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El cuerpo negro
Imaginemos un cuerpo
que absorbe toda la
radiación que le llega.
Típicamente la eficiencia
no es tan grande
(a~0.99), pero se puede
encontrar algo que se
comporta casi igual: Un
agujero en una cavidad.
Radiación del cuerpo negro (II)
La luz emitida por un cuerpo negro escapaba a la
explicación de la física clásica.
Kirchoff demostró que su espectro depende solo de la
temperatura.
Leyes empíricas:
Ley del desplazamiento de Wien
Ley de Stefan-Boltzmann
Leyes teóricas:
Ley de Rayleigh-Jeans
Ley de Wien
Espectro del cuerpo negro
¿Cómo es la distribución de la energía que emite un
cuerpo negro con la longitud de onda (o frecuencia)
y la temperatura?
Ley de desplazamiento de Wien
La longitud de onda del máximo y la temperatura están
relacionadas de forma que:
Ley de Stefan-Boltzmann
La potencia por unidad de area que emite un cuerpo
negro depende de la temperatura con la ley:
W = σ ·T 4
con σ=5.670·10-8 (Wm-2K-4) (cte de Stefan-Boltzmann)
Kirchhoff prueba:
Usando la 2ª ley de Termodinámica
a) La radiación en la cavidad es isótropa
b) La radiación en la cavidad es homogénea
c) Isotropía y homogeneidad son aplicables a cada
longitud de onda λ
Se introduce la función de distribución espectral ρ(λ, T)
de forma que
ρ(λ, T)dλ es la energía por unidad de volumen con
longitud de onda entre λ y λ+dλ
Relación con la radiancia espectral: ρ(λ, T)= 4c-1R(λ,T)
Wien (en 1893)
A partir de argumentos termodinámicos prueba:
La distribución espectral ρ(λ,T) debe ser de la
forma
ρ (λ , T ) =
1
λ
5
f (λT )
A partir de ella se reproduce la ley de Stefan-Boltzmann y
la ley de desplazamiento de Wien
Modelo teórico para determinar f(λT)
De la teoría em: la radiación en una cavidad debe
existir en forma de ondas estacionarias
El número de estas ondas en la cavidad (modos de
vibración) por unidad de volumen con longitud de onda
entre λ y λ+dλ es
8π
λ
4
dλ
La función de distribución espectral ρ(λ,T) resulta
n(λ )ε
=
8π
λ
4
ε
Modelo para determinar f(λT) (II)
Rayleigh-Jeans: los átomos de las paredes
radian como osciladores armónicos lineales
de frecuencia f=c/λ
La energía de cada oscilador puede tomar
cualquier valor entre 0 e infinito
Según la mecánica estadística clásica, la
energía promedio se calcula usando la
distribución de Boltzmann
Energía promedio
La distribución de Boltzmann es válida para
sistemas con un número grande de entes del
mismo tipo en equilibrio térmico.
Si β= (kT) -1, con k = 1,38·10-23 J/K cte. de Boltzmann
∞
∫ ε exp(− βε )d ε
ε = 0∞
∫
0
exp(− βε )d ε
∞

d
1
= −
ln  ∫ exp(− βε )d ε  = = kT
β
dβ 0

Ley de Rayleigh-Jeans
En resumen, Rayleigh calculó el espectro del cuerpo negro
teniendo en cuenta que:
El número de ondas estacionarias en una caja depende de la
frecuencia como
2
8πf
n( f ) = 3
c
La energía promedio de cada modo es E=kT
Distribución espectral de Rayleigh-Jeans
Así se obtiene la ley de distribución espectral de Rayleigh-Jeans
ρ (λ , T ) = n(λ )· ε =
8π
λ
4
kT
Para longitudes de onda grandes reproduce los
resultados experimentales
Para λ → 0 fracasa, prediciendo en conjunto energía
total por unidad de volumen infinita: catástrofe ultravioleta
La ley de Rayleigh-Jeans y la catástrofe
ultravioleta
n(λ )ε
=
8π
λ
4
kT
La solución de Planck
Para resolver el problema, Max Planck propuso en
1900:
La energía de un oscilador de frecuencia f sólo
puede tener valores discretos:
ε = n ε0
Siendo n un entero y ε0 finito (cuanto de energía)
En este caso la energía promedio de un conjunto
de osciladores de frecuencia f en equilibrio
térmico será:
∞
ε
=
∑ nε
n =0
exp(− βnε 0 )
∞
∑ exp(−βnε
n =0
d
=−
dβ
0
0
)
d
=−
dβ
 ∞

ln ∑ exp(− βnε 0 )
 n =0

 

1
ε0


ln
=
 


  1 − exp(− βε 0 )  exp( βε 0 ) − 1
Así se obtiene para la distribución espectral ρ(λ,T):
ρ (λ , T ) =
8π
ε0
λ exp(ε 0 / kT ) − 1
4
Para que se cumpla la ley de Wien, ε0 debe ser proporcional a la
frecuencia
ε 0 = hf =
hc
λ
donde h es la cte. de Planck
Por tanto la ley de distribución espectral de
Planck será:
ρ (λ , T ) =
Para λ grande:
Para λ
0,
8π hc
λ
5
ρ (λ , T ) →
1
exp(hc / λkT ) − 1
8π kT
λ4
ρ (λ , T ) → 0
De acuerdo con la ley
de Rayleigh-Jeans
Se evita la catástrofe
ultravioleta
Casos particulares
A partir de la distribución espectral de Planck se
reproduce la ley de Wien
λmáx T
hc
=
4'965k
Y la ley de Stefan-Boltzmann
ρtot = a T4
8π 5 k 4
con a =
15 h 3c 3
A partir de ellas se determina h = 6’626·10-34 J·s
La solución clásica vs la solución cuántica
La Ley de Wien
En 1896, usando su ley del desplazamiento y la ley
de Stefan-Boltzmann, Wien propone la siguiente
ley:
E(λ )= (c1 / λ5) / exp(c2/λT)
El mejor cuerpo negro: La radiación de fondo
Curiosidades: ¿Cuánto irradia una persona?
Para saber cuanto irradia una persona supondremos
que:
Tiene eficiencia=1
Está a unos 28ºC y el ambiente a unos 20ºC
Tiene un area de unos 2 m2
Pneto=Pem-Pabs=σA(Tc4-Tamb4)≈95 watios
Curiosidades II: La tierra y el sol
La tierra recibe energía que es
radiada por el sol y la reemite.
¿Existe una relación entre sus
temperaturas?
Ts4Rs2=α4D2TT4
Usamos:
TT=15ºC = 288K
RS=6.96·108m
D=1.5·1011m
Entonces Ts~5470-5980K
La solución de Planck
Para resolver el problema, Max Planck propuso en 1900
una ecuación que estaba perfectamente de acuerdo
con las observaciones: