Vectores - Ejercicios de física y matemática

Vectores
Vector desplazamiento
: Vector cuyo origen está en el punto de partida y extremo
en el punto de llegada.
Vector velocidad
: Vector que se
desplazamiento/tiempo.
obtiene
del
cuociente
1.- Se tienen los siguientes vectores a, b, c y d. Hallar:
a)
d)
g)
b)
e)
h)
a+b
b-c
3b - ( a + d )
c+d
c)
a-b-d
f)
2( a - c ) - 3( d - b )
a+d+c+b
2a - 3b + 2c
El minutero de un reloj tiene 5cm, ¿cuál será la magnitud del desplazamiento de
su punta después de media hora?
3.-
Está en etapa de experimentación un vehículo y se le pone a prueba en una pista
circular de 500 m de radio, mantiene una rapidez circular constante de tal manera
que tarda 10 s por cada vuelta. Determine el desplazamiento, la velocidad y la
distancia recorrida después de haber completado:
a)
una vuelta
b)
cinco vueltas
c)
media vuelta
d)
una vuelta y cuarto
4.-
Una hormiga está en un vértice de una sala de dimensiones 3, 4 y 12 metros
(alto, ancho y largo) y desea ir al vértice diametralmente opuesto. Determine:
a)
la distancia mínima que recorrería.
b)
el desplazamiento que realizaría.
5.-
Dos desplazamientos tienen módulos iguales a 4 y a 3 metros. ¿Cuál debe ser la
dirección y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un
módulo igual a:
b)
w
7 m?
1 m?
c)
3 m?
w
a)
.h
v
e
rd
u
g
o
.c
l
©
2.-
d)
8 m?
Suponga que todas las cuadras del centro de Viña son cuadrados de 80 m de
lado y que los anchos de las calles y veredas son despreciables. Ud. se
encuentra en Marina con Von Schroeders (A) y tiene
que llegar a Quinta con Viana (B). Ud. puede caminar
sólo 2 m por cada segundo. Determina: (si no conoce
el plan de Viña, averigüe en un mapa de la ciudad).
a)
la distancia mínima que debe recorrer.
b)
el tiempo que va a emplear.
c)
el desplazamiento que realiza.
d)
la velocidad con que se desplaza.
7.-
En cada caso siguiente, determine el vector resultante:
w
6.-
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
Calcular las componentes x e y de los siguientes desplazamientos en el plano:
a) 300 cm a 127º, b) 500 cm a 220º. Resp. A) -180 cm, 240 cm; b) -383 cm, 321 cm.
9.-
Dos fuerzas actúan sobre un objeto puntual de la siguiente forma: 100 N a 170º
y 100 N a 50º. Calcular la resultante de ambas fuerzas. Resp. 100 N a 110º
10.-
Partiendo del origen de coordenadas, se realizan los siguientes
desplazamientos en el plano xy: 60 mm en dirección -X, 40 mm a 150º, 50 mm
a 240º. Calcular el desplazamiento resultante gráfica y algebraicamente. Resp.
97 mm a 158º.
11.-
Sean los vectores A = (2, -8); B = (-5, 4) y C = (4, 2). Determine gráfica y
algebraicamente:
a) A + B
b) A + C
c) A - C - B d) 2A - 3(B - C)
12.-
La componente x de un desplazamiento es de 450 m. Calcular el
desplazamiento si éste forma un ángulo de 70º con dicha componente. ¿Cuál
es el valor de la componente y?
Resp. 1,320 km; 1,24 km.
13.-
Según la siguiente figura, exprese en términos de los
vectores A y B, los vectores: a) P, b) R, c) S, d) Q
14.-
Sean los vectores A = 7i - 6j; B = -3i + 12j; C = 4i - 4j
Calcular: a) A+ B + C, b) A - B, C) A - C. Resp. A)
81 + 2j, b) 10i - 18j
15.-
Determine la magnitud y el ángulo del vector R = 71 - 12j Resp. 13,9 a -59,7º
16.-
Un bus contaminante se mueve en dirección norte con una rapidez de 70
km/hr. El humo que sale por el tubo de escape, localizado hacia arriba del bus,
forma un ángulo de 20º en dirección sudeste. Si el viento sopla en dirección
este, ¿cuál es la rapidez del viento en ese lugar? Resp. 25 km/h.
