0 , ≠ Acon A AA λˆ = A A = forma: D mA nB pC = + +


VECTORES EN
ESCALAR.
3 .
PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. APLICACIONES DEL PRODUCTO
ING. MARTA LIDIA MERLOS ARAGÓN
.
Resumen.
Los vectores son de vital importancia para el estudio de la Estática, la Dinámica, Mecánica de los Fluidos,
Electricidad y magnetismo, entre otras aplicaciones a la Física y a la Ingeniería. También son aplicables al área
de la Economía. En un taller anterior estudiamos la definición de vector, sus características, un poco de su
historia, su importancia, métodos para sumar vectores y sus propiedades, el producto de un escalar por un vector,
expresar un vector como la combinación lineal de otros do n  , dependencia e independencia lineal entre
vectores. En este estudio se analizan llos vectores en un espacio de tres dimensiones. Se definirán los productos
2
escalar y vectorial en
3
y se detallaran algunas aplicaciones del producto escalar.
Iniciaremos recordando el Producto de un escalar por un vector. El producto de un vector
escalar k es un vector
k A , con una magnitud k
veces la magnitud del vector
A
A
por un
y con igual sentido si
k es positivo, y con sentido opuesto si k es negativo.
VECTOR UNITARIO.
Es aquel vector cuya magnitud es igual a la unidad.
A cualquier vector
vector
A , con A  0 ,
se le puede asociar un vector unitario denotado por
A , tal que A  A ̂ A . Es decir: ̂ A 
̂A , paralelo al
A
A
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Teorema. Cualquier vector
C
en
3 , puede ser expresado como una única combinación lineal de tres
A , B y C tal que no sean ni paralelos entre sí, ni nulos, ni paralelos a un mismo plano, en la
D  mA  nB  pC , en donde m , n y p son escalares.
vectores
forma:
VECTORES UNITARIOS EN DIRECCIÓN DE LOS EJES X,Y e Z.
Existen tres vectores que son perpendiculares entre sí y de magnitud igual a 1. Uno de ellos es paralelo
al eje x, dirigiéndose hacia la parte positiva del mismo, y se denota por
dirigiéndose hacia la parte positiva de él y se denota por
hacia la parte positiva del mismo, y se denota por
ĵ
iˆ ,
el otro es paralelo al eje y
y un tercero, paralelo al eje z, dirigiéndose
k.
Eje z
Figura 1
Eje y
VECTOR
DE
Eje x
POSICIÓN EN EL
1
ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
Todo vector que une un punto del espacio tridimensional con el origen de él, P (0,0,0) se denomina
vector de posición.
Eje z
OP.
Eje y
Eje x
Figura 2
Teorema. “Cualquier vector
V en tres dimensiones, puede ser escrito como una combinación lineal de
los vectores unitarios iˆ , ĵ , k
en la forma V  m iˆ  n ˆj + p k ”. Los escalares m,n y p se
denominan componentes rectangulares del vector V .
Módulo de un vector en
Proyectemos el vector
3 : representa el tamaño del vector. Observemos lo siguiente:
V en el plano “xy”, tirando una perpendicular a dicho vector resultando el vector
M tal como se muestra en la figura siguiente:
Eje z
Figura 4
V
Eje y
Eje x
M
2
En el plano “x y” tenemos:
:
Notando que en el triángulo OAP formado en el plano “xy” tenemos que la magnitud del vector
M
M 
es la hipotenusa de dicho triángulo, por lo que utilizando el teorema de Pitágoras podemos escribir:
M 
Vx 2  Vy 
2
.
V  M  Vz 2
2
Luego la magnitud del vector
, obteniendo:
V 
Vx 2  Vy 2  Vz 2
Definición. La magnitud o módulo de un vector en tres dimensiones se calcula como la raíz
Cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector.
Es decir:
V 
Vx 2  Vy   Vz 2
2
3
Dirección de un vector en
3 .
La dirección de un vector en  se puede indicar de dos formas:
a) Mediante un vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector involucrado. Teniendo
3
en cuenta que, como hemos dicho anteriormente:
misma dirección y sentido que el vector
ˆV 
Luego:
V
ˆA 
se tiene:
V
V
ˆV 
, donde
̂V
es un vector unitario en la
Vx i  Vy j  Vz k
V
Vx i Vy j Vz k


