GUÍA DE ESTUDIO

GUÍA DE LA MATERIA DE PENSAMIENTO NUMÉRICO Y
ALGEBRAICO
Lee con atención y resuelve los siguientes ejercicios:
1.-La madre de Belén, Rocío y Antonio ha decidido repartir 450 € en partes proporcionales al
número de horas que sus tres hijos le han ayudado. Belén le ha ayudado durante tres horas; Rocío
durante 5 h.; y Antonio durante 7 h. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
1
1
de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean en gasóleo,
se emplean en
5
3
1
1
electricidad,
en la recogida de basuras,
en mantenimiento del edificio y el resto en
12
4
limpieza.
a) ¿Cuánto se emplea en limpieza?
b) Si la comunidad dispone de 5500 euros, ¿cuánto corresponde a cada actividad?
2.-Los
3.- Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo
5 / 12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?
4.-Se utiliza cada uno de los cuatro dígitos 1, 9, 8 y 6 una y solo una sola vez para formar dos
números, de una, dos o tres cifras. ¿Cuál es el mayor valor posible del producto de los números
así formados?
a) 7826
b) 7862
c) 7749
d) 7794
e) 7682
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El ÁLGEBRA es la rama de las Matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más
generalizado posible y se vale de letras para representarla. Tiene por objeto abreviar y generalizar
la solución de problemas numéricos.
NOTACIÓN ALGEBRAICA
Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos (números y letras). Los números
representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase
de cantidades, sean conocidas o desconocidas.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas.
a, 5x,
4aa  b c1 ,
5x - 3ya
x2
Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no
separados entre sí por el signo + ó –.
a, 3b2 xy ,
4a
3x
Un término consta de cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. De
acuerdo con su signo, son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos
los precedidos del signo (–) por ejemplo + a, + 8x, + 9ab son términos positivos,  x,  5bcy
son términos negativos.
El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, con lo que a equivale a escribir + a
y 3ab equivale a + 3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es
positivo.
El coeficiente en un término es uno cualquiera de los factores del término. Así, en el término 5a
3
el coeficiente es 5; en – 3 a2 x el coeficiente es – 3.
Las letras que hay en el término constituyen la parte literal. Así, en 5xy la parte literal es xy; en
3x 2 y 4
x3y 4
la parte literal es
.
ab
2ab
El grado de un término puede ser absoluto o con relación a una letra. El grado absoluto es la
suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término 4a es de primer grado ya que el
exponente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los
exponentes de sus factores literales es 1+1 = 2; el término a 2 b es de tercer grado porque la suma
de los exponentes de sus factores literales es 2  1  3; 5a 4 b 2 c 3 es de noveno grado porque la
suma de los exponentes de sus factores literales es 4+2+3 = 9.
El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término
bx 3 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x.
El término 4 x 2 y 4 es de segundo grado con relación a x, y de cuarto grado con relación a y.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen
iguales letras afectadas de iguales exponentes: 2a y a, - 5a 3 b 2 y - 8a 3 b 2 , x m + 1 y 3x m + 1 .
Los términos 4ab y - 6a 2 b no son semejantes, porque aunque tienen letras iguales, éstas no tienen
los mismos exponentes. Por otro lado, los términos - bx 4 y ab 4 no son semejantes, porque
aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos
semejantes, y en ella se pueden dar los tres casos siguientes:
1) Reducción de dos o más términos semejantes del mis mo signo.
Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos, y a
continuación se escribe la parte literal. Ejemplos:
b) - a 2 - 9a 2 = - 10a 2
a) 5x + x + 2x = 8x
c) 3a x - 2 + 5a x - 2 = 8a x - 2
1
2
7
d) ab  ab  ab
2
3
6
2) Reducción de dos o más términos semejantes de distinto signo.
Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor, y a
continuación se escribe la parte literal. Ejemplos:
a) 2a - 3a = - a
b) - 20ab + 11ab = - 9ab
3
4
e)  a 2 b  a 2 b  a 2 b
7
7
c) - 8a x + 13a x = 5a x
f) - 8ab + 8ab = 0
g)
d)
1
2
1
a a  a
2
3
6
2 2
2
x y  x2 y  0
5
5
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
x2y
4a 3
a) El monomio consta de un solo término; por ejemplo: 3a ;  5b ;
b) El polinomio consta de más de un término; por ejemplo: a  b;
x  y;
x3  2 x 2  x  7
a2
5mx 4
c) Un binomio es un polinomio que consta de dos términos. Ej: a  b ; x  y ; n 
3
6b 2
d) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos; por ejemplo:
abc ;
x 2  5x  6 ;
c  6 y3 
a2
3
El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto es
el de su término de mayor grado.
Así, en el polinomio: x 4 - 5x 3 + x3 – 3x , el primer término es de cuarto grado; el segundo de
tercer grado; el tercero de segundo grado, y el último de primer grado; por tanto, el grado
absoluto del polinomio es de cuarto grado.
El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el
polinomio. Así, el polinomio a 6 + a 4 x 2 - a 2x 4 es de sexto grado con relación a a y de cuarto
grado con relación a x.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma de polinomios. La Suma o adición tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas en una sola. Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a
continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes (si los hay).
Ejemplos:
a) Sumar 5a, 6b y 8c. Repuesta:
b) Sumar 3 a2 b,
4ab2 ,
a2 b,
______________________________
7ab2
y
6b3 .
Repuesta: 3 a2 b + 4ab2 + a2 b + 7ab2 + 6b3 = ________________________
c) Sumar 7a, – 8b, – 15a, 9b, – 4c y 8.
Repuesta: (7a) + (– 8b) + (– 15a) + 9b + (– 4c) + 8 = ____________________________
d) Sumar a – b,
2a + 3b – c
y
– 4a + 5b.
Repuesta: (a – b) + (2a + 3b – c) + (– 4a + 5b) = ____________________________
Resta de polinomios. Por regla general, para restar se escribe el minuendo con sus propios
signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, y luego se reducen los términos
semejantes (si los hay). Ejemplos:
a) De – 4 restar 7
Se escribe el minuendo – 4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo
cambiado, con lo que la resta será:
– 4 – 7 = _____________
b) Restar 4b de 2a:
Se escribe el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo
cambiado, con lo que la resta será:
2a – 4b=____________
c) Restar 4 a 2 b de – 5 a 2 b:
Escribimos el minuendo –5 a 2 b y a continuación el sustraendo
cambiado, con lo que tenemos:
– 5 a 2 b – 4 a 2 b = ____________
4a2 b
con el signo
d) De 7 restar – 4
7 – (– 4) = _________________
e) De 7x 3 y4
f) De –
1
2
restar – 8x 3 y 4 :
ab restar –
3
4
ab:
7 x 3 y 4 – (– 8 x3 y 4 ) = _________________________
– 1/2 ab –
g) De 4x – 3y + z restar 2x + 5z – 6:
 3
  4  ab