17.-
Un borrachín juega con una pistola en un avión que se dirige al este a 500
km/hr. El borrachín dispara la pistola directamente hacia el techo del avión. La
bala sale de la pistola con una rapidez de 1000 km/h. Respecto a un
observador en la tierra, ¿qué ángulo forma la dirección de la bala con la
vertical?
Resp. 26,6º
18.-
¿Qué desplazamiento se debe sumar a otro de 25i - 16j metros para que el
desplazamiento resultante sea de 7 metros en la dirección +x? Resp. -18i +16 j
metros
19.-
Un bote que se impulsa con una rapidez de 0,5 m/s en agua tranquila,
atraviesa (a lo ancho) un río de 60 m de ancho. El río fluye con una rapidez de
0,3 m/s. ¿Con qué ángulo, respecto a la perpendicular a la corriente, se debe
dirigir el bote? Resp. 37º río arriba.
20.-
Un automóvil, de 1200 kg de masa, se encuentra estacionado en un camino
plano que tiene una inclinación de 30º sobre la horizontal. Determine la
componente en la dirección del plano del camino del peso del automóvil.
Recuerde que el peso (W = mg) es un vector que apunta siempre hacia el
centro de la tierra.
21.-
Un automóvil recorre 20 km rumbo al norte y después 35 km en una dirección
60º al oeste del norte. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento
resultante del automóvil. 48,2 km; 38,9º
22.-
Si una componente de un vector no es cero, ¿su magnitud puede ser cero?.
Explique.
23.-
Si a + b = 0, ¿qué puede decir acerca de las componentes de los vectores a y
b.
w
w
w
.h
v
e
rd
u
g
o
.c
l
©
8.-
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos: a = 1,5i + 3j –
1,2k cm; b = 2,3i – 1,4j –3,6k cm; y c = -1,3i + 1,5j cm. Encuentre las
componentes del desplazamiento resultante y su magnitud. (2,5; 3,1; -4,8); 6,2
25.-
Una excursionista inicia una excursión caminando primero 25 km hacia el
sureste desde su campamento base. En el segundo día camina 40 km en una
dirección 60º al norte del este- Determine: a) la componente del
desplazamiento diario de la excursión, b) las componentes del desplazamiento
resultante, c) la magnitud y la dirección del desplazamiento total. a) (17,7; 17,7); (20, 34,6), b) (37,7; 16,9), c) 41,3 km; 24,1º al norte del este desde el
campamento base.
26.-
Un avión para viajeros abonados parte de un aeropuerto y toma la siguiente
ruta: primero viaja a la ciudad A, localizada a 175 km en una dirección 30º al
norte del este, luego se dirige a la ciudad B, a 150 km en dirección 20º al oeste
del norte y, por último, vuela 190 km al oeste hacia la ciudad C. Encuentre la
posición de la ciudad C respecto a la posición del punto de partida. 245 km;
21,4º al oeste del norte.
27.-
Las componentes x, y y z del vector B son de 4, 6 y 3 unidades,
respectivamente. Calcule la magnitud de B y los ángulos que forma B con los
ejes coordenados.
28.-
Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres desplazamientos que
tienen componentes (3, 2) m; (-5, 3) m y (6, 1) m.
29.-
Considere dos vectores A = 3i – 2j; B = -i – 4j. Calcule: a) A + B; b) A – B;
A + B |; d) | A – B |, e) la dirección de A + B, f) la dirección de A – B
30.-
Obtenga las componentes para los vectores de posición: a) 12,8 m, 150º; b) 3,3
cm; 60º; c) 22 pulg, 215º
31.-
Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos consecutivos: 3,5 m al
sur, 8,2 m al noreste y 15 m al oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?
32.-
Un golfista novato necesita tres golpes para hacer un hoyo. Los
desplazamientos sucesivos son 4 m hacia el norte, 2 m al noreste y 1 m 30º al
oeste del sur. Si empezara en el mismo punto inicial, ¿cuál sería el
desplazamiento más sencillo que un golfista experto necesitaría para hacer el
hoyo?
33.-
Un punto P está descrito por las coordenadas (x, y) en relación con el sistema
de coordenadas cartesiano ordinario. Muestre que (x’, y’), las coordenadas de
este punto en el sistema de coordenadas rotado, se relacionan con (x, y) y el
ángulo de rotación α por medio de las expresiones:
x’ = xcos α + ysen α
y’ = -xsen α + ycos α
c) |
w
w
w
.h
v
e
rd
u
g
o
.c
l
©
24.-
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl