ecuaciones polinómicas y racionales

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UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
Toda expresión en la que figuran números y letras relacionados con las operaciones de suma,
resta, multiplicación, división, radicación y potenciación se denomina expresión algebraica.
Ejemplos. 2x + 3 ; p4 + 5p3 – 2 ;
x2 + 3x
Si la expresión es tal que sus letras están relacionadas únicamente por suma, resta, multiplicación
y potenciación con exponente natural, se denomina Expresión Algebraicas Entera.
POLINOMIO.
Es una Expresión algebraica entera constituida por dos o más monomios. También llamados
términos del polinomio.
 Los Polinomios de un solo término se llaman monomios, los de dos términos son binomios, los de tres
términos son trinomios, los de 4 cuatrinomios, los de 5 polinomios de 5 términos y así sucesivamente.
2
Ejemplo: 3x2 y + axb
5
Aquellos términos que tienen la misma letra con los mismo exponentes, es decir, solo difieren en el valor
de sus coeficientes se denominan Términos o monomios semejantes.
Ejemplo: 5x2 , 2x2
3y3z
0,21 y3z
¾ y3z
Coeficiente
Es el valor numérico que normalmente precede cada término del monomio o el polinomio.
Ejemplo:
4 2
4
x ab  Coeficiente =
3
3
51yc3  Coeficiente = 51
Si en un término existen varios valores numéricos, su coeficiente será el resultado que se obtenga de
operar entre ellos.
Ejemplo: 3ab7c4 = 3.7abc4 = 21 abc4
El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo.
El término de más alto grado es el coeficiente principal. El coeficiente del término de grado cero recibe
el nombre de término independiente.
Grado
 De un Monomio: Está dado por la suma de los exponentes de los valores literales que lo constituyen.
3
2
to
Ejemplo: 2 a x = grado 5
 De un polinomio: Queda definido por el más alto grado del término que lo integra.
Ejemplo:
1
2 4
3
ab c – 0,5 a
3
(6to grado) (3er grado)  polinomio de 6to grado.
Ejemplo:
5
4
3
En el polinomio P(x) = 4 x + 3 x – 2 x –
resulta
1
x+1
2
Coeficientes

Grado

5
Coeficiente principal

4
Término independiente

1
4 , 3 , –2 , 0 , –
Valor numérico de un polinomio
Es el valor que toma el polinomio al sustituir la variable por cierto número
Así dado el polinomio P(x) = 2x 2 + 5 su valor numérico para x = -1 es P(-1) = 2 (-1)2 + 5 = 7
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Ordenamiento de un polinomio.
Un polinomio puede ordenarse en forma creciente o decreciente según una letra ordenatriz. El
ordenamiento será creciente si los exponentes de dicha letra ordenatriz van en aumento, y será
decreciente si los exponentes de dicha letra van en disminución.
 Un polinomio está completo cuando están todos los términos. Para completar un polinomio incompleto
se agregan los términos faltantes colocándoles cero en el coeficiente.
Igualdad de Polinomios
Dos polinomios son iguales sí y solo sí tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual
grado son iguales
Ejemplo: Calcular h sabiendo que P(x) = 2hx + 3 y Q(x) = 8x + 3 son polinomios iguales
Tienen el mismo grado, los coeficientes del término independiente coinciden.
Los coeficientes del término de grado 1 deben coincidir: 2h = 8 luego h = 4
Polinomios Opuestos
Son aquellos que tienen los términos del mismo grado con signos contrarios, es decir que la suma de dos
polinomios opuestos es igual al polinomio nulo. Se simboliza:
P(x) = -R(x) ò –P(x) = R(x)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Con los polinomios podemos realizar las siguientes operaciones matemáticas:
Suma:
Solo puede realizarse entre aquellos términos que son semejantes y su resultado será otro término
semejante a los dados cuyo coeficiente será la suma entre ellos.
Calculamos la suma de los polinomios p(x) = 3 x2 + 2 x + 1 y q(x) = 5 x3 – 7 x + 8
Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro. Si
falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos escribiendo dicho término con
coeficiente 0.
p(x)
+
q(x)
p(x) + q(x)
=
0 x3
+ 3 x2 + 2 x
=
5x
3
+0x
–7x
+ 8
=
5 x3
+ 3 x2 – 5 x
+ 9
2
+ 1
Resta:
Para realizar la resta entre dos polinomios la transformamos en una suma cambiándoles todos los
signos al polinomio sustraendo, es decir le sumamos el polinomio opuesto al polinomio sustraendo.
Calculamos ahora la resta de los polinomios p(x) = x5 + 2 x4 – 7 x3 + 8 y q(x) = x5 + 5 x4 – 4 x2 + 5.
Como antes para operar es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.
+
l
p(x)
q(x)
p(x) – q(x)
=
x5
+ 2 x4 – 7 x3 + 0 x2
5
= –x
=
0x
4
+0x
4
–7x
–5x
5
–3x
3
+4x
3
+4x
+0x +8
2
+0x –5
2
+0 x + 3
Observemos que obviamos los términos con coeficiente nulo, siempre supondremos que los
términos faltantes tienen coeficiente 0.
El resultado de la suma o la resta de dos polinomios puede ser el polinomio nulo o tener grado
menor o igual que el del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando.
grado (p  q)  máx (grado p ; grado q)
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Producto:
a) Productos de monomios.
Da como resultado otro monomio cuyo signo queda definido por la regla de los signos de la
multiplicación, su coeficiente será el producto de los coeficientes de los monomios dados, y los valores
literales lo formarán las letras de ambos monomios; los que se repiten van una sola vez sumando sus
exponentes.
Ejemplo: – 10 x3a . 7 x2ab = 70 x5a2b
b) Producto de un polinomio por un monomio.
Da como resultado otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término del polinomio que se
obtiene multiplicando cada término del polinomio por el del monomio dado, y efectuando en cada operación
todo lo indicado en el punto anterior.
Ejemplo: (8 x 4 + 6 x3 – 4) . (2 x2 ) = 16 x6 +12 x5 – 8 x2
c) Productos de Polinomios.
Da como resultado otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término de uno de los polinomios
por todos los términos del otro polinomio (propiedad distributiva), se efectuará luego la suma de aquellos
términos que son semejantes si los hubiera.
Ejemplo: p(x) = 7 x 3 – 5 x + 2
y
q(x) = 2 x 2 + 5 x – 1
p(x) . q(x) = (7 x3 – 5 x + 2) . (2 x2 + 5 x – 1) = 14 x5 + 35 x4 – 7 x3 – 10 x3 – 25 x2 + 5 x + 4 x2 + 10 x –
2
= 14 x5 + 35 x4 – 17 x3 – 21 x2 + 15 x – 2
Observemos que cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo grado
es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
grado (p . q) = grado p + grado q
División:
Recordemos que para números enteros podemos realizar el algoritmo de Euclides para la división, así, si
queremos dividir 7 por 4 obtenemos
Dividendo
Resto
7
3
4
1
divisor
Cociente
Se verifica que 7 = 4 . 1 + 3 , y el resto es siempre menor que el divisor.
Es posible realizar la división de polinomios en forma análoga a ésta.
a) Cociente de monomios.
Da como resultado otro monomio cuyo signo será de acuerdo a la regla de los signos de la división, con un
coeficiente que será el resultado de los coeficientes de los monomios dados y su valor literal se obtendrá
restando lo exponentes.
6
Ejemplo:
4
35 x : 7 x = 5 x
2
b) División de un polinomio por otro polinomio.
Dado un polinomio llamado dividendo D(x), ordenado según las potencias decrecientes de una letra
ordenatriz; y otro polinomio llamado divisor d(x); se llamará cociente o resultado C(x) a un polinomio o
monomio tal que multiplicado por el divisor mas el polinomio o monomio llamado resto R me da como
resultado el dividendo.
D(x)
R
d(x)
C(x) => C(x) . d(x) + R = D(x)
.
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Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de la división entre a(x) = 8 x4 + 6 x3 – 4
8x
+
+
4
+6x
3
2
–4
2x
– 8 x4
0x
4
b(x) = 2 x2 .
y
4 x2 + 3 x
3
+6x –4
– 6 x3
2
C (cociente) = 4 x + 3 x
R (resto)
= –4
0 x3 – 4
Ejemplo:
Hallar el cociente y el resto de la división entre
6x
+
–6x
4
4
– 4x
+ 3x
3
3
3
– x
+
+
x
3
+3x
2
a(x) = – 4 x3 + 3 x2 + 6 x4 – 5
+0x–5
2
+6x
2
b(x) = – x + 2 x2
2
2x – x–1
2
+3x
y
3x
– 1 x + 11
2
4
+0x
2
– 1 x – 1 x
2
2
11 2
1
x –
x – 5
2
2
2
cociente: C(x) = 3 x
resto:
r(x) =
2
– 11 x + 11 x + 11
2
– 1 x + 11
2
4
9
x– 9
4
4
4
4
9
9
x –
4
4
Procedimiento para la División de Polinomios.
1) Se ordena dividendo y divisor según las potencias decrecientes de una misma letra ordenatriz
2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor obteniéndose el primer
término del cociente o resultado
3) El cociente hallado se lo multiplica por todos los términos del divisor y se lo resta (resta significa
cambiar de signo a cada producto) al dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo
4) Se divide el primer término del nuevo dividendo por el primer término del divisor obteniéndose el
segundo término del cociente o resultado
5)
6) La operación se continúa en la misma forma hasta que el nuevo dividendo sea de grado inferior al del
divisor en la letra ordenatriz con lo que pasará a ser el resto de la división.
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Si al realizar la división entera entre D(x) y d(x) el resto es nulo, decimos que D(x) es divisible por
d(x) , o que d(x) divide a D(x) . En este caso, podemos expresar a D(x) como
D(x) = d(x) . C(x) .
Ejemplo: Aplicando el algoritmo de la división se obtiene que:
20 x5 + 7 x4 – 3 x3 – 24 x2 + 6 x = (5 x3 + 3 x2 – 6) . (4 x2 – x)
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Regla de Ruffini
Para el caso particular en que el divisor es un binomio de 1º grado de la forma (x + a) o (x – a), el cociente
y el resto pueden obtenerse aplicando la llamada Regla de Ruffini.
.
Los coeficientes del cociente se obtienen así:

