Funciones - Recinto Universitario de Mayagüez

Funciones
Prof. Nilsa I. Toro
Catedrática
Recinto Universitario de Mayagüez
AFAMaC
Residencial Sept. 4 de 2010
Introducción
Es frecuente que se describa una cantidad
en términos de otra; por ejemplo:
1. El crecimiento de planta se asocia con la
cantidad de luz que recibe.
2. Demanda de un producto se pude asociar
con su precio.
3. El área de un cuadrado depende del largo
de uno de sus lados.
Suponga que es hora de llenar el tanque
de su automóvil. En la estación de
gasolina, la regular se vende a $2.49 por
galón. Notemos que el precio final que
paga esta determinado o asociado por el
número de galones que compra.
Número de galones
bombeados
Precio por número de
galones
0
0($2.49)=$0
1
1($2.49)=$2.49
2
2($2.49)=$4.98
3
3($2.49)=$7.47
En este ejemplo, el precio total depende de la
gasolina bombeada. Por esta razón, el precio
se denomina la variable dependiente y el
número de galones se llama la variable
independiente.
Podemos representar las cantidades
relacionadas por un par ordenado.
(variable dependiente, variable independiente)
Relación
Una relación es un conjunto de parejas
ordenadas.
1.
2.
Ejemplos
{(3,1), (0,-1), (-5,4), (2,2)}
{(3,1), (0,-1), (3,2), (2,-1)}
Función
Definición 1
Una función f es una regla que asigna a cada elemento
x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado
f(x), de un conjunto B.
A se conoce como el dominio de la función. El rango,
recorrido o campo de valores es el conjunto de todos
los valores posibles de f(x) conforme x varía en todo el
dominio.
rango
⊆
B
Definición 2
Una función f es un conjunto de pares ordenados con la
propiedad de que no dos pares ordenados tienen el
mismo primer elemento, de lo contrario es llamada una
relación.
El conjunto de todos los primeros elementos en la
función es llamado el dominio de la función y el
conjunto de todos los segundos elementos es llamado el
rango o recorrido.
Podemos pensar en una función como una
máquina de refrescos o de dulces que tiene
valores de entrada y valores de salida.
Botón Refresco
1
CoKe
2
7-Up
3
CoKe
4
Agua
5
Diet CoKe
6
Diet 7-UP
Ejemplos
Determinar si los siguientes conjuntos
representan una función.
1.
{(3,1), (0,-1), (-3,4), (1,2)}
2.
3.
{(3,0), (0,-1), (-3,2), (3,2)}
{(3,0), (0,-1), (-3,2), (4,2)}
Ejemplos
Función
Formas de expresión de una
función
1.
2.
Verbalmente
Para cada persona corresponde una edad.
Numéricamente - Por tablas o una lista de pares
ordenados
X
y
-1
0
½
1
2
1
2
3.
Gráficamente
1
−2
−1
1
2
3
−1
−2
−3
4.
Algebraicamente - Por una ecuación en dos
variables y = 3x+2
Notación de función
Cuando usamos una ecuación para
representar una función, nos referimos a ésta
de la siguiente manera:
Valor de entrada
Variable
independiente
x
Valor de salida Ecuación
Variable
dependiente
f(x)
f(x)=3x+2
Recordemos que f es el nombre de la función
y f(x) es el valor de la función en x.
Evaluar funciones
Para evaluar una función en un número a,
sustituimos el número a en la variable.
Ejemplos
Si f(x) = 5 - 2x, hallar f(-1), f(0), f(3), f(a).
Si f(x) = 4 + 3x, hallar el cociente de
diferencia f ( 2 + h ) − f ( 2 )
, h≠0
h
1.
2.
Ejercicios
Sean:
15
1. f ( x ) =
x−3
2. f ( x ) = − x 2 + 3 x + 16
3. f ( x ) = 25 − x 2
hallar:
f (6), g (−2), h(3), f (0) + g (4) − h(−3), f (a ), f (a + b)
Ejercicio
Para:
f ( x) = 2 x − 3x + 1
2
hallar:
f ( x + h) − f ( x)
, h≠0
h
Dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de
todas los valores de x que hacen que la
ecuación este bien definida.
Ejemplo: Hallar el dominio para cada una de
las siguientes funciones:
x
1. f ( x ) =
x−3
2. f ( x ) = − x + 3 x + 16
3. f ( x ) = x + 2
4. f ( x ) = 25 − x
2
2
Ejercicio
Hallar el dominio para cada una de las siguientes
funciones:
1. f ( x ) = x − 3 x + 1
2
1
2. f ( x ) =
x+5
3. f ( x ) = x − 2
La gráfica de una función
Es el conjunto de parejas ordenadas (x,f(x))
tal que x está en el dominio de f.
