UNIVERSIDAD DE MURCIA

UNIVERSIDAD
DE MURCIA
Departamento de Matemáticas
Claudi Busqué Roca.
SEMINARIO DE ÁLGEBRA. Curso 2003–2004.
Hoja 1 de ejercicios.
De los ejercicios marcados con un asterisco hay que entregar al menos
ocho. Plazo máximo de entrega: 15 de diciembre de 2003.
1 Para verificar la asociatividad en un tabla de una operación binaria sobre un
conjunto finito S puede utilizarse el Test de Asociatividad de Light debido a
F.W. Light en 1949. Este consiste en verificar la coincidencia para todo a ∈ S
de las dos operaciones binarias siguientes:
(x, y) −→ (xa)y
(x, y) −→ x(ay)
siguiendo el procedimiento práctico que se describe a continuación. Dada la tabla
T de la operación en S y un elemento a de S se construye una nueva tabla de la
forma siguiente:
(i) escribir la columna de a a la izquierda;
(ii) para cada entrada t = xa en la columna de a, la fila de t en la nueva tabla
es la fila de t en T ;
(iii) escribir la fila de a arriba;
(iv) para cada entrada u = ay en la fila de a, la columna de u en la nueva tabla
debe coincidir con la columna de u en T .
Demostrar como ejercicio que no es necesario construir una nueva tabla para cada
a ∈ S, sino que basta hacerlo para un conjunto generador.
2 Ver si las siguientes tablas definen una estructura de semigrupo en el conjunto
{a, b, c, d}:
·
a
b
c
d
a
a
a
c
c
b
b
b
d
d
c
a
a
c
c
d
b
b
d
d
·
a
b
c
d
a
a
b
a
d
b
b
a
b
c
c
a
d
c
d
d
b
c
d
c
3∗ Si Q es un conjunto finito con n elementos, calcular el número de elementos de
los semigrupos Fl (Q) y P Fl (Q).
4 Sea S un semigrupo. Un elemento e ∈ S se llama una identidad por la izquierda
(derecha) si ea = a (ae = a) para todo a ∈ S; y se llama una identidad si es
identidad por la derecha y por la izquierda. Demostrar que para un semigrupo
dado S solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
(a) S no tiene ninguna identidad por la derecha ni por la izquierda.
(b) S tiene una o más identidades por la derecha, pero ninguna por la izquierda.
(c) S tiene una o más identidades por la izquierda, pero ninguna por la derecha.
(d) S tiene un único elemento identidad, y ninguna otra identidad por la derecha
o por la izquierda.
5∗ Un semigrupo S se llama cancelativo por la izquierda (derecha) si para cualesquiera a, x, y ∈ S, ax = ay implica x = y (xa = ya implica x = y); y se
llama cancelativo si lo es por la derecha y por la izquierda. Un semigrupo S se
llama reductivo por la izquierda (derecha) si xa = xb (ax = bx) para todo x ∈ S
implica a = b. Demostrar las siguientes propiedades:
(a) La representación regular de S es fiel si y solo si S es reductivo por la
izquierda.
(b) Si S tiene alguna identidad por la izquierda o es cancelativo por la izquierda,
entonces es reductivo por la izquierda.
(c) Si S es cancelativo por la derecha y no tiene idempotentes distintos de 1,
entonces la ecuación ab = b implica a = 1, S = S 1 y S 1 es cancelativo por
la derecha sin idempotentes dintintos de 1.
(d) Si S el libre, entonces S es cancelativo.
6∗ Sea A un conjunto infinito y M(A) el subconjunto de Fr (A) formado por las
aplicaciones inyectivas con complemento de la imagen infinito. Demostrar que
M(A) es un subsemigrupo de Fr (A) cancelativo por la derecha y que admite
división por la derecha, es decir, dados f, g ∈ M(A), la ecuación f x = g admite
una única solución.
7∗ Sea N = {1, 2, . . . , n}. Demostrar que el semigrupo Fr (N) viene generado por
las aplicaciones:
ϕ1 (i) = i + 1 mod n
ϕ2 (1) = 2, ϕ2 (2) = 1, ϕ2 (i) = i i > 2
ϕ3 (1) = ϕ3 (2) = 1, ϕ3 (i) = i i > 2
8 Sea S un semigrupo. Si A y B son subconjuntos de S se define A · B como
A · B = {ab | a ∈ A b ∈ B}.
Demostrar que con esta operación así definida, el conjunto de las partes de S,
P(S), tiene estructura de semigrupo con elemento cero (el conjunto vacío). Se
puede ver que si G es un grupo, un elemento distinto de cero de P(G) es un
idempotente si y solo si es un subgrupo de G.
9∗ Si θ1 y θ2 son congruencias en un semigrupo de índices finitos m1 y m2 respectivamente demostrar que θ1 ∩ θ2 es una congruencia de índice menor o igual que
m1 m2 .
10∗ Sea G un grupo y S un subsemigrupo de G. Probar que si S es finito, entonces
S es un subgrupo de G.
11∗ Sea S un semigrupo finito con n elementos. Demostrar que para todo s1 , s2 , . . . sn ∈
S existen t1 , t2 y e con e idempotente tales que s1 s2 · · · sn = t1 et2 (indicación:
considerar los elementos pi = s1 . . . si y argumentar en función de si son todos
distintos o no).
12∗ Sea a un elemento de un semigrupo S y sea hai el subsemigrupo cíclico generado
por a, es decir hai = {a, a2 , a3 , . . .}. Si hai es finito, demostrar que existen
dos enteros positivos, el índice r y el periodo m de a, tales que am+r = ar y
hai = {a, a2 , . . . , am+r−1 }. Además, el conjunto Ka = {ar , ar+1 , . . . , am+r−1 } es
un subgrupo cíclico de S. En particular, si a es un elemento de un semigrupo
finito, entonces alguna potencia de a es idempotente.
Al semigrupo hai lo denotaremos por Cm,r .
13∗ Un semigrupo finito se llama aperiódico si no contiene grupos no triviales. Si S
es un semigrupo finito, demostrar que S es aperiódico si y solo si existe un entero
k > 0 tal que sk = sk+1 para todo s ∈ S.
14∗ Sean S, T semigrupos con S finito y sea f : S → T un homomorfismo de semigrupos. Demostrar que si la imagen de f es un subgrupo de T , entonces existe
un subgrupo G de S tal que f (G) = f (S).
15 Sea M un monoide. Consideremos las siguientes definiciones:
(a) M se llama cónico si xy = 1 implica x = y = 1.
(b) M se llama rígido si es cancelativo y siempre que se tenga ac = bd, entonces
existe un z ∈ M tal que a = bz o b = az.
(c) Un elemento de M se llama un átomo si es una no unidad y no puede
expresarse como producto de dos no unidades. Por ejemplo, en el monoide
libre Σ∗ los átomos son los elementos de Σ.
Sea M un monoide y Σ su conjunto de átomos. Demostrar que M = Σ∗ si y solo
si M es cónico, rígido y está generado por Σ.
16 Demostrar que un subsemigrupo de un semigrupo libre es libre si y solo si es
rígido.
17 Demostrar que el monoide aditivo de los racionales no negativos es cónico y rígido
pero no es libre.
18 Un semigrupo S se llama regular si para cada elemento x ∈ S existe un y ∈ S tal
que x = xyx. Dado S un semigrupo regular probar los siguientes enunciados:
(a) Para todo x ∈ S existe un y ∈ S tal que x = xyx y y = yxy. A y se le llama
el quasi-inverso de x.
(b) El quasi-inverso de cada elemento es único si y solo si los idempotentes de
S conmutan entre sí.
19∗ Sean S y T semigrupos tales que S divide a T . Si T es grupo, ¿implica esto que
S también debe ser un grupo?
