Clase 4

Clase 4
La gestación de la Mecánica Cuántica.
La radiación del cuerpo negro.
Ya mencionamos en la introducción que hacia finales del siglo XIX se conocían una
serie de fenómenos para los cuales se carecía de una explicación satisfactoria, aunque se
creía que el encontrarla, basándose en los conocimientos entonces disponibles (lo que
ahora llamamos Física Clásica), era tan solo una cuestión de tiempo. Uno de estos
fenómenos era el espectro óptico emitido por una cavidad practicada en algún objeto
refractario, cuando éste se calentaba a temperaturas elevadas: la llamada radiación del
cuerpo negro. En el proceso de explicación de este fenómeno, Max Planck, un producto de
la más conservadora tradición científica alemana, se vio en la necesidad de postular una
idea que estaría llamada a modificar, también de manera esencial, nuestras concepciones
sobre la estructura de la materia. Veamos cómo fueron sucediendo las cosas.
Es un hecho conocido por casi todo el mundo que un objeto caliente emite radiación
visible si su temperatura es suficientemente elevada. Menos conocido es el hecho de que
el espectro de la radiación emitida por el interior de una cavidad practicada en un material
refractario es independiente de su forma o composición. Por ejemplo, si la temperatura es
suficientemente alta, es imposible distinguir los objetos que se encuentran en el interior de
un horno, por variada que pueda ser su composición. Es decir, toda cavidad radiante emite
el mismo espectro, independientemente de su forma, tamaño o composición. La distribución
espectral de esta radiación depende de la temperatura a la que se encuentre la cavidad, y
su aspecto general se muestra en la figura 5-9. La radiación en el interior de la cavidad está
en equilibrio térmico con los materiales en su interior (objetos, paredes). La radiación
térmica emitida por la cavidad es de mayor intensidad que la emitida por la parte corpórea
que la constituye. A la radiación proveniente de la cavidad se le llama radiación del cuerpo
negro, en virtud de que, en una situación idealizada, la cavidad absorbe toda la radiación
que a ella llega.
La coloración observada de la radiación emitida por un cuerpo negro varía con la
temperatura de la siguiente manera:
550 C (823 K)
rojo oscuro.
750 C (1023 K)
rojo cereza.
900 C (1173 K)
anaranjado.
1000 C (1273 K)
amarillo.
1200 C (1473 K)
blanco.
Intensidad relativa
800 K
1000 K
1200 K
1500 K
0
1
2
3
4
Frecuencia  (x 10 Hz)
Figura 5-9. Distribución espectral de una cavidad
radiante como una función de .
Llamemos (,T)d a la energía radiada por unidad de volumen comprendida entre 
y d; es decir, , T  
1 dE
, en donde E es la energía promedio de la radiación dentro
V d
de la cavidad de volumen V. En 1879 Joseph Stefan (de manera empírica) y en 1884
Ludwing Boltzmann (teóricamente) encontraron que la energía total emitida por unidad de
área y por unidad de tiempo R por la cavidad (también llamada radiancia) debería ser
proporcional a la cuarta potencia de la temperatura; es decir
R  T 4
(5-5)
en donde  = 5.6693 x 10-8 W/m2K4 es la llamada constante de Stefan-Boltzmann.
En 1893, Wilhem Wien demostró que (,T)d debería tener la forma general
(,T)d =  f(/T)d
(5-6)
y, por lo tanto, f(/T) debería tener un significado fundamental, en virtud del carácter
universal de la radiación del cuerpo negro. En 1896, el mismo Wien propuso, usando un
argumento dudoso, que
f(/T) =  exp(-ß/T)
(5-7)
 (,T)d = 3 exp(-/T)d
(5-8)
así que
(de la ecuación anterior se puede demostrar, calculando el máximo de (,T), que Tmax =
cte, que es la forma más conocida de la ley de Wien).
La ley de Wien explicaba los datos conocidos experimentalmente hasta 1899, sobre
todo para altas frecuencias (ver la Fig 5-10). Por otra parte, en 1900 Lord Rayleigh y en
1905 James Jeans, encontraron, basándose en consideraciones geométricas y
termodinámicas, que
, T d 
8 2
kTd  ,
c3
(5-9)
Ley de Rayleigh-Jeans
Intensidad
Intensidad
Ley de Wien
Frecuencia
Figura 5-10. La ley de Wien
Frecuencia
Figura 5-11. La ley de Rayleigh-Jeans
en donde k se llama constante de Boltzmann. Esta expresión estaba evidentemente
mal, ya que conducía a una emisión de radiación que tendía a infinito para altas
frecuencias (Fig. 5-11), fenómeno que recibió el curioso nombre de catástrofe
ultravioleta.
Max Planck, basándose en los trabajos anteriores, hizo una revisión exhaustiva del
problema, tomando como hipótesis y metodología las de Boltzmann (osciladores armónicos
en equilibrio con la radiación electromagnética de la cavidad) y llegó a la conclusión de que
la única manera de explicar cuantitativamente los datos experimentales recientes de la
radiación del cuerpo negro (obtenidos en 1900 por dos amigos suyos: Heinrich Rubens y
Ferdinand Kurlbaum) era suponiendo que la radiación emitida o absorbida por los
osciladores armónicos, por los cuales sustituyó a los átomos de las paredes de la cavidad,
tenía que estar cuantizada (es decir, la radiación se tenía que absorber o emitir en
"paquetes") de tal forma que
E = h(5-10
en donde  es la frecuencia de la radiación. Planck presento sus resultados el último mes
(14 de diciembre) del último año (1900) del siglo XIX.
Con esta hipótesis, Planck llegó a la siguiente expresión para la densidad de energía
radiada por el cuerpo negro:
, T d 
8h 3
1
d
3
h kT
c
e
1
(5-11)
la cual concordó totalmente con los datos experimentales disponibles, incluyendo la zona
de bajas frecuencias (Fig. 5-12). El valor de h que resulta de ellos es
h = 6.6256 x 10-34 Js.
(5-12)
¡El óvulo había sido fecundado!
Intensidad
Ley de Planck
Frecuencia
Figura 5-12. Distribución de intensidades como
función de la frecuencia según la ley de Planck.
Podemos obtener la densidad de energía total radiada por el cuerpo negro integrando
la expresión (5-7) a todas las frecuencias; es decir



Etotal
8 h  3d
8 h  k 4T 4  x 3dx
   ( )d  3  h kT
 3  4  x
 aT 4
V
c 0e
1 c  h  0 e 1
0
con
 h 
x   ,
 kT 
El valor de la constante a es
y
 hd 
dx  

 kT 
(5-13)
a  51.9504
k4
3 3
ch
 7.5643x1016
J
(5-14)
m K4
3
que está directamente relacionada con la constante de Stefan-Boltzmann
Por otra parte, la expresión de Planck concuerda con la ley de Wien cuando la
frecuencia tiende a infinito.
, T  
8h 3
1
3
h kT
c
e
1


 
8h 3 h kT
e
c3
(5-15)
y también concuerda con la ley de Rayleigh-Jeans cuando la constante de Planck tiende a
cero.
lim , T  
h0
8 2kT
c3
(5-16)
ya que
e h kT  1 
h
kT
y
e h kT  1 
h
kT
La frecuencia para la cual la intensidad de la emisión es máxima se obtiene de
1
2  h  h kt
d 24h 2 h kt
8h3 h kt

e

1

e
 1 
 0,



e
3
3
d
c
c
 kT 
(5-17)
o bien:
1 - e-x – x/3 = 0
con
x = h/kT = hc/kT.
(5-18)
Por aproximaciones sucesivas se obtiene que x = 2.8214 y de ahí
T = cT/= b = constante = 2.897 x 10-3 m x K
(5-19)
Es interesante notar que, a 1273 K (1000 oC) el máximo de la emisión cae en el
infrarrojo mediano ( = 2276 nm) ¿Por qué entonces se ve amarilla la radiación emitida por
un cuerpo a esa temperatura? Más aun, la figura 5-12 muestra la distribución espectral a
diferentes temperaturas y en ella se puede apreciar que, en todos los casos, el máximo de
la distribución está muy alejado de la región visible del espectro.
Intensidad relativa
1450 K
1810 K
1930 K
2230 K
2415 K
0
1
2
3
4
5
6
7
Longitud de onda  (en m)
Figura 5-13. Distribución espectral como función de la longitud de
onda  emitidas por un cuerpo negro a diferentes temperaturas. La
banda de colores indica la región visible del espectro.