MÉTODOS NUMÉRICOS

Nombres y apellidos de los miembros del grupo:
MÉTODOS NUMÉRICOS - E.T.S.I.I.
TRABAJO DE LA ASIGNATURA - CURSO 2004-2005
Realizar un programa en MATLAB que resuelva un sistema de ecuaciones
no simétrico mediante algoritmos iterativos basados en métodos de ortogonalización. El trabajo debe considerar los siguientes aspectos y requisitos:
a. Algoritmo del FOM.
b. Algoritmo del GMRES(w).
c. Algoritmo del variable GMRES.
d. Representación gráfica de la curva de convergencia.
e. Presentación de manual de usuario del programa.
f. Presentación de ejemplos.
Algoritmo FOM
Aproximación inicial x0 . r0 = b − Ax0 , β =k r0 k, y v1 = r0 /β
Definir la k × k matriz Hk = {H}i,j=1,...,k ; poner Hk = 0
Desde j = 1, ..., k hacer
wj = Avj ;
Desde i = 1, ..., j hacer
{H}ij = hwj , vi i;
wj = wj − {H}ij vi ;
Fin
{H}j+1,j =k wj k; Si {H}j+1,j = 0 poner k = j y parar
1
wj ;
vj+1 =
{H}j+1,j
Fin
Resolver Hk yk = βe1
Calcular xk = x0 + Vk yk
Algoritmo GMRES
Aproximación inicial x0 . r0 = b − Ax0 ;
Definir la (k + 1) × k matriz Hk = {H}1≤i≤k+1,1≤j≤k . Poner Hk = 0.
Desde j = 1, ..., k hacer
wj = Avj
Desde i = 1, ..., j hacer
{H}ij = hwj , vi i;
wj = wj − {H}ij vi ;
Fin
{H}j+1,j =k wj k; Si {H}j+1,j = 0 poner k = j y parar
1
wj ;
vj+1 =
{H}j+1,j
Fin
Hallar yk que minimiza βe1 − Hk y ;
Determinar xk = x0 + Vk yk siendo Vk = [v1 , v2 , ..., vk ];
Calcular rk = b − Axk
Algoritmo VFGMRES
Aproximación inicial x0 . r0 = b − Ax0 ;
Elegir kinit , ktop , δ ∈ [0, 1], k = kinit
Mientras k b
ri−1 k / k r0 k≥ ε (i = 1, 2, 3, ...),
βi−1 = k ri−1 k, vi = ri−1 /βi−1 ;
Si k ri−1 k / k r0 k≥ δ y k < ktop hacer k = k + 1;
Para j = 1, ..., k hacer
Resolver Mzj = vj ;
w = Azj ;
Para n = 1, ..., j hacer
{H}nj = wt vn ;
w = w − {H}nj vn ;
Fin
{H}j+1,j =k w k;
vj+1 = w/ {H}j+1,j :
Fin
Resolver Utk p̄ = dk y Uk p = p̄;
{dk }m = {H}1m
l, m = 1, ..., k;
con
{Uk }lm = {H}l+1,m
βi−1
;
λi =
1 + dtk p
uk = λi p;
xi = xi−1 + Zk uk ; siendo Zk = [z1 , z2 , ..., zk ];
{r̂ } = λi
ri = Zk+1 r̂i ; con i 1
l = 1, ..., k;
{r̂i }l+1 = −λi {p̄}l
Fin