= ________________________
4x – 3y + z – (2x + 5z – 6) = __________________
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto
se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
a) Multiplicar 2a 2 por 3a 3
b) Multiplicar x y 2
por - 5mx 4 y 3
c) Multiplicar 3a 2 b
por - 4b 2x
d) Multiplicar - ab 2
por
4a m b n c 3
Multiplicación de Polinomios por monomios : se multiplica el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
a) Multiplicar 3x 2 - 6x + 7
b) Multiplicar x
a +1
por 4a x 2
y - 3x a y 2 + 2x a - 1 y 3 - x
a-2 4
y
por
3x 2 y m
Multiplicación de Polinomios: Se multiplican todos los términos de un polinomio por cada uno
de los términos del otro polinomio teniendo en cuenta la Ley de los Signos, y se reducen los
términos semejantes.
a) Multiplicar 4x - 3y
por - 2y + 5x
b) Multiplicar 6y 2 + 2x 2 - 5x y
por x 2 - 4y 2 + 2x y
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Esta operación tiene por objeto hallar un otro factor (cociente), tal que el cociente multiplicado
por el divisor reproduce el dividendo.
6a 2
, consiste
3a
en hallar una cantidad que multiplicada por 3a dé 6a 2 . Esa cantidad (cociente) es 2a.
De este modo, la operación de dividir 6a 2 entre 3a, que se indica 6a 2 ÷ 3a ó
CASOS DE LA DIVISIÓN:
División de Monomios: se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a
continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual
a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo
estará dado por la Ley de los Signos. Ejemplos:
a) Dividir 4a 3 b 2
entre - 2ab
b) Dividir - 5a 4 b 3 c entre - a 2 b
División de un Polinomio por un Monomio: se divide cada uno de los términos del polinomio
por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Ejemplos:
a) Dividir 3a 3 - 6a 2 b + 9ab 2 entre
3a
b) Dividir 2a xb m - 6a x + 1 b m - 1 - 3a x + 2 b m - 2
entre - 2a 3 b 4
2
5
1
3

c) Dividir  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4  entre
3
6
2
4

5
y
6
División de dos Polinomios:
Primero se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra, luego se divide el
primer término del dividendo entre el primero del divisor, con lo que tendremos el primer
término del cociente, que se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.
Se escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene
término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la
ordenación del dividendo y el divisor.
Dividimos el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el
segundo término del cociente. Se procede de igual forma. Ejemplos:
a) Dividir 3x 2 + 2x – 8 entre x + 2
b) Dividir 2x 3 - 2 - 4x entre 2 + 2x
Al ordenar el dividendo y el divisor debemos tener presente que en el dividendo falta el término
en x 2 , por lo que debemos dejar un lugar para ese término:
c) Dividir 3a 5 + 10a 3 b 2 + 64a 2 b 3 - 21a 4 b + 32ab 4
entre
a 3 - 4ab 2 - 5a 2 b
PRODUCTOS NOTABLES.
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen
características especiales. Cumplen ciertas reglas fijas y por lo tanto su resultado puede se escrito
por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.
1. Cuadrado de una suma de dos términos.
a  b2  a 2  2ab  b 2
Ej: (2x + y)2 = ____________________
2. Cuadrado de una diferencia de dos términos.
a  b2  a 2  2ab  b 2
Ej: (x - 2y)2 =_________________________________
3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.
a  ba  b  a 2  b 2
Ej: (x + 3) (x - 3) = ___________________________________
4. Cubo de un binomio.
4.1. Cubo de una suma.
a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
Ej: a  13  __________________________
4.2. Cubo de una resta
a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
Ej: x  2  ________________________________
3