Series de Fourier en la codificación de bits a señales digitales

Series de Fourier en la codificación de bits a señales digitales
Federico Joaquín
Estudiante de Ingeniería en Sistemas de Computación
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Agosto 2013
Resumen: La utilización de medios tecnológicos como computadoras y otros dispositivos electrónicos, nos facilitan hoy día
un abanico amplio de herramientas aplicadas a la ciencia, la industria, las comunicaciones, el entretenimiento, etc. En un
primer paso el ser humano abstrae estas herramientas en hardware y software; dentro de éste último distingue programas
como secuencias de 1s y 0s y reconoce su codificación mediante diferentes voltajes en circuitos eléctricos. Ahora bien,
¿cómo se transmiten esos voltajes? Describiremos las series de Fourier como la herramienta matemática para la realización
de este proceso de transmisión de datos.
Palabras clave: Codificación, Bits, Series de Fourier, Señales Digitales.
I.
INTRODUCCIÓN
La tecnología electrónica es hoy por hoy una de las herramientas más utilizadas en el mundo dentro de
cualquier ámbito, y en constante avance ya sea desde el punto de vista de fabricación como de investigación e
innovación. La automatización creciente de sistemas y procesos que conlleva necesariamente a la utilización
eficiente de computadoras digitales, da lugar a muchas áreas donde la tecnología electrónica es fundamental;
entre ellas, las redes de computadoras, sistemas operativos y en el diseño de sistemas basado en
microcomputadoras o microprocesadores, que implica diseñar programas y sistemas basados en componentes
electrónicos.
En esta aplicación, haremos mención a la transmisión de datos mediantes señales digitales, y en particular
daremos lugar a la explicación de cómo las Series de Fourier como herramienta matemática, intervienen en este
proceso más que importante y que da lugar a un amplio campo de desarrollo e investigación.
Ahora bien, establezcamos algunas cuestiones preliminares: La señal digital es un tipo de señal generada
por algún tipo de fenómeno electromagnético en que cada signo que codifica el contenido de la misma puede ser
analizado en término de algunas magnitudes que representan valores discretos, en lugar de valores dentro de un
cierto rango. Por ejemplo, el interruptor de la luz sólo puede tomar dos valores o estados: abierto o cerrado, o la
misma lámpara: encendida o apagada. Esto no significa que la señal físicamente sea discreta ya que los campos
electromagnéticos suelen ser continuos, sino que en general existe una forma de discretizarla unívocamente. Los
sistemas digitales, como por ejemplo el ordenador, usan lógica de dos estados representados por dos niveles de
tensión eléctrica, uno alto, H y otro bajo, L (de High y Low, respectivamente, en inglés). Por abstracción, dichos
estados se sustituyen por ceros y unos, lo que facilita la aplicación de la lógica y la aritmética binaria. [4]
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos
(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier
empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita
de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El
nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la
ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, publicando sus resultados iniciales
en 1807 y 1811. [5]
II. ANÁLISIS DE FOURIER
A principios del siglo XXI, Jean-Baptiste Joseph Fourier demostró que cualquier función f(t) que se
comporte de manera razonablemente periódica, con período T, puede definirse mediante la suma posiblemente
infinita de senos y cosenos:
(1)
de forma tal que:
(2)
(3)
(4)
Distinguiremos que L = T/2,
es una constante que llamaremos componente continua de f(t), y que
las amplitudes de coseno y seno de los n-ésimos términos armónicos.
y
son
III. TRANSMISIÓN DE DATOS MEDIANTE SEÑALES DIGITALES
Mediante la variación de algunas propiedades físicas, como el voltaje o la corriente, es posible transmitir
información a través de cables. Al representar el valor de este voltaje o corriente como una función simple del
tiempo, f (t), podemos modelar el comportamiento de la señal, estudiarlo y analizarlo concretamente a través de
la matemática. Recordemos como dijimos en la introducción de esta aplicación, que en sistemas digitales se
abstrae los voltajes para transmitir señales como 0s y 1s en representación de valores bajos y altos de tensión, en
función de que de esta manera se puede hacer uso de la potente aritmética binaria.
Consideramos el caso de que se quiere transmitir un byte (unidad básica de datos en computación) que se
compone de 8 bits (unidad de datos fundamental e indivisible en computación), donde cada bit puede tomar el
valor 0 o 1; en consecuencia, emitiríamos una señal de datos que tenga una duración finita (la cual todas poseen)
pero a la vez manejaríamos esta como una señal periódica con tal solo repetir el patrón enviado una y otra vez
por siempre (es decir, el intervalo de T a 2T es el mismo que de 0 a T, etcétera), dando lugar así a una función
que varía con el tiempo en función del bit que se transmite y que a la vez es periódica.
