Análisis de gráficas

Análisis de grá…cas
ExMa-MA0125 W. Poveda 1
Análisis de Grá…cas
Objetivos
Interpretar y aplicar los conceptos de: función, dominio, codominio, ámbito, grá…co, imagen,
preimagen, función creciente, función decreciente, función inyectiva, función sobreyectiva
y biyectiva, composición de funciones, función invertible, en el estudio de las funciones:
lineal, cuadrática, cúbica, valor absoluto, racional, raíz cuadrada, exponencial, logarítmica
y trigonométrica.
Contenidos
Conceptos de dominio, codominio, ámbito, grá…co, imagen, preimagen.
Función creciente, decreciente y constante.
Función par e impar.
Signo de una función.
Interpretación de grá…cas: dominio, ámbito, imágenes, preimágenes, intervalos de
monotonía y signos a partir de la grá…ca de funciones lineales, cuadráticas, cúbicas,
valor absoluto, racionales, raíz cuadrada, exponenciales, logarítmicas.
De…nición. Dados dos conjuntos A y B, una función f de A en B, es una correspondencia
tal que asigna a cada elemento x de A un único elemento y de B:
Para denotar que f es una función de A en B, se escribe f : A ! B.
De…nición. El conjunto A se llama dominio y se denota Df . B se llama codominio de la
función. El conjunto de imágenes recibe el nombre de rango o ámbito y se denota Af
Monotonía de Funciones
De…nición. Una función f es estrictamente creciente en un intervalo ]x1 ; x2 [ sii para
cualquier par de números a, b de ]x1 ; x2 [ tal que a <b entonces f (a)< f (b). Simbólicamente
f es estrictamente creciente en ]x1 ; x2 [ sii 8a; b 2]x1 ; x2 [ [a < b () f (a) < f (b)]
De…nición. Una función f es estrictamente creciente en un intervalo ]x1 ; x2 [ sii para
cualquier par de números a, b de ]x1 ; x2 [ tal que a <b entonces f (a)> f (b). Simbólicamente
f es estrictamente decreciente en ]x1 ; x2 [ sii 8a; b 2]x1 ; x2 [ [a < b () f (a) > f (b)]
De…nición. Una función f es constante en un intervalo ]x1 ; x2 [ sii para cualquier par de
números a, b de ]x1 ; x2 [ tal que a 6= b se tiene que f (a)=f (b). Simbólicamente
f (x) es constante en ]x1 ; x2 [ sii 8a; b 2]x1 ; x2 [
[a < b , f (a) = f (b)]
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Interpretación de grá…cas
Dada la grá…ca de una función es posible determinar su dominio, ámbito, intervalos de
monotonía, y su signo.
En el eje x se puede observar el recorrido o dominio de la función, en el eje y el rango
o ámbito.
una función es estrictamente creciente conforme x se desplaza a la derecha f (x) se
desplaza hacia arriba.
una función es estrictamente decreciente conforme x se desplaza a la derecha f (x) se
desplaza hacia abajo.
una función es constante si su grá…ca se mantiene paralela al eje x.
una función es positiva para los valores de x tales que f (x) "se mantenga por arriba
del eje x "
una función es negativa para los valores de x tales que f (x) "se mantenga por abajo
del eje x "
De…nición. Sea f : A ! B
una función, entonces
1. f (x) es positiva en un subconjunto M de A sii para todos los valores x 2 M , f (x) > 0:
2. f (x) es negativa en un subconjunto M de A sii para todos los valores x 2 M; f (x) < 0:
De…nición. Sea f una función con dominio A: f es
1. par sii f ( x) = f (x) 8x 2 A
2. impar sii f ( x) =
f (x) 8x 2 A
Ejemplos
1. Considere la grá…ca adjunta de una función f . Con base en la información dada,
determine
(a) Dominio de f
(b) Ámbito de f
(c) Intersecciones con los ejes
(d) Intervalos de monotonía (crece, decrece, constante)
(e) Un intervalo donde f (x) es positiva
(f) Un intervalo donde f (x) es negativa
(g) Conjunto de valores de x tales que f (x) = 0.
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< 2
x2 2
f (x) =
: p
x 1
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1
si
si
si
x
2
2<x<1
x>1
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
Solución
a. Dominio : R
f 1g
b. Ambito: [ 2; 1[
c. Intersecciones con los ejes: (
en el eje y
p
2; 0) y (2; 0) es interseccion en eje x, (0; 2) es interseccion
d. f es creciente sii x 2 [0; 1] o si x 2 [1,1[
f es decreciente sii x 2]
f es constante sii x 2]
2; 0]
1; 2]
e. f (x) es positiva: ]
1; 2] o ]2; +1[
p
f. f (x) es negativa: ]
2,1[ o ]1; 2[
p
g. f (x) = 0 si x 2 f
2; 2g
2. Considere la grá…ca adjunta de una función f. Con base en la información dada,
determine:
(a) Dominio de f
(b) Ámbito de f
(c) Intersecciones con los ejes
(d) Intervalos de monotonía (crece, decrece, constante)
(e) Un intervalo donde f (x) es positiva
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(f) Un intervalo donde f (x) es negativa
(g) Conjunto de valores de x tales que f(x) = 0.
Solucion
a. Dominio : R f 2; 2g
b. Ambito: R ]0; 1]
c. Intersecciones con los ejes: (0,0) es interseccion en eje x y eje y.
d. f es creciente sii x 2 1; 2[o si x 2] 2; 0[
f es decreciente si x 2]0; 2[ o si x 2]2; 1]
f no es constante
e.f (x) es positiva sii x 2] 1; 2[ o ]2; 1[
f. f (x) es negativa sii x 2] 2; 2[ f0g
g. f (x) = 0 si x 2 f0g