Campo Eléctrico

6 Campo eléctrico
Actividades del interior de la unidad
1. Con frecuencia, cuando dos cuerpos se frotan, adquieren cargas iguales de
signo opuesto. Explica qué sucede en el proceso.
La fricción hace que pasen electrones de un cuerpo al otro, quedando uno con un defecto de electrones y el otro con exceso del mismo número de ellos, por lo que las
cargas de ambos coinciden en valor absoluto y son de signo opuesto.
2. Calcula cuántos electrones en exceso tiene un cuerpo cuya carga neta es –50 nC.
Teniendo en cuenta el valor de la carga de un electrón, q = –1,6 · 10–19 C, resulta:
–50 · 10–9 C
N=
= 3,125 · 1011 electrones
–1,6 · 10–19 C
3. ¿A qué distancia deben colocarse en el vacío dos cargas de 2,5 µC para que se
repelan con una fuerza de 10 –3 N?
A partir de la expresión de la ley de Coulomb:
Q·q
F=K·
d2
Despejando y sustituyendo, obtenemos:
d=
√
K·Q·q
=
F
√
9 · 109 · (2,5 · 10–6)2
= 7,5 m
10–3
4. Dos cargas idénticas están separadas una cierta distancia r. Indica cómo varía
la fuerza mutua si:
a) Una de ellas reduce su carga a la mitad mientras la distancia de separación
se triplica.
b) Ambas cargas se duplican, pero la separación entre ellas también lo hace.
a) La fuerza de interacción entre las cargas en la situación inicial es:
Q·q
F=K·
d2
a) Pero al reducirse el valor de una de las cargas a la mitad (Q 4 = Q/2) y triplicarse la
distancia de separación entre ellas (d 4 = 3 · d ), resulta:
(Q /2) · q
Q·q
Q·q
Q4 · q
1
1
a) F 4 = K ·
=K·
·K·
=
·F
2 = K ·
2
2 =
2
(3 · d )
2·3 ·d
d2
18
18
d4
a) Es decir, al reducirse a la mitad una de las cargas y triplicarse la distancia entre
ellas, la fuerza se reduce a la dieciochoava parte de su valor inicial.
b) Si se duplica el valor de las cargas y de la distancia entre ellas, la fuerza no varía:
2·Q·2·q
4·Q·q
Q·q
Q 44 · q 44
F 44 = K ·
=K·
=K·
=K·
=F
(2 · d )2
4 · d2
d2
d 442
Unidad 6. Campo eléctrico
183
5. ¿Puede ser negativa la constante dieléctrica relativa de un medio? ¿Y su permitividad? ¿Por qué?
La constante dieléctrica relativa es la relación entre la constante dieléctrica (o permitividad) del medio y la correspondiente al vacío. Su valor es siempre positivo y mayor
que la unidad, pues cualquier medio dieléctrico interpuesto reduce la fuerza con la
que interaccionan las cargas en comparación con el vacío. No puede tomar valores
negativos, pues se incumpliría la ley de Coulomb, ya que las cargas del mismo signo
se atraerían y las de signo contrario se repelerían.
Lo mismo cabe decir del signo de la permitividad de cualquier medio dieléctrico.
6. Dos cargas idénticas positivas fijas están separadas 10 cm. ¿En qué punto o
puntos se anula la fuerza que el conjunto de ambas cargas ejerce sobre una
tercera carga positiva? ¿Y si esta es negativa?
La fuerza solo se anula en el punto medio de la línea que une ambas cargas, ya que
en ese punto las fuerzas que ejercen cada una de las cargas sobre la tercera tienen el
mismo módulo y la misma dirección pero sentidos opuestos. Si la carga es negativa,
ocurre lo mismo.
7. Las cargas q1 = –3 µC, q2 = 5 µC y q3 = 4 µC están colocadas en los puntos
A (0, 6), B (8, 0) y C (8, 6), respectivamente. Calcula la fuerza que actúa sobre
la carga q = –1 µC colocada en el origen de coordenadas (er = 1).