20∗ Sea A el siguiente semiautómata:
a
1
2
b
b
b
a
3
a
4
a,b
Ver si los conjuntos de estados {1}, {2, 3, 4} y {4} son subsemiautómatas. Para
los que lo sean expresar su monoide asociado como imagen homomórfica de un
submonoide de M(A).
21∗ Sea A = (Q, Σ, δ) un semiautómata finito, δ̂ el homomorfismo
δ̂ : Σ∗ −→ Fr (Q)
w 7→
δw
y κ(δ̂) la relación núcleo en Σ∗ . Recordemos que el semiautómata A(κ(δ̂)) se
define como (Σ∗ /κ(δ̂), Σ, δ). Demostrar que cumple la propiedad siguiente: todo
subsemiautómata cíclico de A con el mismo alfabeto es imagen homomórfica de
A(κ(δ̂)).
22 Dados dos semiautómatas A = (Q, Σ, δ) y A′ = (Q, Σ′ , δ ′ ), un homomorfismo
de A en A′ se llama homomorfismo de señales de entrada si es del tipo (1Q , β).
Sea µ = (α, β) : A → A′ un homomorfismo. Demostrar que existe un autómata
A′′ = (Q′ , Σ, δ ′′ ), un homomorfismo de estados µ1 : A → A′′ y un homomorfismo
de señales de entrada µ2 : A′′ → A′ tales que µ = µ2 µ1 .
23∗ Demostrar que la relación de divisibilidad en autómatas y semigrupos es transitiva.
24∗ Sea A un semiautómata finito y sean σ y τ relaciones de equivalencia admisibles
tales que σ ∩ τ = id. Demostrar que A divide al producto directo de A/σ
con A/τ (el producto directo de dos semiautómatas es un caso particular del
producto en cascada. Dados A = (Q, Σ, δ) y B = (P, Σ, ϕ), el producto directo
es A × B = (Q × P, Σ, λ) con la acción λ actuando componente a componente).
25 (“Wreath product” de semigrupos) El equivalente al producto en cascada de semiautómatas es el llamado “wreath product” (¿producto espiral?). Dado que es un
producto semidirecto, empecemos viendo este para grupos y semigrupos.
• Sean H y K grupos y sea α : H → Aut(K) un homomorfismo de grupos,
donde Aut(K) denota el grupo de automorfismos de K. Denotamos por h x
la imagen de x por α(h). En el producto cartesiano K × H definimos la
siguiente operación:
(k1 , h1 )(k2 , h2 ) = (k1
h1
k2 , h1 h2 ).
Demostrar que esta operación define una estructura de grupo. El grupo
resultante se llama producto semidirecto de H y K con respecto a α y se denota por K ×α H. Ver como ejemplo que el grupo diédrico con 2n elementos
es un producto semidirecto de Z/2Z por Z/nZ.
• Sean ahora S y T semigrupos y sea α : S → End(T ) un homomorfismo
de semigrupos, donde End(T ) denota el monoide de endomorfismos de T .
Denotamos por s x la imagen de x por α(s). En el producto cartesiano K ×H
definimos la siguiente operación:
(t1 , s1 )(t2 , s2 ) = (t1 s1 t2 , s1 s2 ).
Demostrar que esta operación define una estructura de semigrupo. El semigrupo resultante se llama producto semidirecto de S y T con respecto a α y
se denota por T ×α S.
• Sean S y T semigrupos y consideremos S T , el conjunto de todas las aplicaciones de T en S, que es un semigrupo con la operación f g(t) = f (t)g(t).
Sea
α : T −→ End(S T )
el homomorfismo de semigrupos dado por α(t)(f ) = t f donde t f (x) = f (xt).
Se define el “wreath product” de S y T , denotado por S w T como el
producto semidirecto S T ×α T . Ver que, en general, no es conmutativo ni
asociativo y que si S y T son monoides (grupos) entonces S w T es monoide
(grupo).