MACROECONOMIA II “MODELO IS

-1 -
MACROECONOMIA II
“MODELO IS-LM(*)”
Las siguientes notas teóricas fueron preparadas por los ayudantes de la cátedra de macroeconomía II
del Dr. Fanelli: Matías Cattáneo, Nicolás Chialva, Nicolás Depetris Chauvin, Gervasio Guareschi,
María Jaunarena, Juan José Pradelli, Mauricio Roer Kessler, Marcelo Salmún y Carolina Spak.
Nicolás Depetris Chauvin las adaptó para su uso en la catedra del Dr. Heymann.
(*) Importante: estas notas son una versión muy preliminar por lo que se agradecerá cualquier sugerencia para
mejorarlas y la detección de los errores u horrores que podrían aparecer. E-mail: [email protected].
-2 -
Características generales del modelo:
• 3 mercados: bienes, dinero y bonos.
• Determinación de los niveles de tasa de interés “r” y producto-ingreso “Y”
(variables reales).
• Análisis de las condiciones de equilibrio en los mercados de bienes (curva IS) y de
dinero (LM), con equilibrio en mercado de bonos garantizado por Ley de Walras.
Hay interacción entre “lado real” y “monetario”.
• Economía cerrada: Sector público, privado y Banco Central.
(1.) El modelo:
(1.1). Forma estructural:
IS:
LM:
Y = c (Y d , r ) + i (r ) + g
M
= l (Y ; r )
P
Y d = Y − T (Y ; è )
(1.2). Variables y supuestos de comportamiento:
Variables endógenas:
Y ; r ; C; I; l
(se reducen a Y y r al reemplazar las hipótesis de
comportamiento en las condiciones de equilibrio)
Variables exógenas:
M ; P; g; è
Hipótesis de comportamiento (premisas):
Demanda de Consumo:
cd = c Y d ,r
(
Demanda de Inversión:
Demanda de Dinero
o Preferencia por la liquidez:
)
i d = i (r )
l d = l (Y ; r )
0 < c 'y d < 1
c r' < 0
ir' < 0
l 'y > 0; l r' < 0
Recaudación tributaria:
T = T (Y ; è )
T y' > 0; Tè' > 0
(1.3). Forma reducida (garantizada por el teorema de la función implícita).
Y = Y ( M ; P; è; g )
r = r ( M ; P; è; g )
(2.) Equilibrio estático:
(2.1). Determinar los valores Y0 , r0 que equilibran simultáneamente los mercados de
bienes y dinero (es decir, hallar solución simultánea para las ecuaciones IS y LM);
y automáticamente el mercado de bonos (por ley de Walras).
(2.2). El gráfico IS-LM es un diagrama de fase:
IS: curva de puntos (Y;r) que equilibran el mercado de bienes.
LM: curva de puntos (Y;r) que equilibran el mercado de dinero.
-3 -
(2.3). Deducción de las pendientes de las curvas
dr
.
dY
(1.) “Conceptual”:
IS: considerando una situación de equilibrio en el mercado de bienes, si el nivel de
ingreso Y fuese mayor, el consumo también lo sería, pero menos que
proporcionalmente. Debería existir un nivel de inversión más elevado para que el
nuevo punto también sea de equilibrio, lo cual es posible con un nivel de tasa de
interés r menor.
dr
Así,
< 0.
dY eq.merc. bienes
LM: considerando una situación de equilibrio en el mercado de dinero, si el nivel de
ingreso Y fuese mayor, la demanda por transacciones sería más elevada. Dada la
___
M
oferta real de dinero fija   , debe existir un nivel de demanda especulativa
 p
menor para que el nuevo punto también sea de equilibrio, lo cual es posible sólo con
un nivel de tasa de interés r mayor.
dr
Así,
>0
dY eq.merc. dinero
(2.) “Formal”:
Diferenciando el sistema estructural respecto de las variables endógenas y
despejando dr dY en ambas ecuaciones:
IS:
dY = c ′(1 − TY′ )dY + c´r dr + i ′r dr
>0
647
48
1 − c ′(1 − TY′ )
dr
=
<0
dY eq. merc.bienes
c´ r +i r′
123
<0
-4 -
LM:
0 = lY′ dY + l r′dr
>0
}
dr
l′
=− Y >0
dY eq.merc. dinero
l{r′
<0
(3.) Algunos “casos extremos” de las pendientes
C.1) LM horizontal.
l′
dr
si
= − Y → l ′r ⇒ −∞ → 0
dY LM
lr′
Alta sensibilidad de la demanda especulativa de dinero a los cambios en la tasa de
interés: cuando r crece (cae) poco, los saldos especulativos caen (suben) mucho.
Es característica de la “trampa de liquidez” con baja tasa r, donde existe
“indiferencia” entre mantener riqueza en bonos o dinero (pues hay bajo costo de
oportunidad del dinero), con sesgo hacia la preferencia por el dinero (pues éste
brinda máxima liquidez).
Si una política monetaria de emisión busca reducir aún más la tasa r deprimida,
dada tal “indiferencia”, los agentes privados absorberán la emisión como saldo
especulativo o transaccional (dirigido a financiar gasto), y no lo aplicarán a la
adquisición de bonos (por lo que no aumentarán sus precios y en efecto, no se
reducirá la tasa de interés).
C.2) LM vertical.
dr
dY
= −
LM
lY′
si
→ lr′ ⇒ 0 
→ ∞
l ′r
-5 -
Baja sensibilidad de la demanda especulativa de dinero a los cambios en la tasa de
interés. Cuando r sube (cae), los saldos especulativos se mantienen
aproximadamente en el mismo nivel (caen o suben poco).
Es característico de las situaciones con alta tasa r, donde existe preferencia
importante por los bonos (hay un alto costo de oportunidad de mantener dinero).
Ante una política monetaria de emisión, los agentes privados absorberán la emisión
como saldos transaccionales (dirigido a financiar gasto).
C.3) IS vertical.
dr
dY
=
IS
1 − c′(1 − Ty′ )

