Modelo_espacial

FISICA I (FIS 1100)
PROYECTO DIDACTICO
EL MODELO ESPACIAL
(Documento de apoyo didáctico elaborado por el Ing. José B. Puña V.)
¿Qué es el espacio?
- ¿Vaya preguntita no?, ¿será posible que alguien pueda decirnos qué es el espacio?
Nosotros estamos tranquilos por que sólo estudiamos para ingenieros; pero, debe ser
terrible para quienes tienen la obligación de responder la pregunta.
Alguien que se atrevió a intentar una respuesta fue René Descartes, (El filósofo, matemático
y científico francés que publicó en 1637 Ensayos filosóficos. En el prólogo de dicha obra,
que llevaba por título Discurso del método, Descartes pretendió buscar un método que le
permitiera alcanzar la certeza y un nuevo fundamento de la racionalidad. Para ello, aplicó la
investigación racional de la ciencia a la filosofía y concluyó que lo único que el individuo
puede afirmar de forma cierta es su propia existencia, argumento que pasaría a la historia:
“Cogito, ergo sum”: “Pienso, luego existo”).
Sin embargo, para nuestra actividad, la contribución más efectiva fue en el area de las
Matemáticas: (El filósofo y matemático francés René Descartes escribe su Discurso del
método (1637), en el que presenta la sistematización de la geometría analítica; muestra
cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de
las curvas).
Fragmento de Discurso del método:
De René Descartes.
“Segunda parte.
Había estudiado un poco, cuando era más joven, de entre las
partes de la filosofía, la lógica, y de las matemáticas, el
análisis de los geómetras y el álgebra, tres artes o ciencias
que al parecer debían contribuir en algo a mi propósito. Pero,
al examinarlas atentamente, advertí con relación a la lógica
que sus silogismos y la mayor parte de sus preceptos sirven
más para explicar a otro cuestiones ya sabidas o incluso,
como el arte de Lulio, para hablar sin juicio de las que se
ignoran, que para investigar las que desconocemos. Y si bien
contiene, en efecto, muchos preceptos que son muy buenos
y verdaderos, hay sin embargo, mezclados con ellos, tantos
otros perjudiciales o bien superfluos, que es casi tan difícil separarlos como sacar una Diana
o una Minerva de un bloque de mármol en el que ni siquiera hay algo esbozado. En lo que
concierne, por otra parte, al análisis de los antiguos y al álgebra de los modernos, además
de que no se refieren sino a materias muy abstractas, que parecen carecer de todo uso, el
primero está siempre tan circunscrito a la consideración de las figuras, que no permite
ejercitar el entendimiento sin fatigar excesivamente la imaginación; y en la segunda, hay que
sujetarse tanto a ciertas reglas y cifras, que se ha convertido en un arte confuso y oscuro,
bueno para enredar el ingenio, en lugar de una ciencia que lo cultive. Tal fue la causa por la
que pensé que había que buscar algún otro método que, reuniendo las ventajas de los otros
tres, estuviera exento de sus defectos. Y como la multiplicidad de leyes a menudo sirve de
excusa para los vicios, de tal forma que un Estado está mucho mejor regido cuando no
existen más que unas pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del
gran número de preceptos de los que la lógica está repleta, estimé que tendría suficiente
con los cuatro siguientes, con tal de que tomase la firme y constante resolución de no dejar
de observarlos ni una sola vez.
El primero consistía en no admitir jamás cosa alguna como verdadera sin haber conocido
con evidencia que así era; es decir, evitar con sumo cuidado la precipitación y la prevención,
y no admitir en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mi
espíritu, que no tuviese motivo alguno para ponerlo en duda.
El segundo, en dividir cada una de las dificultades a examinar en tantas partes como fuera
posible y necesario para su mejor solución.
El tercero, en conducir con orden mis pensamientos, empezando por los objetos más
simples y más fáciles de conocer, para ascender poco a poco, gradualmente, hasta el
conocimiento de los más complejos, y suponiendo incluso un orden entre aquéllos que no se
preceden naturalmente unos a otros.
Y el último, en hacer en todo enumeraciones tan completas y revisiones tan amplias, que
llegase a estar seguro de no haber omitido nada”.
Basados en aquellas contribuciones desarrollaremos una maqueta del espacio, notesé que
dije: una “maqueta del espacio”, no “en el espacio”: un modelo espacial, que nos ayude a
incorporar los elementos racionales que se deben manejar cuando sistematizamos al
espacio.
Observemos la fotografía siguiente y comentemos:
Una “semi-caja” hecha con placas de
vidrio, cortadas en forma cuadrada de 20
o 25 cm de lado, unidas con pegamento
muy resistente (UHU líquido), y que son
revestidas con papel milimetrado,
cuidadosamente
ubicadas
(hacer
coincidir las lineas de división en cada
plano, partiendo de un origen común).
Cada par de placas conforma un eje
espacial que es perpendicular a los otros
dos, tambien formados por sus capas
respectivas. Estos ejes, denominados
según las tres últimas letras del alfabeto
(x,y,z) forman una triada única: no solo
son perpendiculares entre sí y tienen un
origen común, sino que, además deben
responder a una regla para su
organización: “la regla de la mano
derecha”, que es como sigue:
Z
El dedo índice apunta al eje X, a elegir
convenientemente; el Y corresponde al dedo medio,
tambien será alineado según los requerimientos del
problema; sin embargo, el Z no podrá cambiarse,
corresponde al dedo pulgar.
Los tres ejes así formados son “independientes” entre
sí, pudiendo medirse las distancias sobre cualquiera
de los ejes.
X
Y
Z
Si queremos localizar puntos en cada eje, solo nos bastará
recorrerlos a lo largo de eje, sea en la dirección positiva o en la
negativa.
Para la figura corresponderán las coordenadas (0,y,0)
o
Y
X
Z
o
Y
En cambio, si queremos localizar puntos en cada plano, debemos
seguir lineas de referencia paralelos a los ejes que forman el
plano, así requerimos de dos longitudes, una en cada eje, por
consiguiente aunque medidas independientemente en cada eje,
son dependientes entre sí para lograr localizar el punto.
Para la figura corresponderán las coordenadas (x,y,0)
X
Z
Pero, cuando queremos ubicar un punto en el espacio, debemos
recurrir a cada eje (los tres) y combinar las tres parejas de
distancias que intervienen (dos por cada plano), señalando los
puntos en los planos hasta proyectarlos en dirección perpendicular
y conseguir que se crucen en el espacio, ahí estará nuestro punto
Y espacial.
Para la figura corresponderán las coordenadas (x,y,z)
o
X
No obstante lo laborioso del proceso manual, en nuestra mente debería formarse una sola
idea: tres números, llamados coordenadas cartesianas, (x,y,z), que forman un paquete en el
que debe respetarse el orden de cada eje y asimilar su integridad como un punto en el
espacio.
Ahora podemos agregar puntos, en cualquier número, para
formar los objetos que nos rodean. (Es solo una representación,
no lo olvides, pero muy efectiva)
Z
z
o
x
X
y
Y
Ahora corresponde incorporar elementos matemáticos que hagan más efectiva nuestra
representación.
Preguntemos: ¿Cómo podríamos representar estos puntos en el espacio, de tal manera que
esté incluída la dirección de la linea que une el origen con el extremo (el origen del sistema
de referencia y el punto)?
Una primera aproximación corresponde a nuestra experiencia con los números reales: si
visualizamos la recta podremos ubicar puntos a la derecha y a la izquierda del origen, tal
como se vé en el siguiente dibujo:
Habiendo elegido el sentido, solo
nos queda medir la distancia y
señalar el número.
En La Física requerimos algo más:
¿ cómo discriminamos, además del
signo, a los otros ejes que
intervienen?
La
respuesta
es
asignanado
señales inequívocas a cada eje.
Esto es construyendo entidades
orientadas según el lado positivo del
O
eje correspondiente, cuya longitud
sea la unidad de medida que mejor
se acomode a nuestro problema.
Así localizamos los VECTORES UNITARIOS, cuya
Z
representación se muestra a continuación:
En efecto, con los nuevos elementos directrices, no
habrán dudas acerca de la dirección y el sentido.
Entonces el punto P
quedará inequivocamente
localizado a partir de la expresión:
Pz
P( Px, Py, Pz )
(1)
pero, será aún mejor expresarlo a través de los
K
P
vectores:
Py
Y K K K
O J
Px, Py, Pz
(2)
o mucho mejor aún a Ktravés de:
I
K
K
K
Px
P = Px ⋅ i + Py ⋅ j + Pz ⋅ k
(3)
X
resultado que se representa a la izquierda y que
reemplaza con mucha solvencia cualquier otro
intento por hacerlo mejor.
Ha quedado como un recurso insuperable la
representación vectorial de los puntos en el espacio.
Z
O
X
Y
A continuación trabajemos con la caja, hagamos nuestra
primera construcción: un tetraedro, que se construye uniendo
seis (6) pajitas de diferentes longitudes; tambien podrían ser
iguales, en tal caso tenemos una pirámide de base triangular.
Notemos que para insertar cada pajita debemos contar con
dos puntos, los de los estremos.
Para cada par de puntos podemos hallar la longitud de la pajita
apoyados por el teorema de ecuación de Pitágoras, extendido
al espacio:
L = ( x f − xo ) 2 + ( y f − yo ) 2 + ( z f − zo ) 2
Donde:
(4)
( x f , y f , z f ) son las coordenadas del punto final
( xo , yo , zo ) las coordenadas del punto inicial
Según nuestra conveniencia, construyamos cuatro (4) puntos que se requieren para
asegurar el objeto, distanciandolos lo suficiente de los
Z
planos para llenar el espacio disponible.
Entonces cada punto del tetraedro tendrá su
representación:
Si los puntos son:
o
X
Y
P1 ( x1 , y1 , z1 )
P2 ( x2 , y2 , z2 )
P3 ( x3 , y3 , z3 )
P4 ( x4 , y4 , z4 )
entonces los vectores que representan a las aristas del
cuerpo estarán dadas por:
K
K
K
P12 = ( x2 − x1 ) ⋅ i + ( y2 − y1 ) ⋅ j + ( z2 − z1 ) ⋅ k
K
K
K
P13 = ( x3 − x1 ) ⋅ i + ( y3 − y1 ) ⋅ j + ( z3 − z1 ) ⋅ k
K
K
K
P14 = ( x4 − x1 ) ⋅ i + ( y4 − y1 ) ⋅ j + ( z4 − z1 ) ⋅ k
K
K
K
P23 = ( x3 − x2 ) ⋅ i + ( y3 − y2 ) ⋅ j + ( z3 − z2 ) ⋅ k
K
K
K
P24 = ( x4 − x2 ) ⋅ i + ( y4 − y2 ) ⋅ j + ( z4 − z2 ) ⋅ k
K
K
K
P34 = ( x4 − x3 ) ⋅ i + ( y4 − y3 ) ⋅ j + ( z4 − z3 ) ⋅ k
Hasta aquí hemos racionalizado al espacio en los siguientes elementos:
• Insertar ejes para localizar puntos
• Puntos que nos permiten realizar construcciones fijas
• Rectas entre puntos que nos ayudan a definir contornos.
El proyecto deberá ahora ajustarse a la geometría que cada estudiante ha incorporado en su
modelo o maqueta. Así obtenemos un resultado como el que observamos en la figura siguiente:
Z
O
X
Y