Así, con lo enunciado, tenemos definida una función f(t) que representará el patrón de bits a enviar, y
sabemos que f(t) es periódica con período T, de manera tal que podemos aplicar las Series de Fourier para
representar a la misma.
IV. EJEMPLIFICACIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE UN BYTE MEDIANTE UNA SEÑAL DIGITAL Y USO DE
SERIES DE FOURIER
Consideremos el caso de la transmisión del byte 01100010 (ASCII „B‟). Definiremos la función f(t),
periódica con período T, de forma tal que el período será dividido en 8 fracciones de forma tal que en cada una
de ellas se envía uno de los bits que componen al byte; la función quedaría definida como:
Con la función definida, y dado que es una función periódica con período T, podemos representar esta
mediante la Serie de Fourier. Sus coeficientes
y
quedarían establecidos como:
donde B(i) representa el valor del bit en la posición i-ésima contadas desde la 0-ésima a la 7-ésima de
izquierda a derecha.
Con el desarrollo de f(t) en Serie de Fourier, vemos como el byte va a ser codificado mediante una señal
digital; gráficamente podemos ver cómo la lógica binaria de tensiones altas y bajas es codificada a la señal
digital que aproximará estas tensiones:
Figura 1: Señal binaria a transmitir para un patrón 01100010 (ASCII „B‟)
Figura 2: Señal digital de aproximación a la señal binaria para un patrón 01100010 (ASCII „B‟)
V. INFLUENCIA DEL MEDIO FÍSICO EN LA TRANSMISIÓN
Se puede demostrar que una señal digital está compuesta por infinitos armónicos, y que no existe una
frecuencia a partir de la que todos los armónicos sean cero. Esto implica que para transmitir una señal digital con
total precisión necesitaríamos un medio físico con un ancho de banda infinito. [4] Sabemos, que no existe medio
físico que cuente con ancho de banda infinito, por lo que es claro que en forma práctica tendrá la implicancia de
que la señal digital transmitida perderá algunos de los armónicos que la componen al llegar a destino. Así, el
receptor recibirá una señal distorsionada de la emitida en origen, resultando lógico y obvio que cuanta mayor
cantidad de armónicos sean recepcionados, mejor será la calidad de la señal. Cuando hablamos de pérdida de
armónicos, hacemos mención a la situación donde el armónico no puede ser trasmitido ya que la frecuencia
asociada al mismo supera a la que mediante el canal físico (un cable por ejemplo) puede transmitirse.
Notaremos que en cada instancia donde la señal es retransmitida, se puede provocar una atenuación de la
señal ya sea por ejemplo por la disminución de la transmisión de los componentes de la Serie Fourier en
diferentes valores.
VI. CONCLUSIÓN
Hemos encontrado una clara aplicación de un concepto y herramienta matemática como lo es las Series de
Fourier en el campo de las comunicaciones y transmisiones de datos vía un canal digital; en particular, se podrá
reconocer que la aplicación de este concepto y herramienta es absolutamente eficiente y a la vez, da lugar a la
reflexión de la importancia de estos pese a que de manera abstracta en su estudio es difícil reconocer su utilidad.
En particular es llamativo el poder de la teoría desarrollada por Fourier, haciendo énfasis que 210 años después
de su publicación no sólo sigue intacta sin variantes o contradicciones, sino que también, es mundialmente
utilizada en variadas áreas de la ingeniería y la investigación para el desarrollo tecnológico, acentuando así su
nivel de importancia y aceptación en cuanto a la aplicación práctica de tal concepto, como dijimos, teórico.
REFERENCIAS
[1] C. X. M. Baldó, “Capitulo 1: Teoría de la comunicación”, [Internet], disponible en
http://www.ctv.es/USERS/carles/PROYECTO/cap1/cap1.html [acceso el 2 de julio de 2013].
[2] A. S. Tanenbaum, “Redes de Computadoras”, cuarta edición, Pearson Education, México, 2003.
[3] A. S. Tanenbaum y D. J. Wetherall, “Computer Networks”, quinta edición, Pearson Education, México,
2004.
[4] Universidad Politécnica de Valencia, Unidad Docente de redes de Computadora, [Internet]
http://www.redes.upv.es/rds/es/practicas/ Fourier.pdf, [acceso el 2 de julio de 2013].
[5] Wikipedia, La enciclopedia libre, [internet], disponible en http://es.wikipedia.org/Señal_Digital, [acceso el
02 de julio de 2013].
[6] Wikipedia, La enciclopedia libre, [internet], disponible en http://es.wikipedia.org/Serie_de_Fourier,
[acceso el 02 de julio de 2013].