Apunte - Matemáticas - Aplicaciones de Ecuaciones Lineales

Álgebra
Ecuaciones Lineales
Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos
expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado de una
ecuación se conoce como solución o raíz. Si se quiere comprobar que el valor de la
raíz esta correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la
raíz.
Ejemplo:
X+8=3
X=3-8
X = -5
Comprobación:
X+8=3
(-5) + 8 = 3
3=3
Una ecuación que está en la forma
, donde a y b son constantes y
, es una ecuación lineal de la variable x. La solución de una ecuación
como esta es
.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Por ejemplo:
X - 2 = 10
X = 10 + 2
X= 12
X-6=6
X=6+6
X = 12
Ambas ecuaciones son equivalentes, porque su única solución es 12. Para
resolver una ecuación, usualmente se trata de cambiar o transformar ésta
en una ecuación equivalente. Esta transformación se puede hacer de la
siguiente forma:
•
•
•
sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada.
restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada.
multiplicando o dividiendo a ambos lados de la ecuación por cualquier
cantidad no igual a cero.
Por ejemplo:
Sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:
Restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:
Multiplicando a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a
cero:
Aplicaciones de Ecuaciones Lineales
Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por las siguientes
guías:
•
•
•
•
Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo
que se está buscando.
Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar.
Usualmente se utilizan las variables x y n.
Utilizar los datos dados para establecer una ecuación involviendo las
variables de los valores desconocidos.
Resolver la ecuación y cotejar la respuesta.
Ejemplos:
Ecuaciones Cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación de tipo
0, y en donde a, b y c son constantes.
, donde a >
Solución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante Factorización
Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de
factores lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable.
Por ejemplo,
es una ecuación factorizable porque puede ser
=
factorizada por los factores lineales (3x - 4) y (x + 2). O sea,
(3x - 4)(x + 2). Para resolver una ecuación mediante este método primero
. Luego se factoriza la
se escribe la ecuación en la forma
expresión en factores lineales. Y por último se determina el valor de x .
Como por ejemplo:
Solución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante Fórmula Cuadrática
)
Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar (
y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos
utilizar el método de la fórmula cuadrática, el cual usamos para parear los
coeficientes de
con a, el coeficiente de x con b y la constante con c. La
fórmula cuadrática es:
.
Pasos para Buscar las Raíces de una Ecuación Usando la Fórmula
Cuadrática:
1. Primero verificar que la ecuación esté en su forma estándar y
determinar los valores de las variables a, b y c.
2. Luego utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las
variables.
Por ejemplo:
Ecuaciones en Forma Cuadrática
Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden
resolverse por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si
primero se utiliza una sustitución apropiada. Como por ejemplo:
Desigualdades Lineales; Intérvalos
Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal
pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad
. Para
son
resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan
para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la
desigualdad 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3>x-8
3+8>x-8+8
11 > x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un
número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Ejemplo:
Intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes
símbolos:
1. Intervalo abierto (a, b) = {x/a x b}.
2. Intervalo cerrado [a, b] = {x/a
x
b}
En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con
un punto abierto ( ) y los de un intervalo cerrado se representan con un
punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:
Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos
abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando
se utilizan ambas denotaciones a la misma vez.
Por ejemplo:
Si tenemos (a, b], la gráfica sería:
Si tenemos [a, b), la gráfica sería:
Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números
reales mayores que a y se representan con la notación de intervalo (a, ). El
conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la
notación de intervalo (- , a).
Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y
otra negativa.
Por ejemplo:
| 10x - 2| 9
•
10x - 2 -9
10x -9 +2
10x -7
10x/10 -7/10
x -7/10
•
10x - 2 9
10x 9 + 2
10x 11
10x/10 11/10
x 11/10
http://www.loseskakeados.com