→ c´r +i′r ⇒ 0 
→ −∞
ir′ + c´r
Baja sensibilidad de la demanda de inversión ante cambios en la tasa de interés.
Es el caso keynesiano simple, donde la inversión es exógena, y conduce a la nointeracción entre el mercado de bienes y de dinero.
3.4. “Zonas de excesos de oferta y demanda”.
1. Mercados de bienes:
-6 -
Desde un punto A (Y*;r*) de equilibrio en el mercado de bienes, una perturbación
que eleve el ingreso a Y1 en el punto B, hace crecer el producto y el consumo (pero
en menor proporción).
Así, se crea un EOB en todo punto “por encima de la IS”. Una perturbación que
reduce la tasa de interés hasta r2 en el punto C, mantiene el producto inalterado e
incentiva la inversión y el consumo. Así, crea un EDB en todo punto “por debajo de
la IS”.
2. Mercado de dinero:
Desde un punto A (Y*;r*) de equilibrio en el mercado de dinero, una perturbación
que eleve el ingreso hasta Y1 en el punto B, hace crecer la demanda transaccional de
dinero dada una oferta real fija. Así, crea un EDD en todo punto “por debajo de la
LM”. Una perturbación que eleve la tasa de interés hasta r2 , reducirá la demanda
especulativa dada la oferta real fija. Así, se crea un EOD en todo punto “por encima
de la LM”.
En resumen, los valores (Y;r), que se encuentran “por fuera” de las curvas IS/LM,
corresponden a desequilibrios por excesos de oferta y demanda en los mercados de
bienes y dinero.
-7 -
Como veremos más adelante, las políticas económicas (fiscal y monetarias) alteran
las variables exógenas, y así, “crean desequilibrios”, que modifican las variables
endógenas, ingreso/producto y la tasa de interés (los valores originales de equilibrio
(Yo ;ro ) ya no lo son, se encuentran ahora en una “zona de excesos” y las fuerzas
dinámicas del sistema comienzan a operar).
El análisis dinámico postula como se mueven (dirección y velocidad) las
variables endógenas cuando se encuentran en valores de desequilibrio (cuando
existen excesos de oferta o demanda en los mercados).
4. Estática Comparada:
4.1. Determinar los efectos de los cambios de las variables exógenas sobre los valores
de equilibrio. Formalmente son las derivadas:
dY dY dY dY dr dr dr dr
;
;
;
;
;
;
;
dg d è dM dP dg d è dM dP
Observar que ya se han establecido los signos y valores aproximados de las derivadas
de las funciones representantes de hipótesis de comportamiento respecto de las
variables endógenas (son premisas del análisis):
c ′r < 0
0 < c ′ < 1
Y

i r′ < 0
T ′ > 0; T ′ > 0
θ
 Y
l Y′ > 0; l r′ < 0
En el análisis de estática comparada, se deducen como conclusiones (implicaciones)
derivadas de las variables endógenas respecto de las exógenas.
4.2. Diferenciando el sistema estructural, respecto de todas las variables (endógenas y
exógenas):
IS:
dY = c′Y (1 − TY′ )dY + c′Y ( −T ′ ) d + c´ r dr + i r′ dr + dg
LM:
1
M
dM + ( − 2 ) dP = l Y′ dY + l r′ dr
P
P
Reordenando términos y expresando matricialmente:
-8 -
′ ′
1 − cY′ (1 − TY′ ) − (c´ r + ir′ ) dY   − c Y T

 ⋅  dr  =
′
′
−
l
−
l

Y
r
    0
1
0
1
0 −
P
 dθ 
0   dg 

M ⋅
 dM 
P2  

 dP 
En este modelo, supondremos “precios dados (P = P0 ) y fijos (d P = 0)”. Así al
determinar las variables ingreso y tasa de interés reales, implícitamente determinamos
sus valores nominales; y permitimos “ajustes de cantidades” (no de precios).
El sistema anterior se simplifica:
1 − c ′Y (1 − TY′ ) − (c´r + ir′ ) dY 
⋅
=

− lY′
− l r′   dr 

− cY′ Tθ′ 1

0
 0

0   dθ 
1  ⋅  dg 
− 
P   dM 
A partir de aquí, encontramos las derivadas de estática comparada.
Los ceros en la matriz que acompaña al vector de diferenciales de variables exógenas,
indican que éstas no generan efectos impacto sobre los mercados correspondientes. Así,
la política fiscal (impuestos o gasto público) afecta solamente al mercado de bienes en
forma directa (y al de dinero en forma inducida, a través de las endógenas); la política
monetaria (emisión) afecta sólo el mercado de dinero en forma directa (y al de bienes
en forma inducida, a través de las endógenas.
4.3. Política fiscal: modificación del gasto público g.
Elevar el gasto público g (financiado con bonos) aumenta la demanda agregada (genera
un EDB) y la oferta de deuda pública (crea un EOBonos) esto induce a aumentos del
producto y de los ingresos, impulsando nuevos gastos de consumo sobre el ingreso
adicional y así “multiplicando” los efectos expansivos sobre el producto. La mayor
oferta de deuda pública compite con la privada, y el aumento de ingresos induce
ahorros adicionales en bonos. Si aun persiste el EOBonos, bajaran sus precios y crecerá
la tasa de interés. Esto desincentiva la inversión (“reduce el crecimiento multiplicado
del ingreso”, “el gasto público desplaza inversión privada”, “efecto crowding-out”) y la
demanda especulativa de dinero (cuyos saldos se destinan a financiar las transacciones
que se han elevado).
Conceptualmente esperamos que dY/dg sea positivo y mayor que uno (pero menor a lo
que resulta en el modelo keynesiano simple, donde la inversión no depende de la tasa r
y no existe crowding-out) y que dr/dg sea positivo. Haciendo dθ = dM = 0.
-9 -
En el gráfico se observa el efecto impacto de elevar g: a los niveles iniciales de Yo , ro
ahora existe un EDB (la IS se desplaza tal que (Yo ;ro ) quede en “zona EDB”).
Al final, el producto crecerá (pero en menor medida por el efecto crowding-out) y la
tasa también (la explosión inicial de deuda pública elevará la tasa con cierta
compensación parcial por el aumento del ahorro y la demanda de bonos).
 dY 
1 − c Y′ (1 − TY′ ) − ( c´ r +i r′ )   dg  1
⋅  =

− l Y′
− l r′   dr  0
144
44
4244444
3
 dg 
∆
− l r′
dY ∆ 1
=
=
>0
dg
∆ − (1 − cY′ (1 − TY′ ))l r′ − ( c´ r +i r′ )l Y′
l Y′
dr ∆ 2
=
=
>0
dg
∆
− (1 − cY′ (1 − TY′ ))l r′ − ( c´ r +i r′ )l Y′
∆ es el determinante de la matriz jacobiana (J) del sistema.
∆1 y ∆2 son los determinantes de la matriz que resultan de remplazar la columna 1 y 2
respectivamente de la matriz J por el vector de términos independientes.
Ahora analizaremos los signos:
∆ = −(1 − c ′(1 − TY′ ))l ′r − (c´ r +i ′r )l Y′ > 0
∆ 1 = −l ′r > 0
∆ 2 = l Y′ > 0
∆1 dY
=
>0
∆
dg
∆ 2 dr
=
>0
∆
dg
- 10 -
Observando dY/dg (el multiplicador del gasto público), y multiplicando y dividiendo
por –l’r :
− l ′r
−l′
dY
=
⋅ r >0
dg − (1 − c ′Y (1 − TY′ ))l ′r − (c´ r +i r′ )l Y′ − l r′
dr
=
dg
1
(c´ +i ′ )l ′
(1 − cY′ (1 − TY′ )) + r r Y
l ′r
Vemos que el denominador es 1 − c Y′ (1 − TY′ ) +
>0
(c´ r +i r′ )l Y′
donde el segundo término es
l r′
el producto de:
• -(c’r+i’r): sensibilidad de la demanda de inversión y de consumo frente a cambios
en la tasa de interés.
• -l’Y/l’r : pendiente de la LM; es el cambio necesario en la tasa de interés para
mantener equilibrado el mercado de dinero cuando varía el ingreso (y así compensar
las demandas especulativa y transaccional).
Es decir,  − di − dc  ⋅  dr

dr
dr   dY
LM



indica cuanto va a caer la inversión y el consumo
como resultado del aumento de la tasa de interés exigida para trasladar saldos
especulativos para financiar gastos (transaccionales), manteniendo equilibrado el
mercado de dinero que absorbe el producto (ingreso) adicional creado por la política
fiscal más el efecto multiplicador. Es la medida del crowding-out.
El primer término del denominador, es igual al del multiplicador del modelo keynesiano
simple; como se le adiciona el efecto crowding-out, el multiplicador del modelo IS-LM,
es inferior al del modelo keynesiano simple.
La política fiscal es más efectiva en el IS-LM cuando la LM es horizontal.
Se anula el efecto crowding-out porque, ante una tasa de interés muy baja, los amplios
saldos especulativos pueden financiar la compra de los bonos públicos adicionales y los
gastos de transacción, sin alterar la tasa de interés y sin resentir la demanda de inversión
y de consumo.
(4.4) Política fiscal: Modificación de la tasa impositiva θ.
Elevar la tasa impositiva θ reduce el ingreso disponible para gastos de consumo
(creando un exceso de oferta de bienes) y reduce la oferta de deuda pública para financiar el
gasto público (produciéndose un exceso de demanda de bonos). Esto induce reducciones
del producto y de los ingresos, y nuevamente bajas en el consumo, multiplicando los
efectos recesivos sobre el producto. La menor oferta de deuda pública (el gobierno cuenta
con más recursos tributarios si el ingreso no cae tanto como para compensar el aumento de
θ) coexiste con una menor demanda debido a la reducción del ahorro como consecuencia de
- 11 -
la caída de los ingresos. Si persiste el exceso de demanda de bonos, subirán sus precios y
con la correspondiente baja en la tasa de interés. Este fenómeno incentivará la inversión
(amortigua la caída multiplicada del producto-ingreso), el consumo y la demanda
especulativa de dinero (se reorientan los saldos transaccionales al caer el producto y al
disminuir el costo de oportunidad de mantener dinero).
dy
dr
Conceptualmente esperaremos que
sea negativa, y que
también lo sea.
dè
dè
Suponiendo dg = dr = 0 .
En el siguiente gráfico se observa el efecto impacto de elevar θ. A los niveles iniciales de
Y0 , r0 ahora existe un EOB (la IS se desplaza tal que Y0 , r0 quede en EOB)
r
LM
r0
2
1
IS0
3
rf
ISf
0
y1
yf
y0
Y
Al final, el producto caerá (pero menos por el efecto crowding-in) y la tasa también (la retracción
inicial de deuda pública hará disminuir la tasa con cierta compensación parcial por reducción del
ahorro y la demanda de bonos).
 dy 
)  d  − c ' T ' 
 *  dr  = 

    0 
d 
c' T 'θ l ' r
=
<0
∆
− c' T 'θ l ' y
=
<0
∆
1 − c ' (1 − T ' y ) − (c´ r +i ' r

− l 'y
− l 'r

dy ∆ 1
=
d
∆
dr ∆ 2
=
d
∆
- 12 -
Ver definición de ∆, ∆1 , ∆2 y signo de ∆ en 4.3.
+
−
}
}
∆ 1 = c' Tθ 'l 'r < 0
y esto corrobora nuestra intuición
+
+
}
}
∆ 2 = −c' Tθ 'l ' y < 0
(4.5) Política monetaria: modificación de la cantidad nominal de dinero M (y real, dados P
fijos)
Elevar la cantidad de dinero M vía emisión, reducción de encajes, operaciones de
mercado abierto, pases activos, redescuentos, etc. aumenta la demanda de bonos (crea
exceso de demanda de bonos) y la oferta real de dinero (produciéndose un exceso de
demanda de dinero). El EDBonos presiona el alza de precios en el mercado de bonos,
reduciendo los tipos de interés r. Este efecto inducirá un aumento en la inversión (crea un
EDB) y genera efectos expansivos multiplicados sobre el producto, ingreso y consumo. El
producto incrementado estimula la demanda de transacciones, y la tasa reducida aumenta
las tenencias especulativas hasta absorber el EOD inicial (con algún posible EDD que
elevará la tasa).
dY
dr
Conceptualmente expresamos que
sea positiva y que
sea negativa.
dM
dM
Suponiendo dg = d è = 0 , en el gráfico se observa el efecto impacto de elevar M: a los
niveles iniciales de Y0 , r0 ahora existe un EOD. (La LM se desplaza tal que Y0 , r0 quede en
zona de EOD).
r
LM 0
LM f
r0
rf
r1
0
1
3
IS
2
y0
yf
Y
Al final, el producto crecerá (por el estímulo que ocasiona la baja en la tasa de interés sobre
la inversión y el consumo) y la tasa bajará (pero menos, porque parte del dinero adicional
financiará aumento de transacciones, no solo demanda de bonos).
- 13 -
 dy 
1 − c ' (1 − T ' y ) − (c ' r +i ' r )   dM   01 

 *  dr  = − 
−
l
'
−
l
'
y
r

 
  p 
 dM 
1
(c ' r +i ' r )
dY
∆1
p
=
=
>0
dM
∆
∆
1
− 1 − c' (1 − T ' y )
∆
dr
p
= 2 =
<0
dM
∆
∆
−
[
]
Ver definición de ∆, ∆1 , ∆2 y signo de ∆ en 4.3.
+
}
−
47
4
8
16
∆ 1 = − (c ' r +i ' r ) > 0
p
Lo que corrobora nuestra intuición
+
}
+
4744
8
1 64
∆ 2 = − 1 − c ' (1 − T ý ) < 0
p
[
Observando
]
dY
(el multiplicador de la política monetaria):
dM
1
− ( c' r +i ' r )
dY
p
=
>0
dM − (1 − c ' (1 − T ' y ))l ' r −( c' r +i ' r )l ' y
La política monetaria es más efectiva en el
IS-LM
cuando
la
LM
es
vertical
 1  1 
dY
=  −  −
.
dM
 p  l ' y 
Como las tasas son muy elevadas, el dinero adicional se emplea para financiar gastos (con
efecto directo sobre el producto) o adquirir bonos y bajar la tasa (con efecto indirecto sobre
el producto vía inversión).
dY
1
dM
=
De
resulta
= l ' y dy que indica que el producto subirá lo suficiente como
dM
pl ' y
p
para inducir la tenencia adicional de saldos transaccionales igual al aumento real de la
cantidad de dinero.
l ' r → 0 ⇒ −(1 − c' (1 − T ' y )) l ' r → 0 y el multiplicador queda
- 14 -
(5) Análisis dinámico.
(5.1) Determinar las funciones que modelan el comportamiento de las variables endógenas a
través del tiempo. Determinar la estabilidad dinámica del modelo (partiendo de una
posición de equilibrio, ante una perturbación en las variables endógenas, observar si
éstas convergen hacia una nueva posición de equilibrio que puede o no ser la misma,
impulsadas por las fuerzas de mercado- excesos de oferta y demanda-).
(5.2) Las ecuaciones diferenciales de comportamiento indican cómo evolucionan
(temporalmente) las variables endógenas a partir de los excesos de oferta y demanda
(desequilibrios) en los mercados. Observar que los niveles de Y,r se determinan
simultáneamente tal que equilibren los mercados de bienes y de dinero (en el análisis
del equilibrio estático). Pero los cambios de Y,r a través del tiempo se determinan por
los excesos de demanda en un mercado particular para cada variable (bienes y dinero
respectivamente).
.
dy
= h1 ( EDB ) = k 1 ( c (( Y − T ( Y ; θ )), r ) + i ( r ) + g − Y )
dt
.
dr
M
r =
= h 2 ( EDD ) = k 2 ( l ( Y ; r ) −
)
dt
p
y =
Cuando existe EDB, el producto-ingreso crecerá. Cuando existe EDD, la tasa de interés
crecerá.
Esto nos permite indicar las trayectorias de ingreso y tasa de interés en el modelo IS-LM en
las zonas de desequilibrios (excesos).
r
LM
EOB
EOD
EOB
EDD
EDB
EOD
IS
EDB
EDD
0
En los puntos de la IS, en equilibrio,
Y
dy
=0
dt
Arriba de la IS, con EOB,
dy
<0
dt
- 15 -
Por debajo de la IS, con EDB,
En los puntos de la LM, en equilibrio,
dy
>0
dt
dr
=0
dt
dr
<0
dt
dr
Por debajo de la LM, con EDD
>0
dt
Arriba de la LM, con EOD,
5.3)
Como las ecuaciones diferenciales involucran funciones – hipótesis de
comportamiento de forma desconocida, las funciones k1 (EDB) y k2 (EDD) que
dependen de las variables Y,r se aproximan linealmente por Taylor. Una función
f(x;y) de dos variables se desarrolla:
f(x;y) = f(x 0 ;y0 ) + fx’.(x-x 0 ) + fy’.(y-y0 ) +
y0 )2 ] + ...
A.
B.
1
.[ fxx’’.(x-x0 )2 + 2 f xy’’ .(x-x 0 ).(y-y0 ) + fyy’’.(y2!
Evaluando las funciones k1 .(EDB(Y;r)) y k2 .(EDD(Y;r)) en el entorno del punto de
equilibrio (Y0 ;r0 ) donde k1 .(EDB) y k2 .(EDD) son nulas (sería como tomar x 0 e y0
tales que f(x 0 ;y0 )=0 ); y
1
Despreciando los términos de grado 2 y superiores (dejando de lado
.[ f xx’’.(x-x 0 )2
2!
+ 2 f xy’’ .(x-x 0 ).(y-y0 ) + fyy’’.(y-y0 )2 ] + ...) se obtienen las aproximaciones lineales:
.
dY
= k 1 .[ c '.( 1 − T y ' ) − 1 ].( Y − Y 0 ) + k 1 .( c r ' + i r ' ).( r − r 0 )
dt
.
dr
r =
= k 2 .( l y ' ).( Y − Y 0 ) + k 2 .( l r ' ).( r − r0 )
dt
Y =
Reacomodando términos y construyendo un sistema de ecuaciones diferenciales de primer
orden (lineales) no homogéneas.
.
Y − k 1 .[ c '.( 1 − T y ' ) − 1 ].Y − k 1 .( c r ' + i r ' ). r = − k 1 .{[ c '.( 1 − T y ' ) − 1 ].Y 0 + ( c r '+ i r ' ). r 0 }
.
r − k 2 .( l y ' ). Y − k 2 .( l r ' ). r = − k 2 .[( l y ' ).Y 0 + k 2 .( l r ' ). r0 ]
El sistema tiene solución Y(t) = Yh + Yc ; r(t) = rh + rc donde las partes homogéneas
definen si las variables (Y; r) convergen a los valores (Yc; rc) y el sistema es
dinámicamente estable.
Así, tenemos la “parte homogénea” del sistema:
- 16 -
.
Y − k 1 .[ c '.( 1 − T y ' ) − 1 ]. Y − k 1 .( c r ' + i r ' ). r = 0
.
r − k 2 .( l y ' ). Y − k 2 .( l r ' ). r = 0
Expresándolo matricialmente:
 .   − k1
0  1 − c '.(1 − t y ' ) − ( c r '+ i r ' )   Y   0 
Y.  − 
 .  =  
 .
−
l
'
−
l
'
0
−
k
r
0
 r  1 4
y
2 
42 44
3
14 4 4
4
42 4 4 4r44
3    
MatrizK
Jacobiano
Con la solución de ensayo (Laplace):
Y
h
.
dY
= λ1 . A1 .e λ 1 t
dt
.
dr
⇒ r =
= λ2 . A 2 . e λ 2 t
dt
= A1 .e λ 1 t ⇒ Y =
r h = A 2 .e λ 2 t
Las partes homogéneas convergen a cero (y así las variables (Y;r) convergen a (Yc ;rc) y el
sistema es estable) cuando λ1 y λ2 son valores reales negativos o imaginarios con
componente real negativa.
En cualquier caso se deben cumplir las condiciones de estabilidad dinámica:
λ1 , λ2 >0 ; λ1 + λ2 <0
Reemplazando en el sistema homogéneo:
λ1 . A1 .e λ 1 t − k 1 .[ c '.(1 − T y ' ) − 1].( A1 .e λ 1 t ) − k 1 .( c r ' + i r ' ).( A 2 .e λ 2 t ) = 0
λ 2 . A 2 .e λ 2 t − k 2 .( l y ' ).( A1 .e λ 1 t ) − k 2 .( l r ' ).( A 2 .e λ 2 t ) = 0
Extrayendo factores comunes y expresando matricialmente:
 λ 1 − k 1 .[ c '.(1 − T y ' ) − 1]

