Lección 3: Introducción a la Factorización y Factorización por Factor

Lección 3: Introducción a la
Factorización y Factorización por
Factor Común y Agrupación
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2009 ©
Objetivos de la Lección
Al finalizar esta lección los estudiantes:
• Conocerán el significado de los términos
fundamentales relacionados con la factorización
• Factorizarán polinomios por el método de Factor
Común
• Aplicarán la estrategia de Agrupación para
factorizar polinomios por Factor Común
• Resolverán problemas donde se aplique la
factorización por factor común y la estrategia de
agrupación
Introducción a la
Factorización
Introducción
• La factorización es uno de los procesos
fundamentales del álgebra.
• Su relevancia es tan importante como
lo son las operaciones básicas de
suma, resta, multiplicación y división.
Introducción
• La factorización es el reverso de la
multiplicación (proceso al revés de la
multiplicación).
– En la multiplicación se multiplican dos o
más factores para obtener un producto.
– En la factorización se descompone un
producto en factores.
– Si multiplicamos dos factores obtenemos
un producto.
– Si factorizamos un producto obtenemos los
factores.
Introducción
• En la matemática básica
factorizamos números enteros.
• En álgebra factorizamos polinomios.
• Para entender la factorización de
polinomios, en esta lección
repasaremos conceptos de la
matemática básica relacionados con
la factorización de enteros.
Introducción
• En esta lección conoceremos el
significado de la factorización y
estudiaremos cómo se factorizan
polinomios por uno de los métodos
que es Factor Común.
• También, conoceremos cómo se
aplica la Estrategia de Agrupación
para factorizar polinomios por Factor
Común.
Definición de
Términos
Fundamentales
Repaso de Propiedades de
Multiplicación
• Se dice que un número es divisible por otro si
el residuo de la división es igual a cero.
• Por ejemplo:
– Sabemos que 12 es divisible por 4 ya que el
residuo al dividir 12 ÷ 4 es cero.
– Sabemos que 7 no es divisible por 2 ya que el
residuo al dividir 7 ÷ 2 no es cero.
Residuo
3
4 12
-12
0
3
2
7
- 6
1
Residuo
Repaso de Propiedades de
Multiplicación
• En general, si un número “n” es divisible por otro
número “d”, decimos que “d” es un factor de “n”, y
que “n” es un múltiplo de “d”.
• Veamos el siguiente diagrama:
Sean “n”, “d” y “q” números naturales y, n es
divisible por d, entonces:
n=d∙q
Múltiplo de d y q
(producto)
Factor de n
Factor de n
Definiciones
• Factores- Son números que se multiplican.
• Ejemplos:
12 = 3 . 4
12 = 6 . 2
12 = 12 . 1
3 y 4, 2 y 6, 12 y 1, son factores de 12
• Factorizar- Es el proceso de descomponer un número
como un producto de factores.
• Cuando se expresa el 12 como un producto de sus
factores, hemos factorizado el 12.
• Si expresamos un número como producto de sus
factores, decimos que hemos factorizado el número.
Definiciones
• Número primo- Número natural mayor que 1 que
tiene como únicos factores a él mismo y a 1.
• Ejemplos de números primos:
Número
Únicos
factores
2
2y1
5
5y1
17
17 y 1
Piensa en otros ejemplos de números primos.
Definiciones
• Número compuesto- Número que no es primo, o
sea, que tiene otros factores además de él mismo y
1.
• Ejemplos de Números Compuestos:
Número
Factores
12
6y2
4y3
12 y 1
16
4y4
8y2
16 y 1
Piensa en otros ejemplos de números compuestos.
Conjunto de los Números Primos
{ 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, …}
Observa que:
• El conjunto es infinito.
• El número primo menor es 2.
• El único número primo que es par es 2, los
demás son impares.
• No todos los impares son primos, por
ejemplo, el 9 es impar pero no es primo.
• Si el número es primo, no es compuesto, y
viceversa, si es compuesto, no es primo.
Reflexión
• Existen números naturales a los cuales llamamos
números primos ya que sus únicos factores son el 1 y el
propio número.
• Por ejemplo:
– Se dice que 3 es un número primo ya que solo podemos
factorizarlo de esta manera: 3 = 3 ∙ 1.