V
V
V
ˆV 
Vx i
Vx 2  Vy   Vz 2
2

Vy j
Vx 2  Vy   Vz 2
2

Vz k
Vx 2  Vy   Vz 2
2
b) Mediante la ubicación de los ángulos que hace el vector en análisis, con la parte positiva de los
ejes x, y e z. Dichos ángulos reciben el nombre de ángulos directores del vector involucrado y se
denotan por  ,  ,  ; respectivamente.
Eje z
V
Eje y
Eje x
Figura 9.
4
De la figura 9, observe que:
En forma similar
cos  
cos  
Vx
V
Vz
V
.
cos  
Vy
V
cos α, cos β y cos γ reciben el nombre de cosenos directores del vector
son los ángulos directores de dicho vector.
V
Comparemos las expresiones de los cosenos directores del vector
̂V 
Vx i Vy j Vz k


V
V
V
, podemos observar que
ˆVx 
Vx
V
,
ˆVY 
Vy
y
V
y los ángulos
V
ˆVZ 
,  y 
con la expresión
VZ
V
Por lo que podemos afirmar que:
“Todo vector formado con sus cosenos directores es un vector unitario, en la misma dirección
y sentido que dicho vector”. Ya que
ˆV 
Vx i Vy j Vz k


V
V
V
Se tiene:
Por
ˆV 
la
definición
de
vector
unitario
se
ˆV  cos i  cos  j  cos  k
tiene
que:
 1
V
y
por
otro
lado:
cos 2  cos  2  cos  2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación tenemos:
Relación entre los cosenos directores de un vector.
cos2   cos2   cos2   1 .
cos2   cos2   cos2   1 .
Ejemplo.
Calcule un vector unitario paralelo al vector cuyos dos de sus ángulos directores son
  120
0
Solución.
  600
y
.
cos2   cos2   cos2   1 luego cos2   1  cos2   cos2 
cos   1  cos2   cos2 
por lo que:

 
cos   1  cos 600  cos135
2
0

2
cos   0.25  0.5
Luego existen dos vectores unitarios que son paralelos al vector cuyos dos de sus ángulos
directores son
  600
y
  1350 . Dichos vectores son:
Solución 1:
ˆV  cos600 i  cos1350 j  0.5 k  0.5 i  0.707 j  0.5k
Solución 2:
ˆV  cos600 i  cos1350 j  0.5466 k  0.5 i  0.707 j  0.5k
5
Producto escalar entre dos vectores
A
y
B.
El producto escalar, producto interno o producto escalar de dos vectores
origen común, el cual se denota como
A . B se
A
y
B , colocados con
define como el producto de las magnitudes de los
vectores A y B , multiplicados por el coseno del menor ángulo   que forman dichos vectores entre
sí.
Dicho ángulo está comprendido entre 0| y 180°, es decir entre 0 y 
radianes,
0    180 ó 0     radianes. Es decir: A . B  A
0
B cos .
A partir de la definición, tenemos que el producto escalar da como resultado un número real o escalar, de
allí su nombre. Notemos que:
a)
A. B
b)
A . B  0 si 
c)
es un número positivo si
0    90  ó  0    2 radianes
0




 900 ó   radianes
2





A . B es un número negativo si 900    1800  ó      radianes
2

Teorema.: “Dos vectores
cero”.
A
y
B
son perpendiculares si y sólo si, su producto escalar es igual a
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR ENTRE DOS VECTORES
A
y
B.
Notemos que el producto escalar no cumple la ley de cierre, ya que el resultado es un escalar.
1) Propiedad Conmutativa.
A
.
B  B. A
ya que por definición:
A . B  A B cos
y
B . A  B A cos
2) Propiedad distributiva:
A . (B  C )  A . B  AC
.
3) Propiedad asociativa respecto a un escalar:
4) Norma de un vector:
A .A  A A cos0  A
 mA . C  A . m C   m  A . C 
2
El cuadrado de un vector se interpreta como el producto escalar de un vector por si mismo y representa
el cuadrado de la magnitud y recibe el nombre de norma del vector.
6
Producto escalar entre dos vectores A y B
en 2 .
El producto escalar, producto interno o producto escalar de dos vectores A y B en 2 ,
colocados con origen común, el cual se denota como A . B se define como el producto de las
magnitudes los vectores A y B , multiplicados por el coseno del menor ángulo   que forman
dichos vectores entre sí. Dicho ángulo está comprendido entre 0| y 180°, es decir entre 0 y 
radianes, 0    1800 ó 0     radianes.


Teorema. A partir de la definición, tenemos que: “Dos vectores A y B son perpendiculares si
y sólo si, su producto escalar es igual a cero”.
Producto escalar entre dos vectores A y B en 2 , donde los vectores A y B expresados
en función de sus componentes rectangulares.
Sean A  a x iˆ  a y jˆ y B  b x iˆ  b y jˆ , entonces el producto escalar de dichos vectores en 2
Se define como: A . B  a x b x  a y b y .
Ángulo formado entre los vectores A y B colocados con origen común.
Tenemos que. A . B  A B cos y A . B  a x b x  a y b y . Luego:
A . B  A B cos  a x b x  a y b y , por lo que cos 
a x bx  a y by
A B
a b a b 
 x x
y
y 



A B


luego:   arc cos
Producto escalar entre dos vectores A y B en
en términos de sus componentes rectangulares.
Sean
A  axiˆ  ay ˆj  az k
y
3 , donde los vectores A
y
B
expresados
B  bxiˆ  by ˆj  bz k , entonces el producto escalar de dichos vectores en
3 se obtiene de la siguiente forma:
A . B  axbx i.i  axby i. j  ax bz i.k  aybx j. i  ayby j. j  aybz j.k  azbx k.i  azby k. j  azbz k .k
 
 
 
 
 
 
 
 
7
 
Como
i  j; j k
2
j. j  j  1
e
i k ,
entonces
2
y
k.k  k  1
j. k  0
i. j  0 ,
i.k 0.
y
2
Además
i.i  i  1,
A . B  axbx  ay by  az bz .
obtenemos que
“El producto escalar de dos vectores se calcula como la suma de los productos de sus respectivas
componentes”.
Aplicaciones del producto escalar entre dos vectores.
I) Ángulo formado entre los vectores
Tenemos que.
A . B  A B cos
A
y
y
B
colocados con origen común.
A . B  axbx  ay by . Luego:
A . B  A B cos  axbx  ay by  azbz , por lo que cos 
Luego:
axbx  ay by  azbz
A B
a b a b a b 
x x
y y
z z 

A B


  arc cos
Obtención de la fórmula de los cosenos directores de un vector
entre dos vectores.
V
De la figura anterior se puede observar que los ángulos directores
utilizando el producto escalar
,  y 
que forma el vector
con la parte positiva de los ejes x, y, z; son los mismos ángulos que hace el vector
vectores unitarios
( I ):
(II)


i  1 ; luego: i . Vx i  Vy j  Vz k  V cos 
Vx  V cos
j.V  j V cos  , pero
Teniendo:
con los
iˆ , ĵ , k , por lo que tenemos:
iV
.  i V cos , pero
Teniendo:
V
V,
por lo que
cos  
Vx
V


j  1; luego: j . Vx i  Vy j  Vz k  V cos 
Vy  V cos 
por lo que
cos  
Vy
V
8
( III )
k.V  k V cos  , pero
Teniendo:
Vz  V cos 


k  1; luego: k . Vx i  Vy j  Vz k  V cos 
por lo que
cos  
Vz
V
II) Proyecciones.
i)
ProyB
Proyección escalar de un vector sobre otro.
A

A .B
ProyA
B
La Proyección escalar de un vector
A
sobre un vector
B

A .B
A
B , denotado por ProyB
A
se calcula efectuando
el cociente entre el valor absoluto del producto escalar de los dos vectores involucrados y la magnitud
del vector donde cae la proyección”. Es decir:
ProyA
B