− k 2 .l y '

− k 1 ( c r '+ .i r ' )   A1 .e λ t   0 
.
=
λ 2 − k 2 .l r '   A 2 .e λ t   0 
1
2
Para que las soluciones Yh = A1 .eλ1 t ; rh = A2 .eλ2 t no sean triviales, el determinante de la
matriz que las acompaña debe ser nulo.
Esa matriz es la “matriz característica” y se expresa como:
 λ1
0

0  − k1
−
λ2 '  0
0  1 − c '.(1 − T y ' )
.
− ly '
− k 2  
− ( c r '+ i r ' ) 

− lr '

- 17 -
I .λ
-
k
.
J
Con determinante nulo:
I .λ − k .J = 0
Es la “ecuación característica”:
λ2 + ( −1).λ.Tr ( kJ ) + k .J = 0
En este caso particular I.λ - k.J es
 λ1 − k 1 .[ c '.( 1 − t y ' ) − 1]

− k 2 .l y '

− k 1 .( c r '+ i r ' ) 
λ 2 − k 2 .l r ' 
I .λ − k .J = 0 es
λ1 .λ2 − λ1 .k 2 .l r '− λ2 .k 1 .[ c '.(1 − T y ' ) − 1] + k 1 .k 2 .[ c '.(1 − T y ' ) − 1].l r '− k 1 .k 2 .l y '.( c r '+ i r ' ) = 0
λ1 .λ2 − λ1 . k 2 .l r '− λ2 .k 1 .[ c '.(1 − T y ' ) − 1] + k 1 .k 2 .{[ c '.(1 − T y ' ) − 1]. l r ' − l y '.( c r ' + i r ' )} = 0
λ2 + ( − 1). λ.Tr ( kJ ) + k . J = 0
donde:
Debido a que k i>0 ; lr ’<0 ; y el término entre corchetes es positivo.
Además,
Tr (kJ ) = − k1 .[1 − c'.(1 − T y ' )] + k 2 .l r ' < 0
k . J = k 1 .k 2 .{[ c '.( 1 − T y ' ) − 1]. l r ' − ( c r '+ i r ' ). l y ' } > 0
Debido a que el término entre corchetes es positivo: ∆ = J > 0
Por propiedades de las ecuaciones cuadráticas
λ1 .λ2 = k .J > 0
λ1 + λ2 = h( kJ ) < 0
se cumplen las
condiciones de estabilidad.
Para determinar la estabilidad del sistema dinámico a través de los signos de las raíces
características λ1 y λ2 asociadas a Tr (kJ ) y k.J hemos supuesto siempre que la
propensión marginal a consumir c’.(1-Ty’) era positiva e inferior a la unidad.
Además, como el J es positivo, se deduce que una condición suficiente para la estabilidad
dinámica del sistema es que la pendiente de la IS sea inferior a la pendiente de la LM:
- 18 -
∆ > 0 ⇒
[ 1 − c '.( 1 − T y ' )].( − l r ' ) − ( − l y ' ).( − ( c r ' + i r ' )) > 0 ⇒
1 − c '.( 1 − T
y
')
( c r '+ ir ' )
Pendiente
del la IS
< −
<
ly'
Condición suficiente
para la estabilidad
lr '
Pendiente
de la LM
Como veremos más adelante, la condición suficiente de que la pendiente de IS sea inferior a
la de LM permite no solo que la primera sea negativa y la segunda positiva (el caso que
hemos tratado hasta aquí, gracias a que c’.(1-Ty’) ∈ (0;1) , sino también que ambas sean
positivas con una mayor que la otra (será el caso en que c’.(1-Ty’)>1).
5.4)
r
LM dr/dt=0
EOB
EOD
EDB
EOD
-
+
EOB
EDD
A
EDB
EDD
+
IS dY/dt=0
0
Y
.
1. Considerando Y =
dY
= 0 en Taylor resulta:
dt
- De un punto A, se
converge al equilibrio.
- Trayectoria “circular”:
raíces complejas (focos)
- Trayectoria “directa”:
raíces reales (nodos)
- (-; +): signos de dr/dt ;
dY/dt
- 19 -
