ANALISIS NUMERICO ERRORES Y ARITMÉTICA DE PUNTO

ING. PEDRO ALBERTO ARIAS QUINTERO
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La mayor parte de esos usuarios del computador no consideran de primer interés
a la computación como medio de cálculo con números. En realidad lo que más se
utiliza es el procesamiento de la información en otros campos como los negocios
y la administración. Sin embargo, en muchas disciplinas científicas, el cálculo con
números permanece como el uso más importante de los computadores.
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Ejemplos:
Físicos: resolución de complicadas ecuaciones en modelos tales como la
estructura del universo o del átomo.
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Médicos: que usan los computadores para diseñar mejores técnicas.
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Meteorólogos: usan la computación numérica para resolver ecuaciones en
modelos que pronostican el clima.
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Ingenieros Aeronáuticos: Diseño de cohetes espaciales.
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En la Ciencia de la Computación, la computación numérica tiene mayor
importancia por los requerimientos de algoritmos confiables y rápidos para
computación gráfica, robótica, etc.
Una clasificación de los números reales es: R = Q U F ; y a su
vez Q = Z U F, donde: R reales, Q racionales, I irracionales, Z
enteros, F fraccionarios.
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Los números reales que no pueden representarse como
enteros o fracciones, se llaman irracionales.
Ejemplo:
π se define como la razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro.
 e se define como el límite de (1+1/n) cuando n →∞, un
límite de una sucesión de números racionales
{2;9/4;64/27...}
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Nuestro sistema actual se llama decimal o de base 10, pues
requiere 10 símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. El sistema se llama
posicional, pues el significado del número depende de la posición
de los símbolos.
Los Babilonios usaban el sistema de base 60, cuyas influencias
llegan a nuestro tiempo con el sistema de medición del tiempo (1
hora = 60 min.; 1 min.= 60 seg.).
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El sistema de base igual a 2, que no es tan natural para los
humanos, es el más conveniente para los computadores. Todo
número n está formado por una sucesión (cadena o string) de
ceros y unos.
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Todo número real posee una representación decimal y otra binaria;
y por lo tanto, una representación en toda base B(n, tal que n >1.
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Caso de números enteros: x (10 = 61(10 =
6*101 + 1*100
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Nota: La mayor potencia de 10 en el segundo
miembro es igual al número de cifras del
número x(10, menos 1.
Caso de números fraccionarios:
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DECIMAL A BINARIO
 Utilizar tabla
 Eje: 112
 División sucesiva por 2
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Binario a decimal
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Para convertir un número x escrito en base B
= 2, a base B' = 10, se aplica el algoritmo de
descomposición del número, según las
potencias de 2.
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Ej.: x = 1001.11(2= 1× 23 + 0× 22 + 0× 21 +1×
20+1× 2-1 +1× 2-2 = 8+1+1/2+1/4 = 9.75
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Conversión de Binario a Hexadecimal
Para pasar un número escrito en base 2, a base 16,
se agrupan las cifras binarias en grupos de 4, desde
la derecha a izquierda, y luego se sustituye en cada
grupo su equivalente por la cifra hexadecimal
correspondiente.
Para la representación de los
números Racionales existen dos
métodos muy conocidos como el
del punto fijo, y la representación
en punto flotante.
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• Basado en la notación científica
• Capaz de representar números muy grandes
y muy pequeños sin incrementar el número
de bits
• Capaz de representar números con
componentes enteros y fraccionarios.
• Número de punto flotante = número real
 Consta de dos partes y un signo
 1. Mantisa: La magnitud del número
 2. Exponente: El número de lugares
que se va a mover el punto
 3. Signo: Positivo o negativo
• Número decimal 241,506,800
• Mantisa = .2415068
• Exponente = 9
0.2415068 x 10 ^ 9
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Por ejemplo, en el sistema de numeración
decimal, un número ejemplo de formato de
punto flotante es 2.25 x 104. Pero este
número puede representarse de muy diversas
maneras:
 2.25 x
4
10
6
10
= 0.0225 x
=
-1
225000 x 10 = . . . . .
Para los números de punto flotante binarios el
formato se define por el standard ANSI/
 IEEE 754-1985 de tres formas:




• Precisión sencilla - 32 bits
• Precisión doble - 64 bits
• Precisión extendida - 80 bits

Decimos que un número binario está
normalizado si el dígito a la izquierda del punto
es igual a 1
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1.011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un número positivo:
Bit de signo = 0
Exponente: 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa: Parte fraccionaria .011010010001 a 23 bits
(el 1 a la izq. del punto se omite porque siempre está presente)
 13.9
 Se toma el entero y se divide por 2
 13/2=
6.5
1
 6/2=
3
0
 3/2
1.5
1
½
0.5
1
 Resultado 1101 parte entera
 0.9*2
1.8
1
 0.8*2
1.6
1
 0.6*2
1.2
1
 0.2*2
0.4
0
 0.4*2
0.8
0
 0.8*2
1.6
1
 Resultado 0.11100
 2-1 +2-2 +2-3
=0.5+0.25+0.125=0.875

1101.11100

Normalizando






3=112
1.10111100*211
Signo = 0
Expnente 3+127=13010 = 100000102
Mantiza 1011100….
Numero final= 0 10000010 10111100000..
el numero anterior se corre 3
posiciones así 1.10111100