El 1º coeficiente es igual al 1º coeficiente de D

Cada uno de los términos sucesivos coeficientes es igual al coeficiente siguiente de D mas el producto
del coeficiente anterior de C, por (– a), (es decir el opuesto de a)

El último numero así obtenido es el resto de la división.
División convencional
3 x3 + 7 x2 + 6 x –1
3
–3x –6x
+
2
Regla de Ruffini
x+2
3x +x+4
–2
2
x + 6 x -1
– x2 – 2 x
+
6
–1
–6
–2
–8
1
4
–9
3
2
4 x –1
C (cociente) = 3 x + x + 4
R (resto) = – 9
C (cociente) = 3 x2 + x + 4
R (resto) = – 9
– 4 x –8
+
7
3
2
–9
Observaciones:
1.- Para aplicar la regla de Ruffini es indispensable ordenar y completar el polinomio dividendo.
2.- El grado del polinomio cociente, es una unidad menor que el grado del polinomio dividendo.
Teorema del resto
Para El resto de la división de un polinomio por otro de la forma (x + a) o (x – a), es el valor que resulta de
reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al termino independiente del divisor.
Ejemplo: Dados P = 3 x3 + 7 x2 + 6 x –1 y Q = x + 2 El resto de la división P : Q, se obtiene:
P (–2) = 3(–2)3 + 7 (–2)2 + 6 (–2) – 1 = – 24 + 28 – 12 – 1 = – 9 . El resto de la división es – 9
POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS
Potencia de monomio
Para resolver la potencia de un monomio se debe aplicar la propiedad distributiva de la potenciación
respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia.
Ejemplo:
a) (2x)4 = 24.x4
b) (–3 x3 )2 = ( –3)2 . (x3)2 = 9x6
Cuadrado de un binomio
Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un trinomio cuadrado perfecto
ab
a
2
Si aplicamos la definición de potencia y luego propiedad distributiva tenemos que:
2
2
2
b
2
(a+b) = (a+b) . (a+b) = aa + ab + ba + bb = a + 2ab + b
ab
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de un binomio
Trinomio cuadrado perfecto
b
a
Regla Práctica: “El cuadrado del primer término mas el doble producto del primer término por el segundo
mas el cuadrado del segundo término.”
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Ejemplo:
2
2
2
2
(x+3) = (x+3).(x+3) = xx + x3 + 3x + 3.3 = x + 2.x.3 + 3 = a + 6x + 9
Cubo de un binomio
Al elevar un binomio al cubo se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto
Si aplicamos la definición de potencia y luego propiedad distributiva tenemos que:
3
2
2
2
2
2
2
(a+b) = (a+b) . (a+b) . (a+b) = (a+b) . (a+b) = (a + 2ab + b ) . (a+b) = a .a + a .b +2aba + 2abb + b .a +
b2.b
= a3 + a2.b + 2a2b + 2ab2 + b2.a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
cubo de un binomio
cuatrinomio cubo perfecto
Regla Práctica: “El cubo del primer término mas el triple producto del cuadrado del primer término por el
segundo mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo mas el cubo del segundo
término.”
Ejemplo:
(x+4)3 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = x3 + 12x2 + 48x + 64
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
1 - Clasifiquen de acuerdo al número de términos e indique el grado, coeficiente principal, término
independiente, luego completen y ordenen cada uno de los siguientes polinomios.
a)
3
2
4x – 1 + 3x =
b)
x5
6
+ x =
2
c)
–2x + 3x –
d)
–
3
2 2
x =
3
1
1
(x–4)+
( 4 – x + x3 ) =
3
2
2 - Clasificar las siguientes expresiones algebraicas en Enteras o No enteras
a)
(5 - x 2 )
3x
d) 2.(x – 3) + 5y2x –
b) x3 + 2x –
c)
1 2
x
4
e) 16x  x 1
x
y2
2xy
3 (x - 5)
f)
3 x2  5
3 - Dados los siguientes polinomios:
V  2x 4  3x 3  x 2
N
1 4 1 3 2
x   x
2
4 2
Q  3x 2  2x 
Y  3x  1
R  2x  2
1
4
P  4x 2  1
Hallar
b) Q – P + R =
c) Q : Y =
a) V + Q + N =
b) P . Y =
4 - Hallar el cociente y el resto de la siguiente división aplicando el algoritmo de la división.
5
2
4
3
3
( 2x + x + x - 3x ) : ( 1 – x + x ) =
5 - Hallar el cociente y el resto aplicando regla de Ruffini. Verificar aplicando Teorema del Resto.
a) (6x + 7x2 + 3x3– 1 ) : ( x + 2 ) =
b)
(4 – 3x + 5x2 ) : ( x – 3 ) =
c)
(3.x3 + 2.x2 – x – ½) : (x + 2)
d)
( x + x – x – x) : (x – 1)
e)
(–x + 3 – x – x ) : (x – 2)
7
5
3
3
5
7 - Resolver las siguientes potencias
a)
3x  22
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
b)
5  4x3 
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8 - Efectuar las siguientes multiplicaciones:
a)
 2m n  3m n
b)
a
c)
  9m n  3m
3
2
2 2


 5 . 0,2mn2 

 ax  x 2 .  a  x  
2
3


 2n3  5mn2 . 2m3 n 2  2m 5  3m 4 n  m 2 n 3 
9 - Decir cuáles de la siguientes proposiciones son valederas, justificar la respuesta:
a) El opuesto de un polinomio es único.
b) Si a un polinomio le sumamos el polinomio nulo obtenemos su opuesto.
c) El polinomio nulo es neutro para el producto de polinomios.
d) El polinomio que es neutro para el producto no tiene grado.
3
e) x + 1/x + 3 es un polinomio de 3° grado.
f)
Si a un polinomio le sumamos su opuesto obtenemos el polinomio nulo.
g) x–1 + x–2 + x4 no es un polinomio.
10 - Como aplicación de la suma, resta y multiplicación de polinomios determina:
a) La expresión que indica la superficie y el perímetro de las siguientes figuras planas
2x + 3
3 + 5x
6x–2
2x + 3
4x
b) La expresión que indica el volumen de los siguientes cuerpos
4x – 2
x+5
8x
5x
x
5+x
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2x
xx––1 1
3x
5–2x
3x
3x+2+2
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