Calculamos, en primer lugar, el módulo de la fuerza que ejerce cada una de las cargas, q1, q2 y q3 sobre la carga q colocada en el origen de coordenadas, y, luego, calculamos las componentes cartesianas de cada fuerza, de acuerdo con la figura adjunta, donde hemos tenido en cuenta el signo de cada carga:
Y
q1 –
C
+ q3
A
d1
d3
F3
q
O
–
α
d2
F2
B
+q
2
X
F1
Para calcular el módulo de las fuerzas, utilizamos los valores absolutos de las cargas:
|q1| · |q|
3 · 10–6 · 1 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 7,5 · 10–4 N
d 12
62
|q | · |q|
5 · 10–6 · 1 · 10–6
F2 = K · 2 2
= 9 · 109 ·
= 7 · 10–4 N,5
d2
82
F1 = K ·
F3 = K ·
184
|q3| · |q|
4 · 10–6 · 1 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 3,6 · 10–4 N
d 32
102
Unidad 6. Campo eléctrico
Las componentes cartesianas de cada fuerza, de acuerdo con el dibujo de la página
anterior, son:
8
8
8
8
8
8
8
8
F1 = –F1 · j = –7,5 · 10–4 · j N ; F2 = F2 · i = 7 · 10–4 · i N
8
8
8
F3 = F3X · i + F3Y · j = F3 · cos a · i + F3 · sen a · j =
8
8
8 8
6 8
= 3,6 · 10–4 ·
· i + 3,6 · 10–4 ·
· j = (2,88 · 10–4 · i + 2,16 · 10–4 · j ) N
10
10
Por tanto, la fuerza resultante sobre la carga q es:
8
8
8
8
8
8
8
8
F = F1 + F2 + F3 = –7,5 · 10–4 · j + 7 · 10–4 · i + 2,88 · 10–4 · i + 2,16 · 10–4 · j =
8
8
= (9,88 · 10–4 · i – 5,34 · 10–4 · j ) N
También podíamos haber resuelto el problema calculando directamente el vector
fuerza producido por cada carga por medio de la expresión vectorial, teniendo en
cuenta los vectores unitarios en las direcciones que unen las cargas con el origen:
• Para q1:
8
8
8
8
8
r1 = AO = – 6 · j m ; r1 = 6 m ; u1 = –j
8
F1 = K ·
q1 · q 8
8
(3 · 10–6) · (1 · 10–6) – 8
· ( j ) = –7,5 · 10–4 · j N
· u1 = 9 · 109 ·
2
r1
62
• Para q3:
8
8
8
8
r3 = CO = (– 8 · i – 6 · j ) m ; r3 =
8
u3 = –
8
F3 = K ·
√82 + 62
= 10 m
8
8
8 8 6 8
·i–
· j = – 0,8 · i – 0,6 · j
10
10
q3 · q 8
8
8
4 · 10–6 · (–1 · 10–6)
· u3 = 9 · 109 ·
· (–0,8 · i – 0,6 · j ) =
2
r3
102
8
8
= 2,88 · 10–4 · i + 2,16 · 10–4 · j
• Para q2:
8
8
8
8
8
r2 = BO = – 8 · i m ; r2 = 8 m ; u2 = –i
8
F2 = K ·
q2 · q 8
8
5 · 10–6 · (–1 · 10–6) –8
· u2 = 9 · 109 ·
· ( i ) = 7 · 10–4 · i N
2
2
r2
8
Y, por tanto, la fuerza resultante sobre la carga q es, como vimos al resolver el problema por el procedimiento anterior:
8
8
8
8
8
8
8
8
F = F1 + F2 + F3 = –7,5 · 10–4 · j + 7 · 10–4 · i + 2,88 · 10–4 · i + 2,16 · 10–4 · j =
8
8
= (9,88 · 10–4 · i – 5,34 · 10–4 · j ) N
8. En los vértices de un triángulo equilátero de 40 cm de lado hay colocadas tres
cargas iguales de 2 µC cada una. Calcula la fuerza que actúa sobre una carga de
0,2 µC si está situada:
a) En el centro del triángulo.
b) En el punto medio de uno de los lados (er = 4).
Unidad 6. Campo eléctrico
185
a) La distancia de un vértice al centro del triángulo es 2/3 de la longitud de la mediana:
2
d=
· dM
3
Como se aprecia en la figura inferior:
dM =
√ () √
L2 – L
2
2
=
3
√3 · L
· L2 =
4
2
Luego:
d=
3
3
2
2 √3
· dM =
·
· L = √ · L = √ · 0,4 = 0,23 m
3
3
2
3
3
Y
q3 +
F2
F1
+
q
X
120°
d
30°
L
q1 +
+q
2
F3
Otra forma de calcular la distancia d es:
L/2
L
L/2
8 d=
=
= 0,23 m
d
√3/2 √3
Las fuerzas que realizan cada una de las cargas colocadas en los vértices sobre la
carga colocada en el centro tienen el mismo módulo, pues la distancia es la misma
para las tres:
q ·q
2 · 10–6 · 0,2 · 10–6
F1 = F2 = F3 = K · 1 2 = 9 · 109 ·
= 6,8 · 10–2 N
d
0,232
De acuerdo con el sistema de coordenadas utilizado en la figura anterior, las componentes de estas fuerzas son:
8
3 8
8
8
1 8
F1 = F1 · cos 30° · i + F1 · sen 30° · j = 6,8 · 10–2 · √ · i + 6,8 · 10–2 ·
·j N
2
2
cos 30° =
(
8
8
8
)
(
F2 = –F2 · cos 30° · i + F2 · sen 30° · j = –6,8 · 10–2 ·
2
–2
F3 = –F3 · j = –6,8 · 10 · j N
8
8
8
)
√3 · i8 + 6,8 · 10–2 · 1 · j8 N
2
Por tanto, la fuerza resultante sobre q es:
8
8
8
8
F = F1 + F2 + F3 = 0
186
Unidad 6. Campo eléctrico
b) Las fuerzas que actúan sobre la carga q cuando está colocada en el punto medio
de un lado, de acuerdo con la figura adjunta, son:
8
F1 = K ·
8
q1 · q 8
2 · 10–6 · 0,2 · 10–6 8
9
·i
2 · i = 9 · 10 ·
d1
0,22
Y
8
q3 +
F1 = 0,09 · i N
8
F2 = K ·
8
q2 · q
8
2 · 10–6 · 0,2 · 10–6 8
· (–i ) = –9 · 109 ·
·i
d22
0,22
L
d3
8
F2 = –0,09 · i N
8
F3 = K ·
8
–6
–6
q3 · q
8
8
9 2 · 10 · 0,2 · 10
–
·j
2 · (–j ) = 9 · 10 ·
2
d3
√3 · 0,4
2
(
)
60°
+
q1
F2
d1
+
q
d2
F1
+
q2
X
F3
8
F3 = –0,03 · j N
Entonces, la resultante en el punto medio es:
8
8
8
8
8
F = F1 + F2 + F3 = –0,03 · j N
La fuerza en cada uno de los otros puntos medios tiene el mismo módulo (0,03 N)
y su dirección se encuentra a lo largo de la mediana que pasa por ese punto.
9. Si al aproximar dos cargas su energía potencial aumenta, justifica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes: a) Las cargas son del mismo signo.
b) Las cargas son de distinto signo. c) El trabajo eléctrico es negativo. d) Se
necesita realizar un trabajo exterior.
La energía potencial del sistema de dos cargas es:
Q·q
d
Por tanto, si las cargas son del mismo signo, su valor es positivo y disminuye al aumentar la distancia, mientras que si las cargas tienen signos distintos, su valor es negativo y aumenta con la distancia.
Epe = K ·
Como el enunciado dice que al aproximar las cargas, o sea, al disminuir la distancia, su
energía potencial aumenta, esto significa que las cargas son del mimo signo. Entonces:
a) Es cierta; queda justificada por lo anterior.
b) Es falsa, si tuviesen distinto signo, al disminuir la distancia, aumentaría el valor
absoluto de la energía potencial, pero al ser este negativo, realmente disminuye.
c) Cierta; si la energía potencial aumenta, la diferencia de energía potencial es positiva, y como la variación de energía potencial es igual al trabajo de la fuerza eléctrica cambiado de signo, el trabajo es negativo.
d) Cierta, pues dos cargas con el mismo signo tienden espontáneamente a separarse, y para aproximarlas hay que realizar trabajo desde el exterior. También se
puede explicar que, al ser el trabajo eléctrico negativo, el trabajo exterior es positivo, lo que significa que es necesario para aproximarlas.
Unidad 6. Campo eléctrico
187
10. Las cargas q1 = 0,5 µC y q2 = 0,2 µC están separadas 2 m. Calcula el trabajo
eléctrico para que la distancia final entre ellas sea: a) De 5 m. b) Infinita.
