe cumplir que:
k · ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) = k · (x1 , x2 ) + k(y1 , y2 )
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Operando a ambos lados se obtiene que k · (x1 + y1 , x2 + y2 ) tiene que se igual a
(k·x1 +k·y1 , k·x2 +k·y2 ) y por último, esto se cumple si k·(x1 +y1 ) = k·x1 +k·y1
y si k · (x2 + y2 ) = k · x2 + k · y2 . Y debido a que tanto k como los xi como los
yi son números reales, dicha propiedad se cumple.
2. Que sea distributivo respecto a la suma de escalares. En este caso lo que debe
cumplir es que dado un vector de R2 , x̄ = (x1 , x2 ) y dados dos escalares k1 y
k2 se debe cumplir que (k1 + k2 ) · x̄ = k1 · x̄ + k2 · x̄. Desarrollando la expresión,
se debe cumplir que:
(k1 + k2 ) · (x1 , x2 ) = k1 · (x1 , x2 ) + k2 · (x1 , x2 )
Operando a ambos lados se obtiene que [(k1 + k2 ) · x1 , (k1 + k2 ) · x2 ] tiene que
se igual a [(k1 · x1 , k1 · x2 ) + (k2 · x1 , k2 · x2 )] e igualando ambos vectores se debe
cumplir que (k1 +k2 )·x1 = k1 ·x1 +k1 ·x2 y que (k1 +k2 )·x2 = k1 ·x2 +k2 ·x2 . Y
debido a que tanto k1 como k2 como los xi son números reales, dicha propiedad
se cumple.
3. Que sea pseudoasociativa. En este caso lo que debe cumplir es que dados un
vector de R2 , x̄ = (x1 , x2 ) y dados dos escalares k1 y k2 se debe cumplir que
(k1 · k2 ) · x̄ = k1 · (k2 · x̄). Desarrollando la expresión, se debe cumplir que:
(k1 · k2 ) · (x1 , x2 ) = k1 · k2 (·(x1 , x2 ))
Operando a ambos lados se obtiene que (k1 · k2 ) · x1 debe ser igual a k1 · k2 (·x1 )
y que (k1 · k2 ) · x2 debe ser igual a k1 · k2 (·x2 ). Y debido a que tanto k1 como
k2 como los xi son números reales, dicha propiedad se cumple.
4. Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo. En
este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R2 y dado el elemento
neutro del cuerpo, se debe cumplir que 1 · x̄ = x̄. Desarrollando la expresión,
se debe cumplir que:
1 · (x1 , x2 ) = (x1 , x2 )
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Operando a ambos lados se obtiene que 1·x1 sea igual a x1 y que 1·x2 sea igual
a x2 . Y debido a que los xi son números reales dicha propiedad se cumple.
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