Llamamos expresión algebraica a toda combinación de letras y

Llamamos expresión algebraica a toda combinación de letras y números relacionados entre sí a
través de las operaciones matemáticas
Ejemplo: 3x2z5 + 2πx3 – 2
Monomio.- Entendemos como tal toda combinación de letras y números relacionados entre sí,
por las operaciones de multiplicar y/o dividir (con sus extensiones de potencia y radicación)
Ejemplo 1.- 4x5y2 ,, Ejemplo 2.-
,, Ejemplo 3.-
√
Polinomio.- Llamamos así a la suma algebraica (sumas y restas) de monomios
Ejemplo : P(x,y,z) = 4x5y2 +
-
√
Polinomio éste en las variables x,y ,z obtenido con la suma algebraica de los monomios
anteriores.
Llamamos polinomio en una indeterminada (x) a toda expresión de la forma:
Pn(x) = ∑
= a0 x0+a1x+a2x2 + …+ aixi +… +anxn ,, ordenado en potencias crecientes de x
Que se sustancia en , Pn(x) = a0 +a1x +a2x2+ … +aixi + … +anxn en su ordenación creciente, y en
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + aixi +… + a2x2 + a1x +a0 , al ordenarlo de forma decreciente
Llamándosele a n , grado de este polinomio, y a los parámetros ai , coeficientes del mismo.Al
coeficiente a0 se le llama término independiente del polinomio
Términos semejantes: Son los monomios que tienen las mismas indeterminadas, afectadas de
los
mismos exponentes
Ejemplo, en P(x,y,z) = 4x2y – 5xy3+ 9x2y +2z + 6xy3,,
4x2y es semejante con 9x2y, por una parte
-5xy3 es semejante con 6xy3, por otra parte
Operaciones con polinomios.-
a) Sumas algebraicas de polinomios.- Se obtienen sumando y/o restando en cada
caso los términos semejantes de los polinomios que intervienen en la operación
Ejemplo: Dados P(x,y,z) = 13x2y + xy3+2z ,,,Q(x,y,z) = 4x3z -2x2y +5xy3 +9z -6, halla:
1) P + Q ,, 2) P – Q ,,,,
1) P + Q = (13x2y + xy3+2z) + (4x3z -2x2y +5xy3 +9z -6) 
P+Q = 4x3z + 11 x2y +6xy3 +11z -6 ,,,  P +Q = 4x3z + 11x2y + 6xy3 + 11z – 6
2) P – Q = (13x2y + xy3+2z) - (4x3z -2x2y +5xy3 +9z -6) , recordando que el signo (-),
menos delante de un paréntesis le cambia el signo a lo que hay dentro de él, nos
conduciremos a:
2
3
3
P – Q = 13x y + xy +2z - 4x z +2x2y - 5xy3- 9z +6 , ,,,y por lo tanto a :
P - Q = - 4x3z + 15 x2y - 4 xy3- 7z +6
b) Productos de polinomios .- Se multiplica cada monomio de uno por todos los
monomios del otro. Teniendo en cuenta en el operativo la significación y propiedades
del producto de potencias de la misma base (se suman los exponentes). Finalmente se
suman (algebraicamente, según signo) los términos semejantes que aparecen, entre sí.
Se pueden utilizar algoritmos (mecánicas operativas) que sitúen los términos
semejantes unos debajo de los otros, a fin de localizar mejor su presencia y cómputo
final.
Ejemplo: Siendo M(x) = 4x3 – 5x2 + 9x – 2 ,,, y N(x) = 2x2 +9x – 5,,,
En M(x) · N(x) , de acuerdo con lo expuesto tendremos:
4x3 – 5x2 +9x – 2
x
2x2 +9x – 5
------------------------------- 20x3 +25x2 - 45x +10
36x4 - 45x3 +81x2 - 18x
8x5 -10x4 +18x3 – 4x2
------------------------------------------------8x5+26x4 – 47x3+102x2– 63x
+10
Algoritmo operativo que podemos
formular acentuando la sistemática ,
con la tabla:
+8
+8
+36
- 10
+ 26
4
x
-5
2
9
9
-2
-5
- 20
- 45
+18
- 47
+25
+81
- 4
+102
- 45
- 18
10
- 63
+10
x5
x4
x2
4
-5
2
25
81
-4
102
-20
-45
18
-47
36
-10
26
8
8
x3
x
9
9
-45
-18
a0
-2
-5
10
-63
10
Interpretamos el algoritmo de la multiplicación de polinomios con la lectura
del resultado
En la última fila, que en este caso es:
M(x)· N(x) = 8x5 +26x4 – 47x3 +102x2 -63x +10
Lo que nos sugiere el operativo del proceso contrario a la multiplicación de
polinomios, esto es , su división:
Ejemplo: Dividir 12x5 -4x2 +3x -2 entre 2x2 -6x +1.
