anexo al proyecto c´odigos de evaluaci´on asociados a

MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
REGISTRO SIP: 20080889
ANEXO AL PROYECTO CÓDIGOS DE EVALUACIÓN
ASOCIADOS A MATRICES Y SUS APLICACIONES CON
REGISTRO SIP 20080889
DIRECTOR DEL PROYECTO:
MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
RESUMEN
Podemos decir que la teorı́a de códigos surgió en 1948 cuando Claude
E. Shannon publicó el artı́culo The Mathematical Theory of Communication. Los códigos detectores-correctores de error son muy útiles en el envı́o
de información a través de canales ruidosos donde pueden ocurrir errores
en el mensaje. Un ejemplo claro de lo anterior es el hecho siguiente: En
1965 el Mariner 4, de la NASA, envió a la tierra, haciendo uso de códigos detectores-correctores de error, las primeras imágenes del planeta Marte,
imágenes valiosı́simas en su momento, aunque de calidad mediana si las comparamos con las imágenes logradas en la actualidad (para más detalles puede
consultarse la página web de la NASA: http://www.nasa.gov/).
La transmisión de información desde naves espaciales o a través de satélites
de comunicaciones es uno de los paradigmas de la teorı́a de códigos. Los
impresionantes avances tecnológicos, en tecnologı́a digital, que en la actualidad son normales y que consideramos parte de nuestra vida cotidiana, como
el teléfono celular, la televisión digital, los sistemas de navegación aérea y
marı́tima, los CD-R, los DVD, en buena medida (pero no totalmente) no
serı́an posibles sin el desarrollo de los códigos detectores-correctores de error.
Estos códigos aparecen, además, en medicina (tomografı́a), en los códigos de
barras y en consecuencia la importancia de su estudio y de la obtención de
resultados originales en este contexto está fuera de discusión.
Las principales aportaciones a la teorı́a de códigos hechas en este proyecto
para los códigos de evaluación asociados a gráficas bipartitas completas son
ANEXO
1
UPIITA, IPN
MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
REGISTRO SIP: 20080889
Dimensión
a−invariante
Ideal Anulador
Distancia Mı́nima
Código Dual
En este proyecto se calcularon las caracterı́sticas principales de ciertos
códigos de evaluación asociados a gráficas con entradas enteras. En particular se trabajó con las matrices de incidencia de gráficas bipartitas completas.
El uso del paquete de computación MACAULAY 2 fue fundamental. Para
introducir estos conceptos, requerimos algunas definiciones. Tomemos K como un campo finito con q elementos. Sea PlK el l espacio proyectivo sobre
K y X un subconjunto de este espacio proyectivo. Sea L un espacio vectorial de dimensión n definido sobre K y que consta de funciones que están
definidas sobre el conjunto X y toman valores sobre K. Entonces el mapeo
de evaluación
ev : L → K s ,
ev(f ) = (f (P1 ), . . . , f (Ps ))
define un código lineal: CX = ev(L).
En este proyecto se calcularon los parámetros fundamentales de esta clase de
códigos cuando el conjunto X es una variedad tórica. Analizamos casos particulares de gráficas bipartitas completas, calculamos su matriz de incidencia
y construimos el conjunto X como se explica a continuación.
MÉTODOS Y MATERIALES
Los métodos usados en este proyecto fueron de tipo computacional. Se
hicieron programas en el software Macaulay 2 que permitieron el cálculo de
algunos ejemplos especı́ficos, por ejemplo, de la gráficas Km,n se pudo calcular
la longitud, distancia mı́nima y dimensión de los códigos correspondientes.
El uso de este software (que se les enseñó a los becarios PIFI y los tesistas)
permitió la construcción de ejemplos como el que sigue.
ANEXO
2
UPIITA, IPN
MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
REGISTRO SIP: 20080889
Consideremos la gráfica K2,3 , que se muestra en la figura siguiente:
v1
v2
u
u
......
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... ...........
........... ..
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.. ... .........
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.. .... ...............
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a3
a1
a6
a4
a2
a5
u
u
u
v3
v4
v5
Figura 1: K2,3
Su matriz de incidencia es de tamaño 5 × 6

1 1 1 0 0
0 0 0 1 1

B=
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
y está dada por

0
1

0

0
1
Trabajaremos con un campo K con 5 elementos.
La variedad tórica X tiene (5 − 1)3 = 64 puntos y esta es la longitud del
código CX (d). La función de Hilbert que nos da la dimensión de esta clase
de códigos está dada por
HX (0)
1
HX (1)
6
HX (2)
18
HX (3)
40
HX (4)
52
HX (5)
60
HX (6)
64
De hecho la serie de Hilbert está dada por
FX (t) =
ANEXO
1−3t2 +2t3 −23t4 +72t5 −81t6 +38t7 −2t8 −12t9 +12t10 −4t11
(1−t)6
3
UPIITA, IPN
MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
REGISTRO SIP: 20080889
y el a−invariante es 5.
Los ejemplos anteriores permitieron postular una solución general y después,
con un bagaje matemático avanzado, hacer la demostración de las conjeturas
lo que dio origen a los artı́culos de investigación reportados. Estas publicaciones son, en cierto sentido, una validación de los métodos usados, pues éstos
llevaron a los resultados reportados y que fueron sujetos a estricta revisión.
El material usado básicamente se refiere a computadoras, impresoras y libros
y journals en bibliotecas especializadas (fı́sicamente o vı́a internet). En este
rubro fue fundamental el apoyo económico que dio el IPN al proyecto.
RESULTADOS
Los resultados básicos obtenidos en el proyecto son los siguientes:
Fortalecimiento del grupo de Investigación en Teorı́a Algebraica de
Códigos.
Formación de recursos humanos de calidad en Licenciatura (becarios
PIFI) y Posgrado (Tesis de Maestrı́a):
• Becarios PIFI: Santiago Bonilla Véliz y Marcos Castillo Isidoro
(Ambos de nivel superior, estudiantes de la UPIITA).
• Tesista de Maestrı́a: Eliseo Sarmiento Rosales (alumno de la ESFM).
Hizo la defensa de su tesis (que recibió mención honorı́fica) el 20 de
Enero de 2009, con el tı́tulo: Sobre el código Reed-Solomon generalizado y los códigos asociados a gráficas bipartitas y sus duales.
• Tesistas de Licenciatura: Joel Nava Lara y Daniel Miguel Ortiz
(ambos alumnos de la ESFM) presentando la tesis con tı́tulo:
Geometrı́a Algebraica Aplicada a Códigos.
Publicación de dos artı́culos de investigación en revistas internacionales
con estricto refereo:
• Evaluation Codes Associated to Complete Bipartite Graphs. International Journal of Algebra, Vol. 2, No.4, pp. 163-170, Bulgaria,
2008.
ANEXO
4
UPIITA, IPN
MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
REGISTRO SIP: 20080889
• The Dual Code of Some Evaluation Codes Arising from Complete
Bipartite Graphs. International Journal of Algebra, Vol. 2, No. 16,
pp. 789-793, Bulgaria, 2008.
Divulgación de los resultados obtenidos en el Quinto Congreso Europeo
de Matemáticas realizado en la ciudad de Amsterdam, Holanda, del 14
al 18 de Julio de 2008.
Fortalecimiento de la relación académica con investigadores extranjeros.
Descripción precisa de los parámetros fundamentales de los códigos
asociados a gráficas bipartitas completas:
• Longitud del código:
s = (q − 1)m+n−2
• Dimensión del código:
dim K CX (d) = HX1 · HX2
• a-invariante:
aX = max {(n − 1)(q − 1) − n, (m − 1)(q − 1) − m}
• Distancia Mı́nima:
δX (d) = δX1 (d) · δX2 (d)
⊥
• Código Dual: El código CX
(d) está dado por
⊥
⊥
⊥
⊥
[CX
(d) ⊗K CX2 (d)] ⊕ [CX1 (d) ⊗K CX
(d)] ⊕ [CX
(d) ⊗K CX
(d)]
1
2
1
2
IMPACTO
El impacto del proyecto es importante en los rubros siguientes:
En el ámbito educativo, porque forma recursos humanos que pueden
tener influencia decisiva en Licenciatura y Posgrado.
ANEXO
5
UPIITA, IPN
MANUEL GONZÁLEZ SARABIA
REGISTRO SIP: 20080889
En el ámbito cientı́fico, pues las contribuciones hechas son originales y
resuelven algunos de los cuestionamientos de nuestro tiempo.
En el ámbito social, pues forma personas comprometidas con su paı́s y
sus conciudadanos.
En el ámbito productivo, pues los códigos trabajados tienen excelente
comportamiento y permiten corregir una buena cantidad de errores en
el envı́o de información.
ANEXO
6
UPIITA, IPN