ProyB
A

A .B
y
B
A .B
A
9
ii) Proyección vectorial o vector proyección de un vector
ProyB
A

A .B
B
.B 
A .B B A .B
. 
.B
2
B B
B
ProyA
B
A

sobre un vector .
A .B
A
.A 
A .B A A .B
. 
.A
2
A A
A
III) Demostraciones Geométricas utilizando producto escalar entre dos vectores.
1) Probar la ley del coseno: “En todo triángulo de lados a,b,c y ángulo opuesto  al lado c, se cumple
que:
c 2  a 2  b 2  2 a b cos ”
c  ba
Tenemos que c.c  b  a b  a  b .b  b .a  a.b  a .a
De la figura:



c . c  b .b  2 b .a  a .a
2
2
c  b  2 b .a  a
2
2
c  b  2 b . a cos  a
2
2
. Luego:
2
2
2
c  a  b  2 a . b cos
L.Q.Q.D
10
2) Demostrar que el segmento de recta que une el vértice de un triangulo isósceles con el punto medio de
su base es perpendicular a la base.
AB .
P es el punto medio del lado
Por definición de triángulo isósceles:
h  AB  0
AB  b  c
h  PA  AC
1
h   AB  AC
2
AC  CB . Debemos demostrar que h  AB .Es decir debemos
probar que
Luego:

h. AB  h . b  c
Es decir:
1
h   AB  b
2


 1

h. AB    AB  b  . b  c
 2

 1

h. AB    b  c  b  . b  c
 2







1
 1

h. AB    b  c  b  . b  c
2
 2


1 
1
h. AB   b  c  . b  c
2 
2




h. AB 
1
b c . b c
2
h. AB 
1
b .b bc
.  c .b  c.c
2



11

h. AB 
1
b .b 0  c.c
2
h. AB 
2
1 2
b 0c
2
h. AB 
2
2
1
b c
2





Por definición de triángulo isósceles:
bc
; por lo que:
h. AB 
1
 0  0 .
2
Conclusión: h. AB  0 , por lo que se demuestra que h  AB

2
2
1
b b
2

h. AB 
L.Q.Q.D
3) Demostrar el teorema de Apolonio: “En un triángulo de vértices ABC, en donde AD es la mediana del
lado BC. Se cumple que
AB2  AC2  2AD2  1 BC2 ”
2
Recordemos que mediana es la recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto.
Notemos
AC  b
AB  c ;
que:
y
BC  a
En el triángulo ABC tenemos que:


1
bc
2
1 1
AD  c  b  c
2 2
1 1
1
AD  c  b  c  b
2 2
2
AD  c 

 AD
2


1
AD  c  a .
2
Notemos que
a  b  c , por lo que:
 Luego:  AD   AD. AD   12 c  b  12 c  b

1
 1
  cb   cb
2
 2
2
  14 c.c  c.b  c.b  b.b
12
 AD
2
 
 
2
1 2
1 2 1
1 2
  c  2 c.b  b   c  c.b  b
 4
4 
2
4
Por otro lado
BC  a , por lo que: a  b  c
 BC  a  b  c
2
2
2
 BC   b  c  b  cb  c  b.b  b.c  b.c  c.c 
2
2
 
 BC 
2
2
  b  2 b.c  c 


Luego:
2 AD 
2
 
 
2
2 AD 
 
2
2 AD 
Como:
2
 
 
 
2
2
1
1 2 1 2
1 2 1
BC  2  c  c.b  b    b  2 b.c  c 

2
2
4  2 
4
 
 
 