Disponemos el algoritmo en forma de tabla, y función obviamente de los
coeficientes
de los polinomios dividendo y divisor (el que se divide, y el que divide…)
x5
12
-12
0
x4
0
+36
+36
-36
0
x3
0
-6
-6
+
108
+102
-102
0
6
Cociente:
Resto:
x2
-4
X
3
a0
-2
2
-6
1
-4
-18
-22
+306
+284
-284
0
+18
3
-51
-48
+852
+804
+51
x2
x
b0
-2
-142
-144
+142
6x3 + 18x2 + 51x + 142
804x - 144
Obteniendo como resultado pues: 6x3 +18x2 +51x + 142 como cocienteR(x)
Siendo el resto , R(x) = 804x -144
,,, Productos Notables: Llamamos así de una forma muy generalizada a
determinados productos (o potencias ), cuya presencia es habitual en toda clase de
operaciones y que por lo tanto hacen muy útil, estén a máxima desenvoltura y muy
consolidados en el manejo por parte de los alumnos.
Son, (a +b)2 = (a +b)·(a +b) = a2 + ab + ba + b2  (a +b)2 = a2 +2ab + b2
Observamos como el cuadrado de una suma de dos términos, resulta ser igual al
cuadrado del 1º más el doble del 1º por el 2º más el cuadrado del 2º término de la
suma
Análogamente, (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 :::Véase lo que corresponde a los
productos y cuadrado de (- b)
Por lo tanto observamos igualmente, como el cuadrado de una diferencia de 2
términos, resulta ser igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el
segundo más el cuadrado del segundo término (en la diferencia)
Asimismo (a + b) ·(a – b) = a2 –ab +ba – b2  (a + b)·(a – b) = a2 – b2
Vemos como el producto de una suma de 2 términos por su diferencia, resulta ser
igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo (de los términos)
División de Ruffini: Llamamos así, a las de un polinomio Pn(x), entre un binomio
de la forma x - a
Obviamente obtendremos un cociente, de grado n – 1, y un resto sin x (es decir, de
grado 0)
Naturalmente , tendremos:
Pn(x)
R
|x–a
Cn-1(x)
,
siendo a todos
los efectos
como es natural: (*)
valga lo que valga la x
Pn(x) = (x –a)· Cn-1(x) + R
Por lo tanto, si en la relación (*) , hacemos
, y esto válido ∀
, es decir
x = a,
0
//
tendremos: Pn(a) = (a – a)· Cn-1(a) + R Pn(a) = R
Vemos que el valor numérico del polinomio para x =a, es igual al resto R de dividir
dicho Polinomio entre x - a
,, y que aquellos polinomios cuyo valor numérico para x=a, es cero, son divisibles
(tienen división exacta) por x – a.
