Investigación sobre el cambio en la aceleración de un carrito que

Material de ayuda al profesor de Física
Trabajo práctico 6
Investigación sobre el cambio en la aceleración de un carrito que rueda hacia
abajo sobre un plano inclinado
La investigación
Pregunta de investigación: ¿Es constante la aceleración de un carrito que cae por un plano
inclinado?
El tiempo que dura el viaje del carrito es la variable independiente, mientras que la distancia
que recorre es la variable dependiente. Las variables controladas son la configuración del
equipo, el montaje del raíl y el carrito (altura inicial, método de soltado, etc.), y la temperatura de
la habitación. Los tiempos y las distancias se miden con un detector ultrasónico de movimiento y
con el software de un computador. La distancia se determinó a partir del tiempo de eco y de la
velocidad del sonido.
La aceleración uniforme se relaciona con la distancia s y el tiempo t por la ecuación s =
1 2
at .
2
La gráfica de la distancia en relación con el cuadrado del tiempo será una línea recta con
a
gradiente igual a .
2
Equipo
La unidad de interfase fue una LabPro de Vernier
conectada a un detector de movimiento 2 (Modelo MDBTD), también de Vernier. Véase la foto de la derecha.
El software era LoggerPro versión 3.4.1. de Vernier. El
raíl era una rampa estándar de laboratorio, de aluminio, y
el carrito era uno de bajo rozamiento de PASCO (con
ruedas de rodamiento). Dispuse el raíl sobre un bloque
de unos 10 cm de altura. Se utilizó cinta adhesiva para
asegurar la rampa.
Incertidumbres: cuestiones de resolución, precisión y exactitud
Calibración. La precisión (valor referido a un estándar conocido) del Motion Detector depende
de la temperatura de la habitación. Puesto que el detector de movimiento utiliza la velocidad del
sonido par determinar la distancia, y la velocidad del sonido depende de la temperatura, debemos
medir la temperatura del aire mientras dura el experimento. El detector de movimiento puede
calibrarse fácilmente para la temperatura de la habitación.
La temperatura de la habitación cuando se llevó a cabo el
experimento era de 22,4ºC. Esto se utilizó para calibrar la
unidad Sonic.
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Precisión del cronómetro. En la unidad Vernier, el ritmo de cronometraje es de 1,00 MHz por
período de ∆t = 10 −6 s . Las incertidumbres en el tiempo pueden ser ignoradas. La velocidad del
sonido en el aire a 22,4ºC es de 342 m s-1 . Por lo tanto, en 10 −6 s el sonido recorrerá
3,42 × 10−4 m. De hecho, la distancia es la mitad de esta cantidad puesto que la onda sonora se
refleja hacia el detector, por lo que la resolución (el mínimo cambio detectable) es de alrededor
de 0,1 mm. Vernier concede una resolución de hasta 1 mm.
Precisión de las mediciones. Utilizaremos la dispersión de las mediciones para determinar la
incertidumbre de la unidad de sonido. La gráfica siguiente muestras el rango de valores de un
blanco estacionario cercano a la unidad de sonido.
Estacionario, cerca del blanco
0,1685
Estadística para: Última | Posición
mín: 0,16766 a 0,10000 máx: 0,16821 a 1,5500
media: 0,16783 mediana: 0,16793
desv. est.: 0,000160925 muestras: 40
Posición (m)
0,1680
0,1675
0,1670
0,0
(0,061, 0,167944)
0,5
1,0
Tiempo (s)
1,5
2,0
Los decimales primero y segundo de las posiciones son idénticos. Sólo el tercer decimal nos
permite detectar alguna variación. El valor máximo es 0,176821 m y el mínimo 0,16766 m,
siendo la mediana 0,16793 m. El rango es 0,00055 m y su mitad 0,000272 m, o alrededor de
±0,0003 m. Es decir una precisión de ±0,3 mm. Así, el blanco estacionario se encuentra a
(0,1679±0,0003) m, es decir la incertidumbre es de ±0,3 mm.
Con el blanco estacionario situado en el final del raíl, se recogieron los siguientes datos.
Estacionario, final del raíl
0,9660
Estadística para: Última | Posición
mín: 0,965065 a 0,150000 máx: 0,965614 a 1,00000
media: 0,965325 mediana: 0,965339
desv. est.: 0,0001638490 muestras: 40
Posición (m)
0,9655
0,9650
0,0
0,5
1,0
Tiempo (s)
1,5
2,0
Aquí el máximo es 0,965614 m, el mínimo 0,965065 m, y la mediana 0,965339 m. El rango es
0,000549 m y su mitad 0,00027 m, es decir una incertidumbre de ±0,0003 m. De nuevo, es de
alrededor de ±0,3 mm.
