4° E.M.

Colegio SSCC Concepción
Depto. de Matemáticas
Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES
Capacidades/Destreza/Habilidad:
Racionamiento Matemático/Calcular/ Resolver
Valores/ Actitudes:
Curso:
4° E.M.
10
Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo,
Cumplimiento
Aprendizajes Esperados:
Calcular intervalos con determinado intervalo de confianza
que contengan la media de una población
Recursos TICs:
Resolución de las problemáticas a través de un POWERPOINT
en la pizarra
Evaluación de proceso:
Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clase
Tiempo:
Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme
Unidad: Estadísticas Inferencial
Nombre: ________________________________________________ CURSO: ______
1
Funciones
Dados dos conjuntos A y B, una función entre ellos
es una asociación f que a cada elemento de A le
asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es
el dominio (también conjunto de
partida o conjunto inicial) de f y que B es
su codominio(también conjunto de
llegada o conjunto final).
Función Inyectiva
Una función f : X  Y es Inyectiva si a
elementos distintos del conjunto X (dominio) les
corresponden elementos distintos en el
conjunto Y (codominio) de f. Es decir, cada
elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una
preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el
conjunto X no puede haber dos o más
elementos que tengan la misma imagen.
Definición formal
De manera más precisa, la función f : X  Y es Inyectiva cuando se cumple
alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

* Si
a y b son elementos de X tales que f(a) = f(b) , necesariamente se cumple
a= b .

Si a= b son elementos diferentes de X , necesariamente se cumple f(a)  f(b)
Simbólicamente,
para todo a, b  X , f(a) = f(b)  a = b
Función Sobreyectiva
Una función f : X  Y es una función Sobreyectiva si
el Recorrido de la función es igual al Codominio.
2
Función biyectiva
Una función f : X  Y es biyectiva si es
simultáneamente Inyectiva y Sobreyectiva
Función Inversa
1
Se llama función inversa de f : X  Y a otra función f : Y  X que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
 No todas las funciones tienen una inversa asociada a ella
 Una función para que admita inversa debe ser biyectiva
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 3
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su
función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:
1. Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
2. Despejar la variable independiente x.
3. La función así obtenida es la inversa de la función dada.
Obs. Las gráficas de dos funciones, f y f-1 son simétricas respecto de la recta y = x
3
Ejemplo 1
• Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones
en el mismo sistema de ejes.
Resolución:
1. Se intercambian las variables x = 5y – 2
2. Se despeja y  y 
x2
5
3. Se obtiene la función inversa  f 1(x) 
x2
5
Ejemplo 2
• Hallar la función inversa de f(x)  x ,
Resolución:
El Dom. de f es [0, +[ luego el Recorrido de f-1 debe ser [0, +[
El Rec. de f es [0, +[ luego el Dom. de f-1 debe ser [0, +[
1. En y  x se intercambian las variables x  y
2. Se despeja y  y = x2
3. Se obtiene la función inversa  f 1(x)  x 2
4. y queda definida así f 1 : 0,     0,    ; f 1(x)  x 2
Luego lo importante en la búsqueda de la función inversa es asegurarse que la
función es Biyectiva y luego identificar el dominio y recorrido de la función dada.
Ejemplo
x4
considerando el mayor Dom. subconjunto de los números
5x
Reales, encontrar la función inversa
Dada la función f(x) 
x4
es IR – { 5 }
5x
x4
El Recorrido de f(x) 
se obtiene de la misma forma que la función inversa
5x
El dominio de f(x) 
x4
x4
 y
 y(5  x)  x  4  (5y  xy)  x  4  5y  4  x  xy 
5x
5x
5y  4
5x  4
5x  4
x 
 Dom (f-1)= IR – {-1 }
5y  4  x(1 y) 
 y  f 1(x) 
1 y
1 x
1 x
Rec (f)= IR – {-1 }
f(x) 
4
Finalmente la función f queda definida:
x4
f : IR 5  IR 1 ; f(x) 
5x
-1
Y la función f queda definida:
f 1 : IR 1  IR 5 ; f 1(x) 
5x  4
1 x
Las funciones cuadráticas y de la forma f(x)= x 2n llamadas funciones potencias pares
(por tener exponentes pares) no son biyectivas, pero se puede restringir el dominio
para poder redefinirlas y dejarlas Inyectivas y Sobreyectivas.
Obs. Gráficamente toda función en que una recta de pendiente = 0 (horizontal)
corten en 2 ó más puntos a la curva, no es una función Inyectiva.
Obs. Son funciones Inyectivas en todo su Dominio las siguientes:
Función Lineal, Función exponencial, Función raíz cuadrada, Función logarítmica,
Ejemplo
Dada la función f(x) = (x-1)2 +1 no biyectiva restringir su dominio y codominio para
definirla biyectiva y encontrar su función inversa.
Solución:
Consideraremos como dominio de f(x) = (x - 1)2 +2 al intervalo
1,    y como Codominio al intervalo 2,    con esto la
gráfica de la función quedaría como una media parábola (la
rama de la derecha)
Ahora identificaremos la aplicación de la función inversa
f(x) = (x - 1)2 +2  y = (x - 1)2 +2  x = (y - 1)2 +2
Debemos despejar “y”  0  y2  2y  3  x  y 
y
2  4  4(1)(3  x)

2(1)
2  4x  8
2  4x  8
 f 1(x) 
2(1)
2(1)
f 1 : 2,     1,    ; f 1(x) 
2  4x  8
2
5
Grafica de f(x) redefinida y f-1(x) ambas simétricas a la recta y = x
Ejercicios
Dada las siguientes funciones redefinir el dominio y codominio si es necesario para
definir a la función biyectiva y deduzca la función inversa.
1. f(x) = 4x – 5
2. f(x) = 2x2 - 7
3. f(x) = x2 - 2x - 2
4. f(x) = 3x2 + 5x
5. f(x) 
x 1
4x
6. f(x) 
4x  3
7  2x
7. f(x)  x 3
8. f(x)  x
9. f(x)  3 x
10. f(x)  2X
11. f(x)  log3 x
6
7