a) El trabajo eléctrico es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo:
Weléctrico = –DEp
La energía potencial en la situación inicial, A, cuando las cargas están separadas
2 m, es:
q ·q
0,5 · 10–6 · 0,2 · 10–6
EpA = K · 1 2 = 9 · 109 ·
= 4,5 · 10–4 J
dA
2
Y en la situación final, B, cuando las cargas están separadas 5 m, vale:
q ·q
0,5 · 10–6 · 0,2 · 10–6
EpB = K · 1 2 = 9 · 109 ·
= 1,8 · 10–4 J
dB
5
Por tanto, el trabajo eléctrico necesario pasa pasar de A a B es:
Weléctrico = –DEp = – (Ep – Ep ) = – (1,8 · 10–4 – 4,5 · 10–4) = 2,7 · 10–4 J
B
A
b) Como la energía potencial cuando están separadas una distancia infinita es, por
convenio, nula, el trabajo para separarlas una distancia infinita resulta:
Weléctrico = –DEp = – (Ep@ – Ep ) = – (0 – 4,5 · 10–4) = 4,5 · 10–4 J
A
La energía potencial de dos cargas separadas cierta distancia coincide con el trabajo eléctrico desarrollado para separar las cargas infinitamente, o con el trabajo que
se ha de realizar desde el exterior para traerlas desde el infinito hasta esa distancia.
11. ¿Qué trabajo hay que realizar para reducir a la mitad la distancia entre dos
cargas negativas iguales? ¿Cambiaría el resultado si fuesen positivas? ¿Y si
fuesen de distinto signo?
El trabajo eléctrico entre las situaciones A, cuando las cargas están a una distancia d,
y B, cuando se encuentran a mitad de distancia, es igual a la variación de energía
potencial entre ambas situaciones cambiadas de signo:
Q·q
Q·q
Q·q
–K·
= –K ·
We (A 8 B) = –DEp = – (EpB – EpA) = – K ·
d /2
d
d
(
)
Si las cargas son del mismo valor y del mismo signo, Q = q, el trabajo eléctrico vale:
q2
We (A 8 B) = –K ·
d
Como el trabajo eléctrico es negativo, es necesario realizar un trabajo exterior, cuyo
valor es:
q2
Wext (A 8 B) = –We (A 8 B) = K ·
d
Si las cargas tienen el mismo valor pero distinto signo, Q = –q, el trabajo eléctrico es
positivo y vale:
Q·q
q2
We (A 8 B) = –K ·
=K·
d
d
Y no es necesario realizar trabajo exterior para aproximarlas, pues lo hacen espontáneamente.
12. La carga Q = 4 µC permanece en reposo en el origen de coordenadas, mientras que la carga q = –0,2 µC pasa del punto A (6, 0) al punto B (3, 0). Calcula:
a) La energía potencial en A y en B. b) El trabajo eléctrico entre A y B. c) La
velocidad de q en B si su masa es 2 g y parte del reposo desde A.
188
Unidad 6. Campo eléctrico
a) La energía potencial del sistema formado por las dos cargas cuando la carga q está en A es:
Q·q
4 · 10–6 · (–0,2 · 10–6) –
EpA = K ·
= 9 · 109 ·
= 1,2 · 10–3 J
dA
6
Y cuando q está en B vale:
Q·q
4 · 10–6 · (–0,2 · 10–6) –
EpB = K ·
= 9 · 109 ·
= 2,4 · 10–3 J
dB
3
b) El trabajo eléctrico entre A y B es:
Weléctrico = –DEp = – (EpB – EpA) = – (– 2,4 · 10–3 – (– 1,2 · 10–3)) = 1,2 · 10–3 J
El movimiento de q desde A hasta B es espontáneo, pues el trabajo eléctrico es
positivo, lo que coincide con el hecho de que dos cargas de distinto signo tienden a aproximarse.
c) Como la fuerza eléctrica es conservativa, no hay trabajo de fuerzas no conservativas; por tanto, la suma de las energías cinética y potencial permanece constante:
Ec + Ep = cte 8 EcA + EpA = EcB + EpB
Sustituyendo y despejando, la velocidad de la carga al llegar a B es:
1
0 + (–1,2 · 10–3 ) =
· 0,002 · v 2 + (–2,4 · 10–3) 8 1,2 · 10–3 = 0,001 · v 2
2
v=
√
1,2 · 10–3
= 1,09 m/s
0,001
13. Las cargas q1 = q2 = 2 µC y q3 están situadas en los puntos, expresados en metros, A (–3, 0), B (3, 0) y C (0, 5). Calcula el valor de q3 para que el campo en el
punto P (0, 3) sea nulo.