0 = k1 (c Y' −1) dy + k 1 ( c r' + i r' ) dr
−
647
48
'
c d − 1 .k 1
dr
= − Y'
<0
dY
(1
c r4
+2
i r'4
).3
k1
(
)
−
.
⇒ Pendiente de la IS donde Y =
dY
= 0 (equilibrio en el mercado de bienes).
dt
.
•
∂Y
= k1.(cY' d − 1) < 0
∂Y
•
∂Y
= k1.( c r' + i r' ) < 0
∂r
.
Y
Y
0
.
2. Considerando r =
•
0
Y
Y0
r0
dr
= 0 en Taylor resulta:
dt
0 = k 2 .(l Y' ).dy + k 2 ( l r' ).dr
}+
dr
l Y'
=− ' >0
dY
l{r
−
.
⇒ Pendiente de la LM donde r =
.
•
∂r
= k 2 .l Y' > 0
∂Y
•
∂r
= k 2 .l r' < 0
∂r
.
dr
= 0 (equilibrio en el mercado de dinero)
dt
r
- 20 -
r
r
0
Y
Y0
0
r
r0
5.5)
Hemos visto que suponiendo 0 < cY' < 1 se garantiza la estabilidad dinámica del
sistema pues las raíces tienen componente real negativo (signos)1 . Para determinar si la
trayectoria de convergencia al nuevo equilibrio es directa o circular deben hallarse los
valores de las raíces:
ë 1, 2 =
tr ( k .J ) ± tr 2 ( k. J ) − 4 k .J
2
>
tr ( k .J ) = 4 k. J
<
⇒ Raíces reales diferentes ⇒ Nodo estable ⇒ directo
⇒ Raíces reales iguales ⇒ Nodo estable ⇒ directo
⇒ Raíces complejas ⇒ Foco estable ⇒ circular
2
[
tr 2 (k .J ) − 4 k .J = k 12 (c Y' − 1) 2 + k 22 l r'2 + 2k1 k 2 ( cY' − 1) l r' + 4k 1 k 2 (c Y' − 1)l r' − (c r' + i r' ) l Y'
Reagrupando términos resulta:
(
tr 2 (k .J ) − 4 k .J = k 1 ( cY' − 1) − k 2 l r'
)
2
+ 4 k1 k 2 (c r' + i r' )l Y'
Las velocidades de ajuste k1 y k2 determinarán si la trayectoria es directa o circular...
5.6)
1
La condición cY' ∈ (0;1) determina una IS de pendiente negativa.
]
- 21 -
Analicemos ahora la posibilidad de que la propensión marginal a consumir
c = c (1 − TY' ) sea superior a la unidad.
En esta circunstancia, la curva IS toma pendiente positiva:
'
Y
'
dr
dY
=−
IS
+8
67
'
cY − 1
(
)
(c r' + i r' )
1
424
3
>0
−
Cuando crece el producto-ingreso, el consumo aume nta proporcionalmente más y se crea
un EDB; eliminable con una suba de tasa r que contraiga la inversión.
Con cY' >1, la IS puede tener pendiente positiva mayor o menor que la pendiente positiva de
la LM.
A) Cuando la pendiente de la curva IS es mayor a la pendiente de la LM (IS “corta LM por
debajo”):
r
EDB
EOB
EOD
EOB
EDD
IS EOD
LM
EDB
EDD
0
Y
⇒
−
(c
dr
dY
>
IS
)
dr
dY
LM
−1
l
>
−
( c 'r + i r' )
l
'
Y
'
Y
'
r
⇒ Nodo inestable: ir' es pequeño (se necesitan grandes subas de r para reducir i y equilibrar
bienes; altas dr dificultan equilibrar dinero)
B) La pendiente la curva IS es menor a la pendiente de la LM (IS “corta LM por encima”)
- 22 -
r
EOB
EOB
EOD
LM EDD
IS
EDB
EOD
EDB
EDD
0
Y
⇒
−
(c
dr
dY
<
IS
)
dr
dY
−1
l
<−
'
(c + ir )
l
'
Y
'
r
LM
'
Y
'
r
⇒ Nodo o foco estable ⇒ c´r+ ir' es elevado (se necesitan pequeñas subas de r para reducir
i y c y equilibrar bienes; pequeñas dr no dificultan equilibrar dinero