• Existen los números compuestos, los cuales tienen
otros factores además del uno y del propio número.
• Por ejemplo:
– El 6 es un numero compuesto ya que 6 = 2 ∙ 3, donde
observamos que 2 y 3 son factores de 6 diferentes de 1 y
del propio 6.
Teorema Fundamental de la
Aritmética
• Existe un teorema fundamental de los
números que le da gran importancia a los
números primos:
• Teorema Fundamental de la Aritmética:
Todo número natural compuesto se puede
expresar como un producto único de números
primos.
Reflexión
• El teorema anterior nos dice que la factorización como producto
de números primos es única (excepto por el orden de los
factores).
• Por ejemplo: Tratemos de factorizar el número 24 de dos
formas diferentes:
FORMA A
24 = 4
2 x 2
x
6
2x3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
24 = 23 x 3
FORMA B
24 = 8
x
3
4x2
2 x2
24 = 2 x 2 x 2 x 3
24 = 23 x 3
• Observa que el resultado final de ambas factorizaciones fue el
mismo. Por lo tanto, se confirma que la factorización prima de
un número compuesto es única.
Reflexión
• Los polinomios son expresiones algebraicas que
representan números. Las operaciones que se
realicen con polinomios son similares a las que se
realizan con números.
• Por ejemplo:
Si concluimos que un polinomio es divisible por
otro debido a que el residuo de la división resultó
ser igual a cero, entonces también se concluye
que el divisor es factor del dividendo.
Reflexión
• Así también, las propiedades y teoremas que
apliquen a números también son aplicables a
polinomios.
• Por lo tanto, el Teorema Fundamental de la
Aritmética también es aplicable a los polinomios.
– Es decir, si podemos expresar un polinomio como
producto de factores diferentes a uno y al propio
polinomio, entonces esta factorización es única.
– Esto es, no podemos factorizar el mismo polinomio de
dos maneras diferentes.
Reflexión
• Factorizar un polinomio es descomponer el
mismo como un producto dos o más factores
que también son polinomios.
• De la misma manera que existen números
primos, también existen polinomios primos.
– Esto es, polinomios cuyos únicos factores son él
mismo y 1.
– Estos son polinomios que no se pueden factorizar
más.
Factorización
de Polinomios
Definiciones
• Factorización prima de un polinomio- Es el
proceso mediante el cual se descompone un
polinomio como el producto de polinomios
primos.
• Polinomio primo- Polinomio cuyos únicos
factores son él mismo y 1.
Para factorizar un polinomio…
• Se aplican diferentes métodos.
• Cada método dependerá de las características
del polinomio.
• Dependiendo como sea el polinomio, será el
método que aplique.
Métodos de Factorización
de Polinomios
Métodos de Factorización de
Polinomios
•
•
•
•
Factor Común
Trinomios Cuadráticos
Diferencia de Cuadrados
Suma o Diferencia de Cubos
También, está la estrategia de Agrupación, que
aunque no es un método en sí mismo, es una
estrategia que ayuda a factorizar polinomios por
los diferentes métodos.
Reflexión
• En las próximas pantallas de esta lección ilustraremos
el método de Factor Común.
• En las lecciones subsiguientes conoceremos los otros
métodos.
• Antes de ilustrar el método de Factor Común,
repasaremos algunos ejemplos de multiplicación de
polinomios que están relacionados con el método de
Factor Común.
• Esto te permitirá descubrir la relación entre la
multiplicación y la factorización por este método,
para facilitar la comprensión del proceso de
factorización.
Multiplicación de un Monomio por
Polinomio que no es Monomio
• En la lección de Multiplicación de Polinomios
estudiamos cómo se multiplica un monomio
por un polinomio que no es monomio.
• Ejemplo:
3 ( x + 8 ) = 3x + 24
Se aplica la propiedad distributiva al
multiplicar el monomio 3 por cada término del
polinomio (x + 8).
Otro Ejemplo de Multiplicación de un
Monomio por Polinomio
• Multiplica:
2x2 (y2 - 9y + 3 ) = ( 2x2 . y2 ) + (2x2 . -9y) + (2x2 . 3)
= 2x2y2 - 18x2y + 6x2
• Observa que el resultado es un polinomio en el cual
cada término comparte un factor en común.
• ¿Cuál es el factor común en el polinomio del resultado?
• El factor común es el monomio 2x2 por el cual
multiplicamos.
¿Cómo haríamos si queremos ir al
revés?
O sea, si tenemos el polinomio:
2x2y2 - 18x2y + 6x2
y queremos escribirlo como un producto:
2x2 (y2 - 9y + 3 )
¿Cuál sería el proceso?
Veamos el proceso en la próxima pantalla.
Proceso para aplicar el Método
de Factor Común
Proceso para factorizar por
Factor Común
Primero: Descomponemos en factores cada término del
polinomio : constantes y variables.
Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los
términos.
Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis y los
escribimos una sola vez.
Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean
comunes .
Veamos el proceso en la próxima pantalla.
Proceso para factorizar por Factor
Común
• Factoriza: 2x2y2 - 18x2y + 6x2
= ( 2 . x2 . y2 ) + ( 2 . -9 . x2 . y) + ( 2 . 3 . x2)
= 2x2 (y2 - 9y + 3 )
• Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes
y variables.
• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en
este caso el 2 y x2.
• Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el 2 y
x2, (los escribimos una sola vez).
• Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este
caso: y2 - 9y + 3.
Otros Ejemplos de Factorización
por Factor Común
Ejemplo 1
• Factoriza: 12x2 – 6x
= (2 . 6 . x . x) + (6 . -1 . x)
= 6x (2x – 1)
• Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes
y variables.
• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en
este caso el 6 y x.
• Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el 6 y
x, (los escribimos una sola vez).
• Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este
caso: 2x – 1.
Ejemplo 2
• Factoriza: 9x – 3y
= (3 . 3 . x) + (3 . -1 . y)
= 3 (3x – y)
• Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes
y variables.
• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en
este caso el 3.
• Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el 3.
• Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este
caso: 3x – y.
Ejemplo 3
• Factoriza: 8x2 + 5x3 - 3x4
= (2 . 2 . 2 . x . x) + (5 . 1 . x . x . x) + (-3 . 1 . x . x . x . x)
= x2 (8 + 5x – 3x2)
• Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes
y variables.
• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en
este caso el x2.
• Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el x2.
• Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este
caso: 8 + 5x – 3x2.
Ejemplo 4
• Factoriza: 30a2 + 45a3b2 + 75a4b
= (15 . 2 . a . a) + (15 . 3 . a . a . a . b . b) + (15 . 5 . a . a . a . a . b)
= 15a2 (2 + 3ab2 + 5a2b)
• Observa que cuando hay factor común en las
variables el factor común es la potencia menor.
Ejemplo 5
• Factoriza: 4x2 + 15y – 6x
= (2 . 2 . x . x) + (3 . 5 . y) + (-3 . 2 . x)
= 4x2 + 15y – 6x
• Observa que no hay ningún factor que sea común a los tres
términos.
• Para que sea factor común tiene que estar en todos los términos.
• Este polinomio no factoriza más. Sus únicos factores son él mismo
y 1.
• Este es un ejemplo de polinomio primo.
Ejercicios de Práctica
de Factorización por
Factor Común
Instrucciones
• En tu libreta, factoriza los polinomios que
aparecen en la próxima pantalla por el
método de Factor Común.
• Si el polinomio es primo, indícalo.
• Después de factorizar, haz clic para ver
resultados.
• Recuerda que puedes saber si la factorización
es correcta multiplicando los factores. Al
multiplicar todos los factores se obtiene el
polinomio original.
Factoriza por Factor Común
15x4 – 5x3 + 20x2 =
5x2 (3x2 – x + 4)
20x2y3 + 6xy4 - 12x3y5 = 2xy3 (10x + 3xy – 6x2y2)
m2 + n2 =
No se puede factorizar más, es un
polinomio primo.
-36p7q9 + 12p5q12 - 8p4q15 = 4p4q9(-9p3 + 3pq3 – 2q6)
Reflexión
A veces:
• El factor común es un término negativo.
• Por ejemplo:
-3t - 18 =
= (-3 . t) + (-3 . 6)
• El factor común es -3.
• Factorizando -3t - 18 sacando el factor común -3 tenemos:
-3t – 18 = -3(t + 6)
• Observa que al sacar el factor común negativo, el signo
dentro del paréntesis es positivo.
• Recuerda que al multiplicar el monomio -3 por el polinomio
(t + 6) nos tiene que dar como resultado el polinomio:
-3t – 18.
Otro ejemplo
Factoriza por factor común sacando un factor negativo:
- 12x + 18
Para que halla el mismo
= (-6 . 2 . x) + (-3 . -6) factor común (-6)
tenemos que factorizar el
• El factor común es -6.
positivo 18 como (-3 . -6).
Por tanto, observa que el
• Factorizando el -6 tenemos:
3 es negativo
- 12x + 18 = -6 (2x - 3)
• Observa que al sacar el factor común negativo , el signo
dentro del paréntesis tiene qe ser negativo para que al
multiplicar el monomio -6 por el polinomio (2x - 3) nos dé
como resultado el polinomio: -12x + 18.
Factoriza por Factor Común sacando un
factor negativo y haz clic para ver
resultados
-5t - 10 = -5 (t + 2)
-20x – 4 = -4 (5x + 1)
-8m + 40 = -8 (m - 5)
-2x2 + 2x - 24 = -2 (x2 – x + 12)
A veces …
• El factor común no es un monomio.
• Podría ser un binomio o cualquier otro tipo
de polinomio.
• Como por ejemplo:
3x (5x – 2) + 4 (5x – 2)
¿Cómo se factoriza esta clase de
polinomios?
• Factoriza:
3x (5x – 2) + 4 (5x – 2) =
• Observa que el factor común es el binomio: (5x – 2)
• En este caso sacamos el factor común (5x – 2) y lo
escribimos una sola vez. Luego encerramos en
paréntesis lo que queda (3x + 4).
• Veamos:
3x (5x – 2) + 4 (5x – 2) = (5x – 2) (3x + 4)
Factoriza por Factor Común y haz
clic para ver resultados
2x(3x – 7) + 4(3x – 7) = (3x – 7) (2x + 4)
9(2y + 5) + x(2y + 5) = (2y + 5) (9 + x)
(2x – 1)(3x – 4) - (2x – 1)(x + 3) =
(2x – 1) [(3x - 4) – (x + 3)] =
(2x – 1) [(3x - 4 – x – 3)]
Simplificando se
obtiene:
(2x – 1) (2x – 7)
¿Qué características tiene que tener
el polinomio para que se pueda
factorizar por el método de factor
común?
• El polinomio tiene que tener por lo menos
un factor que sea común a todos los
términos del polinomio.
• El polinomio puede ser binomio, trinomio
o cualquier tipo de polinomio.
Estrategia de Agrupación
A veces …
• Tenemos un polinomio de 4 términos donde
algunos de los términos tienen un factor
común, pero no todos tienen el mismo.
• Por ejemplo:
ax + ay + bx + by
¿Qué hacemos para factorizar el
polinomio en este caso?
ax + ay + bx + by
 Buscamos agrupar términos que tengan
algún factor común.
 Por ejemplo:
(ax + ay) + (bx + by)
ó
(ax + bx) + (ay + by)
¿Qué hacemos para factorizar el
polinomio en este caso?
ax + ay + bx + by
 Observa que si agrupamos así:
(ax + ay) + (bx + by)
 En el primer grupo el factor común es a y en el
segundo grupo el factor común es b.
a(x + y) + b(x + y)
 Luego de sacar este factor común, podemos ahora
factorizar nuevamente ya que tienen en común el
factor (x + y):
(x + y) (a + b)
Reflexión
• ¿Cuándo aplicamos la estrategia de Agrupación?
• Cuando tenemos un polinomio de 4 términos y
no se puede factorizar por ningún método.
• En la factorización por agrupación se factoriza
dos veces.
• La primera vez, para hacer que se pueda seguir
factorizando, aunque todavía esa vez no está
totalmente factorizado. Hay sumas y restas entre
medio.
• La segunda vez queda totalmente factorizado el
polinomio porque no hay sumas y restas entre medio.
Reflexión
• Aunque en estos momentos el único método que
conocemos es el de Factor Común, en realidad
cuando aplicamos la estrategia de agrupación
buscamos poder factorizar nuevamente por
cualquiera de los métodos que estudiaremos más
adelante.
• En esta lección todos los ejercicios que veremos
se agruparán para poder factorizarse por factor
común.
• Más adelante, cuando conozcamos todos los
métodos, agruparemos para factorizar por
cualquiera de los métodos.
Proceso para Factorizar por
Agrupación
Pasos a seguir:
• Ver si el polinomio tiene 4 términos y no se puede factorizar por
factor común.
• Agrupar los términos de manera que se pueda factorizar por alguno
de los métodos de factorización.
• Factorizar por el método que se pueda. (Primera vez que se factoriza)
• Ver si después de factorizado la primera vez, se puede volver a
factorizar. Factorizarlo por segunda vez.
• El polinomio debe quedar completamente factorizado. Sabemos que
está completamente factorizado cuando todos los términos están
expresados como un producto o multiplicación de polinomios primos.
Ejercicio de Práctica
Factorización por
Agrupación
Instrucciones
• Factoriza los polinomios a continuación en tu
libreta.
• Después de hacer los ejercicios, haz clic para
ver las respuestas.
Factoriza por Agrupación
ac + ad + bc + bd = (c + d) (a + b)
xy + xz + wy + wz = (y + z) (x + w)
ax - x + a - 1 =
ax - x - a + 1 =
(a - 1) (x + 1)
(a - 1) (x - 1)
Factoriza por Agrupación
y3 - 8y 2 + y - 8 =
(y - 8) (y2 + 1)
2x3 + 4x2y - 3xy - 6y2 = (x + 2y) (2x2 – 3y)
8x2 + 6xy - 12xy - 9y 2 = (4x + 3y) (2x – 3y)
16r3 - 4r2s2 - 4rs + s3 =
(4r -s2) (4r2 – s)
Aplicaciones de la Factorización
en la Solución de Problemas
Problema 1
• Supón que en un juego de pelota se lanza al
aire hacia arriba una bola con una velocidad
inicial de 64 pies por segundos. La altura en
pies h después de t segundos está dada por la
expresión -16t2 + 64t.
A) Halla una expresión equivalente factorizando
por factor común un factor negativo.
B) Determina la altura de la pelota cuando t = 1.
Solución del Problema 1
A) Halla una expresión equivalente factorizando por factor
común un factor negativo.
Factorizamos sacando como factor común a -16t:
-16t2 + 64t = -16t (t – 4)
B) Determina la altura de la pelota cuando t = 1.
Sustituimos t + 1 en la expresión -16t2 + 64t:
-16t2 + 64t
-16 (1)2 + 64 (1)
-16 (1) + 64 (1)
-16 + 64
48
La altura es 48 pies
Problema 2
• Un traje se redujo 10% de su precio regular.
Luego, se redujo el precio espeial un 10%
adicional. Halla una expresión equivalente al
precio final del vestido en forma factorizada.
Solución al Problema 2
• Si el precio original era x, la expresión que representa el
precio después de la primera reducción es:
x – 0.10x
• Recuerda que reducir implica restar.
• Recuerda que 10%, para propósitos de cómputos matemáticos, hay que convertirlo a decimal.
• La segunda reducción de precio sería:
0.10(x – 0.10x )
• Después de la segunda reducción el precio sería:
(x – 0.10x ) - 0.10(x – 0.10x )
• Factorizando la expresión anterior tenemos que el precio final
Recuerda que el coeficiente invisible que está delante del paréntesis es 1.
será:
(x – 0.10x ) - 0.10(x – 0.10x ) = (x – 0.10x )(1 - 0.10)
= 0.90 (x – 0.10x )
El binomio (x – 0.10x) es un factor común
Problema 3
h
r
• Un granero es una estructura cilíndrica donde
se almacena productos agrícolas. El área de la
superficie del granero con altura h y radio r,
incluyendo el área de la base, está dada por el
polinomio 2πrh + πr2. Halla una expresión
equivalente aplicando la factorización del
polinomio.
Solución al Problema 3
h
r
• Para hallar una expresión equivalente
aplicando la factorización del polinomio
2πrh + πr2, factorizamos por factor común:
2πrh + πr2
πr (2h + r)
La expresión πr (2h + r) es equivalente a
2πrh + πr2.
