INT 2 PG Ch 3_Spanish - CPM Educational Program

Capítulo 3
PROBABILIDAD
3.1.1 – 3.1.3
Si bien la definición de probabilidad es simple, calcular las probabilidades de un evento
determinado puede ser complicado. Al calcular las probabilidades de arrojar una
moneda y obtener cruz, podemos ver fácilmente que hay solo dos posibilidades y un
resultado exitoso. Pero ¿qué pasa si ni la cantidad total de resultados ni la cantidad total
de resultados exitosos posibles es obvia? En ese caso, necesitamos una forma precisa de
contar la cantidad de eventos. En estas lecciones, estudiamos tres modelos que nos
permiten observar todos los resultados posibles (llamados espacio muestral): crear una
lista sistemática, crear un diagrama de árbol, y crear un modelo de área. Cada modelo
tiene sus ventajas y sus desventajas, y es más eficiente en distintas situaciones.
Para más información sobre el cálculo de probabilidades y el uso de modelos de
probabilidad, consulta los Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.1.4 y 3.1.4.
Ejemplo 1
La Sra. Dobby debe seguir algunas reglas al preparar el menú del almuerzo de los alumnos para
la semana. Debe incluir un plato de carne y uno de vegetales en cada almuerzo. Puede elegir
entre cuatro tipos de carne: pollo, pescado, carne de res, y tofu. La lista de vegetales posibles
es un poco más larga: guisantes, zanahorias, brócoli, maíz, papas y remolachas. Tomando en
cuenta solo la carne y los vegetales, si la Sra. Dobby eligiera aleatoriamente un tipo de proteína
y un vegetal, ¿cuáles son las probabilidades de que el primer almuerzo que prepare incluya
pescado o un vegetal verde?
Para determinar las probabilidades de un almuerzo con pescado o un vegetal verde, debemos
saber cuántos son los menús de almuerzo posibles. Luego debemos contar cuántos de esos
menús incluyen pescado o un vegetal verde. Para contar todos los menús posibles, debemos
crear una lista sistemática que vincule cada tipo de carne con un vegetal de forma organizada.
Pollo
Pollo y guisantes
Pollo y zanahorias
Pollo y brócoli
Pollo y maíz
Pollo y papas
Pollo y remolachas
Pescado
Pescado y guisantes
Pescado y zanahorias
Pescado y brócoli
Pescado y maíz
Pescado y papas
Pescado y remolachas
Res
Res y guisantes
Res y zanahorias
Res y brócoli
Res y maíz
Res y papas
Res y remolachas
Tofu
Tofu y guisantes
Tofu y zanahorias
Tofu y brócoli
Tofu y maíz
Tofu y papas
Tofu y remolachas
Esta lista nos permite contar la cantidad total de menús posibles: 24. Luego debemos contar la
cantidad de menús que incluyen pescado o un vegetal verde (guisantes o brócoli). Hay 12 menús
que cumplen esta condición. Por lo tanto, las probabilidades de que el primer menú de almuerzo
1
tenga pescado o un vegetal verde son de 12
24 = 2 .
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Ejemplo 2
¿Cuáles son las probabilidades de arrojar una moneda estándar 4 veces y obtener cruz
exactamente dos veces?
1° intento
Ya que en cada intento tenemos solo dos resultados posibles,
podemos organizar esta información con un diagrama de
árbol. El primer intento tiene solamente dos posibilidades:
cara (C) o cruz (Z). Cada rama debe ser nuevamente dividida
en C o Z. Hacemos esto por cada vez que arrojamos la
moneda. La cantidad total de ramas en el extremo derecho
indica la cantidad total de resultados posibles después de
arrojar la moneda cuatro veces. En este ejemplo hay 16
resultados posibles. Si seguimos los “caminos” generados
por las ramas, vemos que hay seis formas de obtener
exactamente dos Z. El camino que incluye los resultados
CZCZ aparece resaltado. Los otros son CCZZ, CZZC, ZCCZ,
ZCZC, y ZZCC. Entonces, las probabilidades de arrojar una
moneda cuatro veces y obtener T exactamente dos veces es
6 = 3.
16 8
2° intento
3° intento 4° intento
C
C
C
Z
Z
C
Z
C
C
Z
C
Z
Z
C
Z
C
C
Z
C
Z
Z
C
C
Z
C
Z
Z
C
Z
Ejemplo 3
Romeo la rata debe atravesar un laberinto para hallar un
pedazo de queso. A la derecha puedes ver un plano del
laberinto. El queso puede colocarse en la sección A o en
la sección B. Si cada vez que Romeo llega a una
bifurcación en el laberinto es igualmente probable que
elija cualquiera de los caminos disponibles, ¿cuáles son las
probabilidades de que llegue a la sección A?
B
A
Crear un modelo de área puede ser útil para representar esta situación.
Comienza con un cuadrado. Cuando Romeo llega a la
primera bifurcación del laberinto, tiene dos opciones:
un camino superior y otro inferior. Podemos
representar esto dividiendo el cuadrado en dos
secciones del mismo tamaño (igualmente probables).
Luego considera lo que sucederá si Romeo elige primero el camino inferior. Si
lo hace, llegará a otra bifurcación con dos opciones, cada una de las cuales es
igualmente probable. En el modelo de área podemos representar esto
dividiendo el rectángulo inferior en dos secciones igualmente probables, como
se ve a la derecha.
A
B
Con una rama, Romeo llegará a la sección A; con la otra, a la sección B. Indicamos esto
colocando las letras en las regiones que representan estos resultados.
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Capítulo 3
Ahora considera el camino superior. Si Romeo toma el camino superior en
la primera bifurcación, llegará rápidamente a otra bifurcación donde
nuevamente puede elegir el camino superior o el camino inferior. Una vez
más, dividimos el rectángulo superior en dos rectángulos del mismo tamaño,
ya que cada camino es igualmente probable. Si Romeo toma el camino
inferior, llegará a la sección A. Indicamos esto escribiendo una A en una de
las nuevas regiones como se ve a la derecha.
A
A
B
A
Si Romeo toma el camino superior, llegará a otra bifurcación con dos caminos
igualmente probables. Esto significa que la última sección del cuadrado debe
ser dividida en dos partes iguales. Uno de los caminos lo llevara directamente
a la sección A y el otro a la sección B.
A
A
B
B
Para calcular las probabilidades, debemos determinar qué parte del área total está integrada por
secciones con la letra A. Esto se logra calculando la fracción del área que representa cada parte.
Las longitudes de cada lado de cada rectángulo han sido incluidas en el exterior del cuadrado,
mientras que el área de cada región ha sido escrita dentro de ella. La probabilidad de llegar a la
sección A está dada por la porción sombreada del cuadrado. El área de la región sombreada es:
A = 14 + 14 + 18
= 28 + 28 + 18
=
5
8
Por lo tanto, las probabilidades de que Romeo llegue a la sección A son de 85 . Esto significa que
las probabilidades de que llegue a la sección B son de 83 , ya que la suma de ambas debe ser 1.
Problemas
1.
Si Keisha tiene cuatro camisas preferidas (una azul, una verde, una roja, y una amarilla) y
dos pares de pantalones preferidos (uno negro y uno marrón), ¿cuántos atuendos preferidos
distintos tiene? Si Keisha seleccionara una camisa y unos pantalones al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que elija un atuendo con una camisa azul o roja y pantalones negros?
2.
Cada mañana Aaron comienza su día con un vaso de jugo de naranja o un vaso de jugo de
manzana, seguido por cereales, tostadas o huevos revueltos. ¿Cuántos desayunos distintos
puede comer Aaron? Si selecciona aleatoriamente un jugo y una comida, ¿cuál es la
probabilidad de que coma tostadas o huevos con jugo de naranja?
3.
A Eliza le gusta convertir situaciones cotidianas en
juegos de azar. Por ejemplo, antes de ir a comprar
vainilla frutilla
un helado a la heladería local, creó dos ruedas. La
primera tiene sus tres sabores preferidos, mientras
chocolate
que la segunda dice “cono” y “vaso”. Eliza
ordenará lo que indiquen las ruedas. ¿Cuáles son las
probabilidades de que coma helado de frutilla en un vaso?
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cono
vaso
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4.
Barty va a arrojar una moneda tres veces. ¿Cuáles son las probabilidades de que obtenga
cruz al menos dos veces?
5.
El Sr. Fudge va a arrojar dos dados estándar. ¿Cuáles son las probabilidades de que los dos
resultados sumen 4 o menos?
6.
Bienvenido a otro programa de juegos: “¡La rueda
$1.00 $10.00
de la suerte!” Para participar debes hacer girar dos
ruedas divididas en sectores iguales. La primera
$500
$100
rueda determina el premio inicial en dólares. La
$5.00 $25.00
segunda rueda es el “multiplicador”. La cantidad
que ganes será el producto de los dos resultados
Premio en
obtenidos. Lamentablemente, si obtienes el
dólares
multiplicador –2 puedes terminar debiendo dinero.