Como las cargas q1 y q2 son iguales, así como las distancias que las separan del punto P (véase la figura siguiente), el campo producido por q1 y el producido por q2 en
P tienen ambos el mismo módulo, cuyo valor es:
E1 = E2 = K ·
q1
2 · 10–6
2 · 10–6
9
9
=
9
·
10
·
=
9
·
10
·
= 1 000 N/C
r12
18
(√32 + 32)2
Sin embargo, los campos tienen distinta dirección; la figura permite calcular fácilmente las componentes cartesianas de cada vector:
y (m)
C
q3
E2
E1
P
q1
+
A
Unidad 6. Campo eléctrico
45°
E3
q2
+
B
x (m)
189
Así, el campo producido por cada una de las cargas es:
8
2 8
2 8
8
8
E1 = E1 · cos 45° · i + E1 · sen 45° · j = 103 · √ · i + 103 · √ · j N/C
2
2
(
8
8
8
)
(
E2 = –E2 · cos 45° · i + E2 · sen 45° · j = –103 ·
)
√2 · i8 + 103 · √2 · j8 N/C
2
2
Y, por tanto, el campo total producido por q1 y q2 en ese punto vale:
8
8
(
E1 + E2 = 103 ·
)(
)
√2 · i8 + 103 · √2 · j8 + –103 · √2 · i8 + 103 · √2 · j8 = 2 · 103 · j8 N/C
√
2
2
2
2
Si el campo total se anula en P, entonces:
8
8
8
8
8
8
E = E1 + E2 + E3 = 0
8
E3 = – (E1 + E2) = –
√2
8
8
· 103 · j N/C 8 E3 = |E3| =
√2
· 103 N/C
Sustituyendo y despejando en la expresión del campo producido por q3 en P, obtenemos el valor de dicha carga:
q
q
q
E3 = K · 32 = 9 · 109 · 23 8 E3 = 9 · 109 · 3 = √2 · 103 8
r3
2
4
8 q3 =
√2 · 103 · 4 = 0,63 µC
9
9 · 10
14. Las cargas q1 = –1 µC y q2 = 4 µC están en el aire en los puntos A(0, 3) m y
B (0, –3) m. Calcula:
a) El punto en el que se anula el campo.
b) El campo en P (3, 0) m y en el origen de coordenadas, O.
c) La aceleración inicial de una partícula, m = 2 g y q = 0,2 µC, colocada en reposo en O.
a) En el punto donde se anula el campo se cumple que:
8
8
8
8
8
E = E 1 + E 2 = 0 8 E 1 = –E 2
y (m)
Por tanto, en ese punto los campos eléctricos creados
por cada carga son opuestos, y sus módulos, iguales.
8
E2
8
Los vectores E 1 y E 2 solo pueden tener la misma dirección en puntos del eje Y, es decir, en los puntos (0, y).
Para que los módulos de ambos campos sean iguales
en uno de esos puntos se ha de cumplir:
|q |
|q |
E1 = E2 8 K · 12 = K · 22
d2
d2
1 · 10–6
4 · 10–6 8
=
( y + 3)2 = 4 · ( y – 3)2
2
( y – 3)
( y + 3)2
3 · y 2 – 30 · y + 27 = 0 8 y 2 – 10 · y + 9 = 0
9
8
6
5
4
A (0, 3)
190
–
E1
q1
E2
1
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son:
y 1 = 1 m ; y2 = 9 m
En la figura podemos comprobar que el campo se anula en el punto (0, 9) m, pues los sentidos de los campos
son opuestos, pero no se anula en el punto (0, 1) m,
pues en él los campos tienen el mismo sentido.
E1
7
–1
1
–1
x (m)
–2
B (0, –3)
+
q2
Unidad 6. Campo eléctrico
b) El módulo del campo producido por cada carga en el punto P vale:
|q1|
1 · 10–6
E1P = K ·
= 9 · 109 ·
= 500 N/C
2
d1P
(√32 + 32)2
|q2|
4 · 10–6
E2P = K ·
= 9 · 109 ·
= 2 000 N/C
2
d2P
(√32 + 32)2
Al dibujar estos vectores, observamos que forman 45º con el eje X, luego las
componentes cartesianas de cada uno son:
y (m)
A (0, 3)
–
E2
q1
2
1
E1
45°
1
2
45°
x (m)
P (3, 0)
–1
–2
B (0, –3)
8
+ q2
8
8
8
8
E 1P = –E1P · cos 45° · i + E1P · sen 45° · j = –500 · 0,707 · i + 500 · 0,707 · j =
8
8
= (–353,5 · i + 353,5 · j ) N/C
8
8
8
8
8
E 2P = E2P · cos 45° · i + E2P · sen 45° · j = 2 000 · 0,707 · i + 2 000 · 0,707 · j =
8
8
= (1 414 · i + 1 414 · j ) N/C
Luego:
8
8
8
8
8
E P = E 1P + E 2P = (1 060,5 · i + 1 767,5 · j ) N/C
Del mismo modo, el campo producido por cada carga en el origen es:
q
8
8
8
–1 · 10–6
8
E 1O = K · 12 · u1O = 9 · 109 ·
· (–j ) = 1 000 · j N/C
32
d1O
8
E 2O = K ·
Luego:
8
8
q2
8
8
4 · 10–6 8
9
=
9
·
10
·
· j = 4 000 · j N/C
·
u
2O
32
d2O2
8
8
8
8
E O = E 1O + E 2O = 1 000 · j + 4 000 · j = 5 000 · j N/C
c) La fuerza sobre la partícula colocada en el origen de coordenadas vale:
8
8
8
8
F = q · E = 0,2 · 10–6 · 5 000 · j = 0,001 · j N
Y, por tanto, su aceleración inicial es:
8
8
F
8
8
0,001 · j
a =
=
= 0,5 · j m · s–2
–3
m
2 · 10
Unidad 6. Campo eléctrico
191
15. Un electrón se suelta en reposo en un campo eléctrico uniforme de valor
40 N/C. Calcula:
a) La aceleración del electrón.
b) Su velocidad cuando ha recorrido una distancia de 14 cm.
c ) El tiempo que tarda en recorrer dicha distancia.
d) El sentido en que se desplaza.
Al encontrarse el electrón inicialmente en reposo, cuando se mueva lo hará en una
dirección paralela a la del campo eléctrico, pero en sentido contrario a este, puesto
que es una carga negativa.
a) El valor de la fuerza que actúa sobre el electrón es:
Fe = |q| · E = 1,6 · 10–19 · 40 = 6,4 · 10–18 N
Luego, su aceleración es:
F
|q| · E
6,4 · 10–18
a= e =
=
= 7 · 1012 m · s–2
m
9,1 · 10–31
m
b) El electrón es acelerado por el campo eléctrico y experimenta un m.r.u.a. La relación entre la velocidad y el espacio recorrido es:
v 2 – v02 = 2 · a · x
Entonces, la velocidad del electrón cuando ha recorrido 0,14 m, habiendo partido
del reposo, es:
v = √2 · a · x = √2 · 7 · 1012 · 0,14 = 1,4 · 106 m/s
c) Como v = a · t, el tiempo que tarda en recorrer esa distancia es:
v
1,4 · 106
t=
=
= 2 · 10–7 s
a
7 · 1012
d) El electrón, por ser una carga negativa, se desplaza en sentido contrario al del campo eléctrico.
16. Si el electrón de la actividad anterior penetra con una velocidad de 2 · 106 m/s,
perpendicular al campo, ¿dónde se encuentra al cabo de 2 µs, tomando el
punto de entrada como origen de coordenadas?
Si tomamos el semieje X positivo en el sentido de la velocidad inicial del electrón y el
semieje Y positivo en el sentido del campo eléctrico, entonces:
8
8
E = 40 · j N/C
La fuerza que actúa sobre el electrón es:
8
8
8
8
F e = q · E = (–1,6 · 10–19) · 40 · j = –6,4 · 10–18 · j N
Y la aceleración que experimenta vale:
8
E
e–
–
v0
8
F
6,4 · 10–18 · j
8
Fe
a = e =–
= –7,03 · 1012 · j m/s2
m
9,1 · 10–31
Al ser la aceleración constante, y teniendo en cuenta la velocidad inicial del electrón, la ecuación de su movimiento y la posición del electrón para t = 2 µs son:
£
§ x = v0 · t = 2 · 106 · 2 · 10–6 = 4 m
¢
8
8
1 8 2
r = v0 · t +
· a · t 8§
1
1
2
· a · t2 =
· (–7 · 1012) · (2 · 106)2 = –14 m
°y=
2
2
8
Por tanto, al cabo de 2 µs, el electrón se encuentra en el punto (4, –14) m.
192
Unidad 6. Campo eléctrico
17. El campo y el potencial eléctricos producidos por una carga puntual en un
punto valen 500 N/C y 1 500 V, respectivamente. Si K = K0, calcula: a) La distancia del punto a la carga. b) El valor de la carga.
a) La carga es positiva, pues el potencial que produce es positivo. De las expresiones
del campo y del potencial eléctricos producidos por una carga puntual, tenemos:
E=K·
q
q
q
q
9
= 9 · 109 ·
= 1 500 V
2 = 9 · 10 ·
2 = 500 N/C ; V = K ·
r
r
r
r
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones, queda:
q
9 · 109 ·
V
r
1 500
=
=
=r 8 r=3m
q
E
500
9 · 109 · 2
r
El punto se encuentra, por tanto, a 3 m de la carga.
b) Si sustituimos el valor de r en la expresión del potencial, obtenemos el valor de
la carga:
q
1 500 = 9 · 109 ·
8 q = 5 · 10–7 C
3
El valor de la carga es, entonces, de +0,5 µC.
18. Las cargas q1 = +4 µC y q2 = –1 µC están separadas 3 m. Calcula en qué puntos
de la línea que pasa por las cargas se anula el potencial. ¿Es nulo el campo en
esos puntos?
Como las cargas son de distinto signo, el potencial puede anularse, además de en el
infinito, en puntos finitos. En concreto, el potencial se anula en una superficie equipotencial que corta a la recta que pasa por las cargas en dos puntos (que estarán
más próximos a la carga de menor valor absoluto), uno entre ambas cargas y otra
fuera de esa zona.
Para ambos puntos se cumplirá que:
V = V1 + V2 = K ·
q1
q
4 · 10–6
–1 · 10–6
+K· 2 =0 8 K·
+K·
=0 8
d1
d2
d1
d2
4
1
8 d1 = 4 · d2
=
d1
d2
8
[1]
d 2'
d 1'
E1M
q1
+
M
d1
N
–
E2M
q2
E2N
E1N
d2
d
Unidad 6. Campo eléctrico
193
Para el punto M, situado en la zona entre ambas cargas:
d1 + d2 = d = 3 m
[2]
Sustituyendo la ecuación [1] en la [2], tenemos:
d1 + d2 = 4 · d2 + d2 = 3 8 d2 =
3
= 0,6 m 8 d1 = 4 · d2 = 4 · 0,6 = 2,4 m
5
Para el punto N, situado a la derecha de q2, se cumple que:
d 14 = d 24 + d = d 24 + 3
[3]
Sustituyendo [1] en [3], resulta:
d 14 = 4 · d 24 = d 24 + 3 8 3 · d 24 = 3 8 d 24 = 1 m 8 d 14 = 4 · d 24 = 4 · 1 = 4 m
Por tanto, el potencial se anula en el punto M, a 0,6 m de q2 y a 2,4 m de q1, y en el
punto N, a 1 m de q2 y a 4 m de q1.
Para calcular el valor del campo eléctrico en esos puntos, tenemos en cuenta las distancias que acabamos de obtener.
El campo producido por ambas cargas en el punto M está dirigido hacia la derecha,
y el valor de cada uno es:
E1M = K ·
|q1|
4 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 6 250 N/C
2
d1 M
2,42
E2M = K ·
|q2|
1 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 25 000 N/C
2
d2M
0,62
Por tanto, el campo resultante en M vale:
EM = E1M + E2M = 6 250 + 25 000 = 31 250 N/C
Y está dirigido hacia la derecha.
El campo producido por q1 en N está dirigido hacia la derecha, y su valor es:
E1N = K ·
|q1|
4 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 2 250 N/C
2
d1 N
42
El campo producido por q2 en N está dirigido hacia la izquierda, y su valor es:
E1N = K ·
|q2|
1 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 9 000 N/C
d22N
12
Entonces, el campo resultante en N vale:
EN = E2N – E1N = 9 000 – 2 250 = 6 750 N/C
Y está dirigido hacia la izquierda.
19. Las cargas q1 = 2 µC y q2 = –5 µC están colocadas en dos de los vértices de un
triángulo equilátero de 0,6 m de lado. Calcula: a) El potencial en el otro vértice y en el centro del lado que contiene a las cargas. b) La energía potencial
de una carga q = –3 µC en cada uno de esos puntos. c) El trabajo eléctrico si
q pasa del primer punto al segundo. d) ¿Es espontáneo el movimiento?