Problema 4
• En cada figura a continuación, A representa el
área de la figura. Halla una expresión
polinómica en forma factorizada que
represente la diferencia en las áreas de ambas
figuras.
A = 6x(2x + 1)
A = 5(2x + 1)
Solución al Problema 4
• Para hallar la diferencia entre las áreas de las dos figuras
tenemos que restar las áreas. La expresión polinómica que
representa la resta del área mayor menos el área menor es:
6x(2x + 1) – 5(2x + 1)
• Luego, factorizamos la expresión por factor común. Observa
que (2x + 1) es un factor común a ambos términos. La
expresión factorizada es:
(2x + 1) (6x – 5)
A = 6x(2x + 1)
A = 5(2x + 1)
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• Resuelve los ejercicios a continuación en tu
libreta.
• Sigue las instrucciones que aparecen en cada
pantalla.
• Después de hacer los ejercicios, verifica los
resultados en la sección final donde aparecen
las Contestaciones a los Ejercicios de Práctica.
Ejercicio 1
• Factoriza los siguientes polinomios:
6a2 + 3a
x3 + 9x2
4x2y – 12xy2
3y2 – 3y – 9
10a4 + 15a2 – 25a
3x + 2y – 8
Ejercicio 2
• Factoriza los siguientes polinomios sacando un
factor negativo:
-5x – 45
-6a – 84
-3y2 + 24y
-7x2 + 56y
-2x2 + 16x – 20
-3x + 2y
Ejercicio 3
• Factoriza los siguientes polinomios:
a(b – 2) + c(b – 2)
(x – 2) (x + 5) + (x – 2) (x + 8)
(2x + 1) (3x + 8) + (2x – 1) (4x + 5)
a2 (x – y) + 3a(x – y)
(m – 4)(m + 3) – (m – 4)(m – 3)
Ejercicio 4
• Factoriza los siguientes polinomios:
ac + ad + bc + bd
b3 – b2 + 2b – 2
y3 – 8y2 + y – 8
24x3 – 36x2 + 72x – 108
a 4 – a3 + a 2 + a
Ejercicio 5
• El precio de una cortadora de grama aumentó
15% de su precio regular. Luego, con el
especial de verano el precio anterior se redujo
un 20%. Halla una expresión equivalente al
precio final de la cortadora de grama en forma
factorizada.
Ejercicio 6
• En cada figura a continuación, A representa el
área de la figura. Halla una expresión
polinómica en forma factorizada que
represente la diferencia en las áreas de ambas
figuras.
A = 7x(3x + 4)
A = 2(3x + 4)
Contestación a los Ejercicios
de Práctica
Contestación a Ejercicio 1
3a( 2a + 1)
x2(x+ 9)
4xy(x – 3y)
3(y2 – y – 3)
5a(2a3 + 3a – 5)
Polinomio primo
Contestación a Ejercicio 2
-5(x + 9)
-6(a + 14)
-3y(y – 8)
-7(x2 – 8y)
-2(x2 – 8x + 10)
-1(3x – 2y)
Contestación a Ejercicio 3
(b – 2)(a + c)
(x – 2) [(x + 5) + (x + 8)] = (x – 2) (2x + 13)
Polinomio primo
(x – y) (a2 + 3a)
(m – 4)[(m + 3) – (m – 3)] = 6(m – 4)
Contestación a Ejercicio 4
(a + b) (c + d)
(b2 + 2) (b – 1)
(y2 + 1) (y – 8)
12( x2 + 3) (2x – 3 )
a ( a3 – a2 + a + 1)
Contestación a Ejercicio 5
• Una expresión equivalente al precio final de la
cortadora de grama sería:
(x + 0.15x) – 0.20(x + 0.15x)
• Factorizando tenemos:
0.80(x + 0.15x)
Contestación a Ejercicio 6
• La expresión polinómica que representa la diferencia
entre ambas figuras es:
7x(3x + 4) – 2(3x + 4)
• La expresión factorizada es:
(3x + 4) (7x – 2)
A = 7x(3x + 4)
A = 2(3x + 4)