Ello nos proporciona una herramienta de lo más eficaz para factorizar polinomios
que sean factorizables
Para la factorización de Pn(x), en factores (x – a), nos bastará probar valores a que
hagan a P(a) = 0
Los valores enteros de a que hagan a P(a) = 0, habrán de ser además divisores del
término independiente del polinomio. Lo que facilitará evidentemente su localización
En efecto, sea Pn(x) = bnxn +bn-1xn-1 + ….+ b2x2 + b1x + b0 ,,, y además P(a) =0 
bnan + bn-1an-1+ …+ b2a2 +b1a + b0 = 0, y por lo tanto al despejar b0,
nos queda igual a la
suma algebraica de términos, todos con el factor a, que podremos sacarlo fuera de un
paréntesis. En definitiva
b0 igual a a por algo, y por lo tanto múltiplo de a,, y a , divisor de b0
b0 = -bnan – bn-1a n-1 - … - b2a2 – b1a ,,términos todos con a que
podremos sacar factor común
Siendo b0 = a(-bnan-1 - …),, b0, es múltiplo de a. Y a es divisor de b0
Ejemplo: Para factorizar P(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12 , probamos factores x – a, con a
divisor de 12,, nos valdrían
por lo tanto ±1, ±2, ±3, ±4, ± , ±12 en principio. O esos son los valores de a, con los
que hacer los tanteos
Descartamos ± 1 , al ser 𝑃(±1) ≠ 0 ,,Como P (2) = 23 +3·22 – 4·2 – 12 = 0 ,, P(-3) =
(-3)3+3·(-3)2 -4·3 -12 = 0,,y
también P(-2) = (-2)3 +3·(-2)2 – 4·(-2) -12 = 0,, podremos factorizar P(x), en este caso ,
en la forma:
𝑃( ) = x3 +3x2 – 4x – 12 ≡ (x – 2)·[x- (- 2)]·[x – ( - 3)],, es decir:
 x3 +3x2 – 4x -12 ≡ (x-2)(x+2)(x+3) = P(x) , factorizado
En general para la factorización de cualquier polinomio se siguen
ordenadamente los siguientes
pasos:
1.- Se saca factor común todo lo que se pueda
2.- Se tienen en cuenta los productos notables
3.- Para lo que quede por factorizar se prueban factores de la forma (x – a),
según lo antepuesto
Ejemplo: Factoriza 4x4z2y – 4x3yz2 – 36x2z2y +36xyz
1.- Extraemos factor común: 4xyz2(x3 – x2 -9x +9) ,,
2.- Para el polinomio entre paréntesis notamos que P(1) = 0 ,, tendremos por lo
tanto el factor (x -1)
3.- Como además los factores (x – a) con a entero obliga a a a ser divisor de 9,
probamos P(3), que
Efectivamente nos da P(3) = 33- 32 – 9·3 +9 = 0,, y también P(- 3)= 0,,con lo que
tendremos los factores
(x – 3) y también [x – (- 3)], y la factorización pedida será finalmente:
4x4yz2 – 4x3yz2 – 36x2yz2 + 36xyz2 ≡ 4xyz2(x – 1)(x -3)(x+3)
En donde ya podemos apreciar que las raíces (valores de las variables que hacen a
la expresión = 0) , son
además, y =0,, z = 0 (doble),, x = 0,, x = 1,, x = 3,, x = - 3 ,, Para esos valores la expresión
final se hace cero
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Ejemplo 2 .- Factoriza 2x y -8x y
1.- Extraemos factor común: 2x2y3(x4 -4)
2.- Tenemos en cuenta que x4 – 4, es un producto notable x4 – 4 ≡ (x2 -2)· (x2 +
2)
Siendo además el 1º de los paréntesis producto notable,, x2 – 2 ≡ ( − √2)( + √2)
3.- Notamos que el factor (x2 +2), nunca va a ser = 0,,ya que siempre será un valor
positivo. Por lo tanto
(x2 + 2) , no es factorizable en factores (x – a ) , con a número real.
Resultado final de la factorización, 2x y – 8x y ≡ 2x y (x -√𝟐)(𝒙 +
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√𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐)
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE RUFFINI.- Aunque la división de Ruffini
como cualquier otra siempre la podemos efectuar por el procedimiento general,
disponemos de una mecánica operativa - muy cómoda – para la misma.
(Cuyo fundamento teórico lo obtenemos de identificar términos del polinomio cociente
Cn- 1(x), y el Resto , R con el polinomio dividendo , en la multiplicación inversa y suma
que suscita) ,,dividendo =divisor x cociente + Resto
Pn(x) = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Cn -1(x) = cn – 1xn-1 + cn – 2xn-2 + cn – 3xn-3 + … + c2x2 + c1x + c0
,, (dividendo)
,, (cociente)
,,
R (resto)
Con dicha estructura operativa, en la forma:
Pn(x)= bnxn + bn- 1 xn-1 + bn- 2 xn-2 + … + b2x2 + b1 x + b0
|x–a
cn-1xn-1 + cn-2xn-2 +
2
…. + c2x + c1x + c0
Disponemos el esquema operativo en la forma:
bn
a
|
bn-1
bn-2
…..
b2
b1
b0
a·bn
bn
+(… )
(bn-1+ a·bn )
cn-1
R
cn-2
c2
Ejemplo: Dividir 2x3 – 4x +2 entre
c1
c0
R
x–3
Diponemos en este caso de acuerdo con lo antepuesto, el esquema operativo en
la forma:
2
3 |
2

0
-4
2
6
18 42
6
14
| x -3
2x2+ 6x + 14
44 =R
2x2 +6x + 14 , como cociente y 44 como resto
Cociente: C(x ) =2x2 +6x + 14
Resto, R = 44