1
1000
–2
1
Multiplicador
a.
¿Cuáles son las probabilidades de que ganes $100 o más?
b.
¿Cuáles son las probabilidades de que termines debiendo $100 o más?
Para los problemas 7 a 10, asume que tienes una bolsa con los polígonos dados a continuación.
Si sacaras un polígono de la bolsa al azar, ¿cuáles son las probabilidades de que sea:
7.
un polígono con al menos un ángulo recto?
8.
un polígono con un ángulo agudo?
9.
un polígono con al menos un par de lados
paralelos?
10.
60°
70°
un triángulo?
Usa un modelo de área o un diagrama de árbol para calcular
las probabilidades solicitadas en los siguientes problemas.
Para los problemas 11-13 usa las ruedas de la derecha.
R
A
V
A
V
R
11.
Si haces girar cada rueda una vez, ¿cuál es la
probabilidad de que ambas se detengan en el azul?
12.
Si haces girar cada rueda una vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambas se detengan en el
mismo color?
13.
Si haces girar cada rueda una vez, ¿cuál es la probabilidad de obtener rojo y azul?
14.
Una caja de lápices tiene tres lápices amarillos, un lápiz azul, y dos lápices rojos. También
hay dos borradores rojos y uno azul. Si eligieras un lápiz y un borrador al azar, ¿cuáles son
las probabilidades de obtener una combinación rojo-rojo?
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R
A
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R
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Capítulo 3
15.
La madre de Sally tiene dos bolsas de caramelos pero le dijo a Sally que solo puede comer
un caramelo. La bolsa #1 tiene un 70% de caramelos naranjas y un 30% de caramelos
rojos. La bolsa #2 tiene un 10% de caramelos naranjas, un 50% de caramelos blancos, y un
40% de caramelos verdes. Si Sally debe sacar un caramelo de una de las bolsas con los
ojos vendados, ¿cuáles son las probabilidades de que elija un caramelo naranja?
16.
Si arrojas un dado y una moneda, ¿cuáles son las posibilidades de obtener un número
menor a 5 con el dado y cruz con la moneda?
17.
Una rueda se dividió en ocho secciones iguales (tres rojas, tres blancas, y dos azules). Si
haces girar la rueda dos veces, ¿cuáles son las probabilidades de obtener el mismo color
dos veces?
18.
Tu amigo y tú tienen la oportunidad de ganar un
millón de dólares. Tú debes colocar el dinero en una
de las habitaciones de la derecha y tu amigo debe
avanzar al azar por el laberinto. ¿En qué habitación
deberías colocar el dinero para que tu amigo tenga
más probabilidades de encontrar el millón de dólares?
19.
A
B
Halla las probabilidades de entrar al azar en cada una de las
habitaciones del laberinto de la derecha.
a.
P(A)
b.
P(B)
c.
P(C)
B
A
20.
El pronóstico del clima dice que hay un 60% de
probabilidades de lluvia. Si no llueve, hay un 80% de
probabilidades de que vayas a la playa. ¿Cuáles son las
probabilidades de que vayas a la playa?
21.
Un jugador de béisbol golpea la pelota un 40% de las veces si el clima es bueno pero solo
un 20% de las veces si hace frío o hay mucho viento. El pronóstico del clima dice que hay
un 70% de probabilidades de que el clima sea bueno, un 20% de probabilidades de que
haga frío y un 10% de probabilidades de que haya viento. ¿Cuáles son las probabilidades
de que el jugador golpee la pelota?
22.
Si los alumnos completan su tarea a tiempo, hay un 80% de probabilidades de que
obtengan una buena calificación en la clase. Si completan su tarea durante la clase o con
retraso, tienen un 30% de probabilidades de obtener una buena calificación en la clase. Si
no completan su tarea, solo tienen un 5% de probabilidades de obtener una buena
calificación en la clase. En una clase determinada, 50% de los alumnos completan su tarea
a tiempo, 40% la completan durante la clase, y 10% no completan su tarea. Si
seleccionáramos un alumno al azar, ¿cuáles son las probabilidades de que obtenga una
buena calificación?
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C
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Respuestas
1.
Ocho atuendos distintos.
2.
Seis desayunos.
=
=
2
6
2
8
=
1
4
1
3
3.
1⋅1
3 2
4.
1
2
(ver el diagrama del Ejemplo 2)
5.
6
36
= 16
6.
a:
5
12
7.
2
5
8.
3
5
9.
2
5
10.
2
5
11.
1
12
12.
9
3
24 = 8
13.
7
24
14.
2
9
15.
2
5
16.
1
3
17.
11
32
18.
P(B) =
19.
5
11
18 , 18
21.
0.34
22.
0.525
1
6
b:
,
2
18
1
12
20.
0.32
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5
9
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Capítulo 3
VALOR ESPERADO
3.1.5
En la Lección 3.1.5, los alumnos investigan el concepto de valor esperado analizando
distintos juegos. Finalmente, los alumnos desarrollan una fórmula para calcular el valor
esperado. Es importante tener en cuenta que a veces los alumnos creen que el valor
esperado debe ser uno de los resultados posibles de un juego o situación. Esto no es así.
El valor esperado nos dice cuál es el resultado promedio que se espera de una jugada al
jugar varias veces el juego.
Para más información sobre valores esperados, consulta el recuadro de Apuntes de
matemática de la Lección 3.2.1.
Ejemplo 1
3
La rueda de la derecha está dividida en distintas secciones, a cada
una de las cuales se le ha asignado una puntuación. Las tres
secciones más pequeñas son congruentes. Si hicieras girar la rueda
100 veces, ¿cuántas veces esperarías obtener cada uno de los
distintos puntajes? ¿Cuál es el valor esperado de esta rueda?
1
6
2
El ángulo de cada sector es lo que determina las probabilidades de que la rueda se detenga en
esa región. Por lo tanto, las probabilidades de que se detenga en el 6 son de 12 porque esa
región constituye la mitad de la rueda. La otra mitad del círculo está dividida en tres partes
iguales, cada una de las cuales constituye 16 de la rueda ( 13 de 12 ). Ahora que conocemos las
probabilidades podemos determinar cuántas veces esperaríamos obtener cada valor. Ya que las
probabilidades de obtener 6 puntos son de 12 , esperaríamos que la rueda se detenga en el 6 50
de cada 100 veces (la mitad). De igual forma, ya que las probabilidades de obtener 1 punto (o
2 o 3) son de 16 , esperaríamos obtener esos valores con aproximadamente 16 de cada 100 giros,
o unas 16 o 17 veces. Si la cantidad total de giros es 100, podemos esperar que, en promedio,
50 de ellos nos den 6 puntos, 16 23 nos den 1 punto, 16 23 nos den 2 puntos, y 16 23 nos den 3
puntos (nota: estas son estimaciones, no valores exactos o garantizados). Dados estos valores,
después de hacer girar la rueda 100 veces, el jugador tendría aproximadamente
50(6) + 16 23 (1) + 16 23 (2) + 16 23 (3) = 400 puntos.
Si el jugador obtiene 400 puntos después de hacer girar la rueda 100 veces, entonces, en
promedio, obtuvo 4 puntos por cada giro. Entonces, el valor esperado de cada giro será de 4
puntos. Nota: 4 puntos es el valor esperado de la rueda, a pesar de que NO es uno de los
resultados posibles.
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Ejemplo 2
Una cuadrícula de 3 × 3 compuesta por nueve cuadrados congruentes ha sido
pintada de varios colores. Seis de los cuadrados pequeños fueron pintados de
rojo y tres fueron pintados de azul. Por $1.00 un jugador puede arrojar un
dardo a la cuadrícula. Si el jugador golpea un cuadrado azul, ganará $2.00.
¿Es este un juego justo? Justifica tu respuesta.
A
A
A
R
R
R
R
R
R
Un juego “justo” es un juego en el que el valor esperado es 0, porque esto significa que, en
promedio, el juego no favorece al jugador ni a la persona que dirige el juego. Para decidir si este
juego es justo debemos calcular su valor esperado.
El valor esperado se obtiene sumando los productos de los montos que pueden ser ganados y las
probabilidades de ganarlos. En este problema, cada juego cuesta $1.00. Si el dardo golpea un
cuadrado rojo, el jugador pierde $1.00 (el valor es–1). Las probabilidades de golpear un
cuadrado rojo son de 96 = 32 . Sin embargo, si el jugador golpea un
cuadrado azul, recibe $2.00 y gana solo $1.00 (porque pagó $1.00
para jugar). En función de los cálculos de la derecha, el valor
esperado es − 13 . Por lo tanto, este no es un juego justo; favorece a
la persona que dirige el juego.