(x,f(x))
Rango
f(2)
f(x)
f(1)
0
1 2
y=f(x)
x
0
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio y el rango de la función
utilizando la gráfica.
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
5
Ejercicio
Hallar el dominio y el rango de la función
utilizando la gráfica.
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
2
3
4
5
6
Para hacer la gráfica de una función como
f(x) = 5 - 4x, lo hacemos igual que si
hiciéramos la gráfica de la ecuación y = 5 - 4x.
Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se
localizan los puntos en el plano y se conectan.
Además es bien útil saber buscar los
interceptos, estos son los valores donde la
gráfica corta los ejes coordenados.
Intercepto en x: se busca igualando y a cero
Intercepto en y: se busca igualando x a cero
1.
2.
Ejemplo:
1.
Hallar los interceptos de la gráfica de
f(x) = 5 - 4x.
2.
Dibujar la gráfica de f(x) = 5 - 4x.
3.
Observar dominio y rango f(x) = 5 - 4x.
Prueba de la recta vertical
Una manera de saber si una relación es una
función es analizando la gráfica de la
relación.
Si cualquier recta vertical pasa por más de
un punto de la gráfica , la relación no es
función.
Ejemplo
Determinar si las siguientes gráficas son las
gráficas de funciones.
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−4
5
−1
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
4
−4
−4
2
−5
2
1
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−4
−5
1
−3
3
−4
3
−1
−2
4
−3
−3
−2
−1
−2
−2
−3
5
−3
−4
2
3
4
5
2
3
4
5
Diferentes Tipos
de
Funciones
Función Lineal
Una función lineal es definida por la ecuación
que se puede escribir de la forma
f(x) = mx + b ó y = mx + b , donde m es la
pendiente de la recta y (0,b) el intercepto en y.
Observación:
Se puede aplicar en muchas situaciones, por
ejemplo en economía (uso de la oferta y la
demanda).
Gráficas de funciones lineales
La gráfica de una función lineal f es llamada
una recta, no es vertical ni horizontal.
f(x)
f(x)
x
m>0
Dominio: Reales
x
m<0
Rango: Reales
Aplicaciones de la función
lineal
1. Un “poster” es 10 pulgadas más largo que
su ancho. Encuentre una función que
modela el perímetro P en términos de su
ancho w.
2. Una mujer de 5 pies de altura esta de pie
cerca de un farol de 12 pies de altura, como
se muestra en la figura. Exprese la longitud
L de su sombra como una función de la
distancia d de la mujer a la base del farol.
Ejercicio
El largo de una cancha rectangular de tenis
en Winbledon es 2 pies más largo que su
ancho w. Exprese el perímetro P de la
cancha como función de su ancho w.
Función cuadrática
Una función cuadrática es definida por la ecuación
de la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c a ≠ 0
donde a, b y c son reales.
,
Gráficas de funciones
cuadráticas
Dada una función cuadrática
f ( x ) = ax + bx + c, a ≠ 0
2
podemos resumir las siguientes propiedades:
x=h
x=h
y
y
Vértice (h,k)
k
Vértice (h,k)
k
Max f(x)
Min f(x)
x
x
h
h
a>0
a<0
La gráfica de f es una parábola. Vértice (h,k)
f(h)=k es el mínimo si a > 0
Eje de simetría: x=h
Dominio: Reales
Rango:
f(h)=k es el máximo si a < 0
( −∞, k ]
si a < 0 ó [ k , ∞ ) si a > 0
Vértice
El vértice (h, k) se busca directamente de la
ecuación estándar
f ( x ) = ax + bx + c, a ≠ 0
2
−b
−b
h=
y k= f( )
2a
2a
Ejemplo
Dibujar la gráfica de
f ( x) = x − 4 x − 5
2
Ejercicio
Dibujar la gráfica de
f ( x) = − x + 2 x + 8
2
Función cúbica
La función cúbica es definida por la
3
f
x
=
x
ecuación de la forma ( )
Gráfica
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
4
5
.
Función raíz cuadrada
La función raíz cuadrada es definida por la
ecuación de la forma f ( x ) =
x
.
Observación: A diferencia de las anteriores
el dominio es diferente de los números
reales.
Gráfica de la función raíz
cuadrada
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
−1
−2
−3
−4
Dominio: { x x ≥ 0}
Rango:
{ x x ≥ 0}
−5
1
2
3
4
5
Ejemplos
Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:
1. f ( x) = x 3 + 1
2. f ( x) = ( x + 2 )
3
3. f ( x) = x − 3
4 . f ( x) = x − 1
Ejercicios
Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:
1. f ( x) = x3 − 1
2. f ( x) = ( x − 2 )
3
3. f ( x) = 1 − x
4 . f ( x) = 3 − x
FIN