Por lo tanto, para ambos blancos, la precisión (o repetibilidad) del sistema de rango ultrasónico
se establece en ±0,3 mm, o sea ±0,0003m.
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Velocidad y aceleración. Puesto que la velocidad se calcula a partir de los cambios en las
posiciones relativas consecutivas, los valores de velocidad no necesitan calibrarse; sólo necesita
propagarse la incertidumbre en la distancia.
Incertidumbre sistemática. Hay otra fuente de error en las mediciones. En el intervalo de
tiempo en el que el pulso ultrasónico se refleja en el carrito y retrocede hasta la unidad sensora,
el carrito habrá avanzado ligeramente. En este caso, la incertidumbre no es constante sino que
debería aumentar de manera lineal cuando la distancia aumenta. El factor de incertidumbre puede
ignorarse puesto que el movimiento del carrito es relativamente lento y el rango global es
pequeño. Por otra parte, las desviaciones sistemáticas en la velocidad frente al tiempo no son
importantes al calcular la aceleración a partir del gradiente de la gráfica.
Incertidumbre global. La incertidumbre en la distancia máxima recorrida por el carrito es de
±0,3 mm. La desviación sistemática en la técnica de medición puede ser ±0,1 mm o más, y la
calibración para la velocidad del sonido puede valer ±0,1 mm o más. Globalmente, analizando el
peor caso posible, sería aceptable una incertidumbre de ±0,7 mm a ±1 mm. Por tanto, la
incertidumbre de ±0,1 mm del Vernier es aceptable. Sobre una distancia de 0,5 m, la
incertidumbre es por tanto ±0,2%. La incertidumbre del cronómetro en un intervalo, digamos de
2s, es sólo de 0,00005%. Por lo tanto, la incertidumbre en la medida del tiempo puede ignorarse.
Configuración de la unidad de detección y del software
Después de probar distintos ritmos, se observó que una frecuencia de 20 Hz (para un período de
0,05 s) iba bien. Además, se optó por un tiempo de toma de muestras de 5 s. Se ingresaron estos
valores en la ventana de obtención de datos (ver a continuación).
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Datos
El proceso de entrada de datos registró los datos brutos de tiempo y posición. Esta es una
muestra de los datos recogidos en el proceso de entrada.
Tiempo
Posición
(s)
0,050000
0,100000
0,150000
0,200000
0,250000
0,300000
0,350000
0,400000
0,450000
0,500000
0,550000
0,600000
(m)
0,1899
0,1896
0,1899
0,1896
0,1899
0,1902
0,1902
0,1913
0,1943
0,1981
0,2033
0,2105
Cuadrado del
tiempo
(s^2)
0,002500
0,010000
0,022500
0,040000
0,062500
0,090000
0,122500
0,160000
0,202500
0,250000
0,302500
0,360000
Los encabezamientos ideales de la tabla de datos los siguientes.
Tiempo
t/s
∆t ≈ ±0s
Distancia
s/m
∆s = ±0,0003 m
Cuadrado del
tiempo
t2 / s2
∆t 2 ≈ ±0s 2
La elevación al cuadrado es una sencilla función de procesamiento de datos, donde, por ejemplo,
utilizando la información del 4º dato, t2 = t × t = 0,20s × 0,20s = 0,04 s2.
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Análisis de datos
A continuación se representa una gráfica de la posición en relación con el cuadrado del tiempo
con barras de incertidumbre. El error en este caso es despreciable. Las barras de incertidumbre
son extrañas porque son muy pequeñas, la parte alta y la baja se solapan dada la escala de
distancias.
Distancia en función del cuadrado del tiempo
Barras de incertidumbre ±1 mm
0,9
Posición (m)
0,7
0,5
0,3
0,1
Cuadrado del tiempo (s^2)
(0,249, 1,012)
Esta es una ampliación de una sección de la gráfica con barras de incertidumbre de ±1 mm. Las
barras de incertidumbre son insignificantes. No tiene apenas sentido intentar obtener los
gradientes máximo y mínimo.
Ampliación: Distancia en función del cuadrado del tiempo Barras de incertidumbre ±1 mm
Posición (m)
0,32
0,32
0,31
0,95
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1,05
Cuadrado del tiempo (s^2)
1,10
1,15
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Esta es la gráfica principal.
Distancia en función del cuadrado del tiempo
Sin barras de incertidumbre
0,9
Posición (m)
0,7
0,5
0,3
0,1
Cuadrado del tiempo (s^2)
(1,465, 0,863)
Se utilizó la función Tangent (tangente) para calcular el gradiente de varios puntos.
A continuación se presenta un ejemplo de un intervalo en el que la aceleración no es uniforme y
en el que sí lo es.
Distancia en función del cuadrado del tiempo
0,9
Cuadrado del tiempo: 0,3025 s^2
Pendiente de la posición: 0,1109 m/s^2
0,5
0,7
Posición (m)
Posición (m)
0,7
Distancia en función del cuadrado del tiempo Sin barras de incertidumbre
Sin barras de incertidumbre
0,9
Cuadrado del tiempo: 2,2500 s^2
Pendiente de la posición: 0,2228 m/s^2
0,5
0,3
0,3
0,1
0,1
Cuadrado del tiempo (s^2)
Región
con aceleración
Changing
accelerationcambiante.
region.
Cuadrado del tiempo (s^2)
Región
con aceleración
Uniform
accelerationuniforme.
region.
La gráfica siguiente se utiliza para calcular el gradiente de una región lineal de la gráfica. La
línea recta se interpola para resaltar la región de aceleración no lineal.
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Distancia en función del cuadrado del tiempo
0,9
Posición (m)
0,7
Ajuste lineal para: Última | Posición
x = mx+b
m (Pendiente): 0,2184 m/s^2
b (Intersección Y): 0,07705 m
Correlación: 0,9998
Error cuadrático medio: 0,002722
0,5
0,3
0,1
(0,381, 0,817)
Cuadrado del tiempo (s^2)
Utilizando la grafica anterior, la aceleración uniforme a (para los datos seleccionados) viene
dada por
a = 2 × gradiente = 2 × 0,2184 m s−2 = 0,4368 m s−2.
Como se indicó anteriormente, la incertidumbre del gradiente es del 0,2%, por lo que la
incertidumbre en la aceleración es del 0,4%.
a = 0,4368 m s−2 ±0,4% → a = (0,4368 ±0,0017) m s−2 ≈ (0,437 ± 0,002) m s−2
El experimento se repitió varias veces en condiciones idénticas. La tabla siguiente resume los
resultados.
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1 (mostrado más arriba)
2 (no mostrado)
3 (no mostrado)
4 (no mostrado)
5 (no mostrado)
2 x gradiente de la distancia
frente al cuadrado del tiempo
/ m s −2
2 x 0,2184 = 0,4368
2 x 0,1932 = 0,3862
2 x 0,2148 = 0,4296
2 x 0,1677 = 0,3354
2 x 0,2120 = 0,4240
Media
0,4024
Prueba
Rango =
(0, 4368 − 0,3354)ms −2
= ±0, 0507ms −2 ≈ ±0, 05ms −2
2
amedia = (0,40±0,05)m s−2 = 0,40 m s−2 ±13%
Conclusión y evaluación
Aceleración uniforme. La aceleración uniforme calculada en una de las pruebas parecería ser
muy precisa, a saber, a ≈ (0,437± 0,002)m s−2.
Sin embargo, las repeticiones revelan un resultado mucho menos preciso. Los valores son
dispersos y el resultado obtenido a partir de un rango de estas cinco pruebas es preciso sólo hasta
dos cifras significativas.
amedia = (0,40±0,05)m s−2
La calidad de las mediciones se reduce por la dispersión de los valores del gradiente en los
múltiples ensayos. Por lo tanto, debería aceptarse la incertidumbre del 13%.
Aceleración cambiante. El análisis de la gráfica de la distancia en relación con el cuadrado del
tiempo muestra una aceleración uniforme en el rango de aproximadamente 1,56 s2 a 3,61 s2.
Después de 3,61 s2 (o aproximadamente 1,9 s) el carrito choca contra el final del raíl.
La aceleración no es uniforme en el intervalo entre el comienzo y alrededor de 1 s. Ello podría
ser porque la fuerza de rozamiento que actúa sobre el carrito varía en ese intervalo y
posteriormente se hace constante.
Puntos débiles y mejoras. Hay dos puntos débiles en esta investigación. El primero, la variación
en las pruebas sugiere que hay factores que necesitan controlarse mejor. Quizás el mecanismo de
suelta pueda mejorarse. Podría utilizarse un electroimán para mantener el carrito en su posición y
posteriormente soltarle cuidadosamente.
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En segundo lugar, podría usarse una altura de 20 o 30 cm en vez de 10 cm para el raíl disponible
de 1,2 m de largo. Alternativamente, podría usarse la misma altura pero con un raíl mucho más
largo, quizás de 2,5 metros de largo. Teniendo una mayor aceleración y/o aumentando el
intervalo en el que se hacen las mediciones ayudaría a reducir el efecto que las pequeñas
variaciones en el movimiento del carrito pudieran tener sobre los resultados.
Finalmente, sería interesante investigar con más detalle la región de aceleración no uniforme.
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