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Capítulo 3
Problemas
Las ruedas dadas a continuación tienen distintos puntajes en cada una de sus regiones. ¿Cuál es
el valor esperado de cada rueda? (Asume que las regiones que parecen ser congruentes lo son).
1.
2.
3.
1
2
5
3
3
4
2
6
4.
6.
2
2
3
8
3
5
7.
6
5.
1
2
3
9
3
1
4
6
Por $0.40 un jugador recibe un dardo para arrojar a una diana que
se ve como la figura de la derecha. La diana es un cuadrado con
lados de un pie de largo. El círculo se encuentra en el centro y
tiene un diámetro de seis pulgadas. Por cada dardo que golpea el
interior del círculo, los jugadores obtienen $0.75. ¿Es este un
juego justo? Justifica tu respuesta.
Respuestas
1.
2.5
2.
4
3.
3 23
4.
3
5.
5.5
6.
4.75
7.
No es justo porque el valor esperado es aproximadamente −$0.25 .
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TANGENTE – RAZÓN DE LA
PENDIENTE (TRIGONOMETRÍA)
3.2.1 – 3.2.5
En la segunda sección del Capítulo 3, se exploran distintos triángulos de pendiente de una
recta o segmento dados. En cada recta, la pendiente permanece constante sin importar
dónde se dibuje el triángulo de pendiente o cuál sea su tamaño. Todos los triángulos de
pendiente de una misma recta son semejantes. Estos triángulos de pendiente semejantes
permiten a los alumnos escribir proporciones para calcular las medidas de lados y
ángulos. Esta razón de la pendiente constante es lo que se conoce como relación
(trigonométrica) tangente. Más adelante en esta sección, usaremos el botón de tangente
de las calculadoras para calcular medidas en problemas prácticos.
Para más información sobre los ángulos de pendiente y la razón tangente, consulta los
recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 3.2.2, 3.2.4, y 3.2.5.
Ejemplo 1
y
La recta de la derecha atraviesa el origen. Dibuja tres
triángulos de pendiente distintos para esta recta. ¿Cuál
es la razón de la pendiente, ΔΔyx , de cada triángulo? ¿Qué
es verdad sobre todas las razones?
Nota: Δx (delta x) y Δy (delta y) se leen como “cambio en
x” y “cambio en y.”
x
Un triángulo de pendiente es un triángulo rectángulo
cuya hipotenusa se encuentra sobre la recta que lo
contiene. Esto significa que los dos catetos del triángulo
son paralelos a los ejes: uno es vertical y el otro
horizontal. Podemos dibujar una cantidad infinita de
triángulos de pendiente, pero siempre es más fácil
dibujar triángulos cuyos vértices sean puntos de
intersección con la red (es decir, que tengan coordenadas
enteras). La longitud del cateto horizontal es ∆x y la
longitud del cateto vertical es ∆y. A la derecha se
muestran tres posibles triángulos de pendiente. En el
triángulo más pequeño, ∆x = 3 (la longitud del cateto
horizontal), y ∆y = 2 (la longitud del cateto vertical).
Entonces, ΔΔyx = 23 .
En el triángulo mediano, ∆x = 6 y ∆y = 4, lo que significa que
y
x
Δy
Δx
= 64 .
Finalmente, las longitudes del triángulo más grande son ∆x = 15 y ∆y = 10, así que
Δy
Δx
.
= 10
15
Estas razones de pendiente son todas equivalentes, así que sin importar
dónde se dibujen los triángulos de pendiente de esta recta, la razón de
pendiente siempre permanece constante.
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43
Capítulo 3
En la Lección 3.2.2, los alumnos unen razones de pendiente específicas con los ángulos
correspondientes y registran lo que aprendieron en un Organizador gráfico de tablas de
trigonometría (Página de Recursos de la Lección 3.2.2). Usarán esta información para hallar las
longitudes de lados desconocidos y las medidas de los ángulos de triángulos rectángulos. En la
Lección 3.2.4, los alumnos aprenderán a usar el botón de tangente de sus calculadoras para
calcular estas razones y hallar información faltante.
Ejemplo 2
Escribe una ecuación y calcula la longitud del lado faltante de cada triángulo usando la función
tangente de tu calculadora.
a.
b.
22
q
20°
w
62°
9.6
Al usar el botón de tangente de una calculadora en estos problemas, debes asegurarte de que la
calculadora se halle en modo DEG y no en modo RAD. Ya que sabemos que la razón de la
pendiente depende del ángulo, podemos usar la medida del ángulo y la función tangente de la
calculadora para hallar longitudes desconocidas en el triángulo.
La tangente del ángulo es la razón
ecuaciones de abajo.
Punto (a):
tan 20° =
22
w
cateto opuesto
.
cateto adyacente
Esto nos permite escribir y resolver las
Punto (b):
w tan 20º = 22
w=
22
tan 20°
q
tan 62° = 9.6
(
cateto opuesto
cateto adyacente
)
9.6(tan 62°) = q
q ≈ (9.6)(1.88) ≈ 18.05
w ≈ 60.44
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Ejemplo 3
Talula está parada a 117 pies de la base del Monumento a
Washington, en Washington, D.C. Usó su clinómetro para medir el
ángulo de elevación hacia la cima del monumento y halló que era
de 78°. Si los ojos de Talula se encuentran a 5 pies y 3 pulgadas
del suelo, ¿cuál es la altura del Monumento a Washington?
x
5.25 pies
En todos los problemas que representan una situación cotidiana,
es útil dibujar un diagrama que represente el problema. Aquí
tenemos a Talula viendo hacia la punta de un monumento.
Sabemos a qué distancia del monumento se encuentra Talula,
conocemos la altura de sus ojos, y conocemos el ángulo de
elevación de su línea de visión.
Usamos esta información para dibujar el diagrama de la derecha.
Luego escribimos una ecuación usando la función tangente y hallamos x:
Sumamos la altura de los ojos de Talula al valor de x para hallar la
altura del Monumento a Washington y redondeamos la respuesta.
78°
117 pies
x
tan 78° = 117
117(tan 78°) = x
x ≈ 549.9 pies
549.9 + 5.25 ≈ 555.15, o aproximadamente 555 pies
Problemas
Dibuja varios triángulos de pendiente para cada recta. Luego calcula las razones de la pendiente.
y
y
1.
2.
x
x
y
y
3.
4.
x
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x
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45
Capítulo 3
Calcula las medidas de las variables. Puede que rotar el triángulo para que se asemeje a un
triángulo de pendiente te ayude. Si escribes una ecuación de tangente, resuélvela usando el
botón de tangente de tu calculadora, no tu Organizador gráfico de tablas de trigonometría.
Nota: algunos cálculos requieren que apliques el Teorema de Pitágoras. Al calcular longitudes,
redondea tu respuesta hasta la centena más cercana. Al calcular ángulos, redondea tu respuesta
al ángulo más cercano.
5.
z
6.
14
3.2
m
70°
28°
7.
210
33°
8.
c
48°
89
80
¡Cuidado!
y
9.
10.
w
15°
x
47
45°
12.25
11.
Una escalera forma un ángulo de 75° con la pared contra la que fue apoyada. La base de
la escalera se halla a 5.0 pies de la pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?
Escribe tu respuesta con el nivel adecuado de precisión.
12.
Davis y Tess se encontraban a 30 pies de distancia cuando Tess soltó un globo de helio,
que se elevó en línea recta (era un día sin viento). Después de 4 segundos, Davis usó su
clinómetro y calculó que el ángulo de elevación del globo era de 35°. Si los ojos de Davis
se hallan a 4 pies y 6 pulgadas del suelo, ¿cuál es la altura del globo después de
4 segundos? Escribe tu respuesta con el nivel adecuado de precisión.
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Respuestas
1. La razón de la pendiente es siempre
y
4
1
=4.
2. La razón de la pendiente es
y
5
5
=
y
5
3
= 33 = 11 .
x
x
3. La razón de la pendiente es
4
4
.
4. La razón de la pendiente es
y
1
4
.
x
x
5.
tan 28° = 14z , z ≈ 7.44
6.
tan 70º =
7.
tan 33º =
y
210
8.
c ≈ 119.67 (Teorema de Pitágoras)
9.
x = 12.25
10.
tan15° =
11.
tan 75° = h5 ; La escalera llega hasta
12.
h , h ≈ 21 + 4.5 ≈ 25.5 ;
tan 35° = 30
Después de 4 segundos el globo se halla
a unos 25.5 pies del suelo.
, y ≈ 136.38
una altura de unos 18.66 pies.
3.2
m
, m ≈ 1.16
w
47 , w
≈ 12.59
35°
75°
5 pies
4.5 pies
30 pies
Guía para padres con práctica adicional
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