2
1
1 2
1 2 1 2
1 2
BC  c  c.b  b  b  b.c  c
2
2
2
2
2
 
2
2
2
1
BC  c  b
2
AB  c
,
AC  b
tenemos que:
2AD 
2
1
BC2  AB2  AC2
2
L.Q.Q.D
IV) Trabajo realizado por una fuerza en la dirección del movimiento.
Figura 18
13
Un camión se transporta por la ciudad de San Salvador y “se queda” en la esquina del semáforo de la
Avenida Bernal con la Avenida Roosevelt. El motorista se baja y comienza a empujar el camión, logrando
empujarlo 10 metros, para no crear congestionamiento. Si empuja en la dirección del movimiento con una
fuerza constante de 300 Newton. ¿Cuánto trabajo realiza el motorista sobre el camión?. En este caso, el
motorista empuja el camión en la dirección en que quiere desplazarse. ¿Y si el motorista hubiera
empujado con un ángulo  respecto al desplazamiento del camión? Sólo la componente de la fuerza en
la dirección del movimiento del camión,
(300 Newton) cos  , sería efectiva para mover el camión.
Obsérvese que aunque actúen otras fuerzas, solamente nos interesa el trabajo realizado por el motorista,
así que sólo consideramos la fuerza que él ejerce.
Si la fuerza
ángulo

F
y el desplazamiento
s
tienen diferente dirección, y suponiendo que la fuerza
son constantes, tomamos la componente de la fuerza
desplazamiento
s
F
F
y el
en dirección del vector
y definimos el trabajo como el producto de esta componente por la magnitud del
desplazamiento. La componente en dirección del desplazamiento es
F cos  , por lo que
 W  F s cos  ( F es una Fuerza constante y el desplazamiento es rectilíneo).
Observe que si la fuerza F y el desplazamiento s tienen la misma dirección se tiene que   00 , por lo
que cos   1. Se habrá notado que la ecuación Trabajo  W  F s cos  , representa el producto
escalar entre los vectores fuerza F y desplazamiento s .
Definición. El trabajo realizado por una fuerza F se define como el producto escalar entre la fuerza F y
el desplazamiento s. Es decir W  F. s
Trabajo
Observe que:
a) Por definición de producto escalar, se tiene que el trabajo es una cantidad escalar, aunque se
calcule utilizando dos cantidades vectoriales (fuerza y desplazamiento).
b) El trabajo puede ser positivo, negativo o cero. Notemos que:
i) El trabajo es un número positivo, es decir
W F.s
componente en la dirección del desplazamiento, es decir
es un número positivo si la fuerza tiene una
0    90 
0
W  F . s es un número negativo si la fuerza tiene una
0
0
componente opuesta al desplazamiento, es decir 90    180 
iii)El trabajo es igual a cero, es decir , W  F . s es igual a cero, si la fuerza es perpendicular al
0
desplazamiento, siendo   90
ii) El trabajo es un número negativo, es decir
14
PRODUCTO VECTORIAL ENTRE DOS VECTORES
B , el cual se denota
A , perpendicular al vector B y
El producto vectorial, producto externo o producto cruz entre dos vectores
como A x B se define como otro vector perpendicular al vector
perpendicular al plano formado por dichos vectores.
El vector
A
B
x
A
se define como
x


B  A B sen u
A
donde
y
u
es un vector unitario
A , perpendicular al vector B , y perpendicular al plano formado por
dichos vectores. El ángulo  es el menor ángulo que forman los vectores A y B colocados con
0
origen común, por lo que  está comprendido entre 0° y 180°, es decir 0    180  y la magnitud del
vector A x B se calcula mediante la expresión A x B  A B sen .
perpendicular al vector
El vector A x B es perpendicular al plano formado por dichos vectores y presenta dos posibles
sentidos: saliendo del plano formado por los vectores o entrando a él. La dirección y sentido del vector
A x B se obtiene mediante la regla de la mano derecha: Imaginemos que giramos el vector A
alrededor de la línea recta perpendicular al plano formado por los vectores, hasta alinearlo con el vector
B , escogiendo el ángulo más pequeño de los dos posibles entre A y B . Coloque la mano derecha
extendida en el sentido del vector A con la palma dirigida hacia el vector B .Cierre la mano con la palma
extendida, alrededor de la perpendicular imaginaria, con las puntas de los dedos apuntando en la
dirección de rotación; el pulgar extendido le indica la dirección y sentido del vector A x B . La dirección
del producto cruz también es aquella en la que avanza un tornillo de rosca derecha (dextrogiro) si se gira
de
A
hacia
B.
En forma similar, determinamos la dirección del vector
B
x
A , girando B hacia A . El vector B
x
A
A x B . El producto vectorial no es conmutativo. Para cualesquiera dos
A y B se cumple que: A x B   (B x A )
es un vector opuesto al vector
vectores
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL ENTRE DOS VECTORES
A
y
B.
Notemos que el producto vectorial cumple la ley de cierre, ya que el resultado es otro vector.
1) Propiedad Anti-Conmutativa.
2) Propiedad distributiva:
A
x
B   (B
Ax A  0
A)
A x (B  C )  A .xB  A xC
3) Propiedad asociativa respecto a un escalar:
4)
x
mA x C  A x m C   m  A.xC 
(vector cero)
Observe que el módulo del vector
Teorema.: “Dos vectores A
al vector cero”.
y
Ax A
B
es igual a
A A sen 00  0
son paralelos si y sólo si, su producto vectorial es igual
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Demostración:
a) Probemos que si
cero”.
A
y
B
son paralelos entonces su producto vectorial es igual al vector
A es paralelo al vector B entonces existe un escalar m tal que A  m B
A x B  (m B ) x B
Sabemos que si el vector
Luego:
A
Por propiedades de producto vectorial:
Luego:
A
x
x
B  m (B
x
B)
B  m ( 0 )  vector cero
b) Probemos que si
A
x
B  vector cero entonces A
y
B
son paralelos.
B  vector cero con A  vector cero y B  vector cero, tenemos que
A x B  A B sen u , donde A  vector cero y B  vector cero,  es el ángulo entre los
Si
A
x

vectores y

u es un vector unitario 
ser igual al vector cero. Como
vector cero; por lo tanto el producto
A
B 
vector cero y
 A B sen  u
no puede
vector cero y
u es un vector unitario  vector cero, el único factor que puede hacer que el producto sea igual al vector
0
0
cero es el sen  y sen  0 si   0 ó si   180 lo que concluimos que A x B  vector cero si
A
es paralelo a
B.
Interpretación geométrica de la magnitud de
A
x
B
A
h

B
sen 
h
A
luego
h  A sen 
Teniendo que: área del paralelogramo
Luego:
 base x altura
área del paralelogramo  A B sen θ  AxB
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“El módulo o magnitud del vector producto cruz de los vectores
área del paralelogramo formado por dichos vectores”.
A
y
B
se interpreta como el
Producto vectorial entre los vectores unitarios
i x j k , j x k i
;
k xi  j
i x k   j ; j x i  k ; k x j  i
j x j 0
;
k xk 0 ; i xi 0
Producto vectorial entre dos vectores expresados en término de sus componentes rectangulares.
Sean
A  axiˆ  ay ˆj  az k
y
B  bxiˆ  by ˆj  bz k , entonces el producto vectorial de dichos vectores en
3 se obtiene de la siguiente forma:
AxB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
axbx ixi  axby ix j  ax bz ixk  aybx jx i  ayby jx j  aybz jxk  azbx kxi  azby kx j  az bz kxk
utilizando los resultados del Producto vectorial entre los vectores unitarios y sustituyendo apropiadamente
y posteriormente agrupando términos tenemos:
A xB   aybz  azby  i   axbz  azbx  j  axby  aybx  k
El producto cruz también puede expresarse en forma de determinante:
i
j k
A x B  ax ay az
bx by bz
Ejemplo. Sean los vectores
a los vectores
A
y
B
A  2iˆ  3 ˆj  4kˆ
y
B  3iˆ  2 ˆj  4k . Encuentre un vector perpendicular
y al plano formado por dichos vectores.
i j k
A x B  2 3 4 = 20iˆ  4 ˆj 13kˆ
3 2 4
BIBLIOGRAFÍA.

Física universitaria,
Educación.

Sears. Zemansky, Young y Fredman. Novena edición.Pearson
Algebra Vectorial y Matrices. Vectores y Geometría Analítica vectorial, Mario Eduardo
Escapini, UCA. El Salvador, C.A.
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