194
Unidad 6. Campo eléctrico
a) La distancia de cada carga al otro vértice, que llamaremos punto A (figura inferior), vale 0,6 m; por tanto, el potencial producido por cada carga en A es:
q
2 · 10–6
V1A = K · 1 = 9 · 109 ·
= 30 000 V
d 1A
0,6
q2
–5 · 10–6
= 9 · 109 ·
= –75 000 V
d 2A
0,6
Y, por tanto, el potencial en el vértice A vale:
V2A = K ·
VA = V1A + V2A = 30 000 – 75 000 = –45 000 V
–
q2
d2A = 0,6 m
B
q1 +
d1A = 0,6 m
A
La distancia de cada carga al centro del lado que las contiene a ambas, punto B,
vale 0,3 m; luego, el potencial producido por cada carga en B es:
V1B = K ·
q1
2 · 10–6
= 9 · 109 ·
= 60 000 V
d 1B
0,3
V2B = K ·
q2
–5 · 10–6
= 9 · 109 ·
= –150 000 V
d 2B
0,3
Y, por tanto, el potencial en el centro del lado, B, vale:
VB = V1B + V2B = 60 000 – 150 000 = –90 000 V
b) La energía potencial de la carga q en el punto A, el otro vértice, es:
EpA = q · VA = (–3 · 10–6) · (– 45 · 103) = 0,135 J
La energía potencial de la carga q en el punto B, el centro del lado, es:
EpB = q · VB = (–3 · 10–6) · (– 90 · 103) = 0,27 J
c) El trabajo realizado por el campo eléctrico es igual a la variación de la energía
potencial cambiada de signo; por tanto:
We (A 8 B) = –DEp = – (EpB – EpA) = – (0,27 – 0,135) = – 0,135 J
d) Como el trabajo eléctrico es negativo, el proceso no es espontáneo, pues hay
que obligar a la carga negativa q a que pase de un potencial en A a otro mayor
en B.
Unidad 6. Campo eléctrico
195
20. Resuelve la actividad anterior en el caso de que el valor de la segunda carga
sea q2 = –2 µC.
Al modificar el valor de q2, los valores del potencial producido por esta nueva carga
en A y en B son:
V2A = K ·
q2
–2 · 10–6
= 9 · 109 ·
= –30 000 V
d 2A
0,6
V2B = K ·
q2
–2 · 10–6
= 9 · 109 ·
= –60 000 V
d 2B
0,3
Como el valor de q1 no ha variado, entonces el nuevo potencial en A es:
VA = V1A + V2A = 30 000 – 30 000 = 0 V
Y el potencial en el punto B ahora vale:
VB = V1B + V2B = 60 000 – 60 000 = 0 V
En ambos puntos, el potencial es nulo; por tanto, la energía potencial también es nula para cualquier carga colocada en ellos. Entonces, al no existir diferencia de potencial entre dichos puntos, el trabajo del campo eléctrico es nulo, y el paso de A a B ni
es espontáneo ni es obligado: es indiferente que la carga q se encuentre en A o en B.
21. Calcula el potencial de frenado, o diferencia de potencial necesaria, para detener un electrón que lleva una velocidad de 5 · 106 m/s. Si recorre 2 cm hasta detenerse, calcula el valor del campo eléctrico, supuesto uniforme.
Como el electrón está sometido únicamente a la fuerza eléctrica y esta es conservativa, la energía total del electrón, cinética más potencial, permanece constante:
E = cte 8 Ec + Ep = cte 8 DEc + DEp = 0
La variación de energía cinética es:
1
1
DEc = 0 –
· m · v02 = –
· 9,1 · 10–31 · (5 · 106)2 = –1,1375 · 10–17 J
2
2
Si el electrón pierde energía cinética, gana energía potencial, de acuerdo con el
principio de conservación de la energía:
DEp = – DEc = – (–1,1375 · 10–17) = 1,1375 · 10–17 J
De la relación entre el potencial y la energía potencial, DEp = q · DV, tenemos:
DEp
1,1375 · 10–17
DV = q =
= –71,1 V 8 |DV| = 71,1 V
–1,6 · 10–19
La diferencia de potencial necesaria para detener al electrón es de 71,1 V, pero, como su valor es negativo, el potencial del punto final es menor que el del punto inicial. Recuerda que una carga negativa se mueve espontáneamente hacia los potenciales más altos, es decir, acelera hacia los potenciales más altos; entonces, cuando
va hacia potenciales más bajos, se va frenando y termina deteniéndose. El potencial
disminuye en el sentido del movimiento del electrón y, por tanto, en la dirección y
el sentido del campo eléctrico, cuyo valor es:
DV
–71,1
E=–
=–
= 3 555 V/m
2 · 10–2
Dx
El campo eléctrico es paralelo y del mismo sentido que la velocidad del electrón.
196
Unidad 6. Campo eléctrico