Trabajo práctico 3

TEORÍA DE LAS COMUNICACIONES - AÑO 2016
PRÁCTICA N◦ 3
Primera parte: COMPORTAMIENTO ESPECTRAL DE COMUNICACIONES
DIGITALES
Ejercicio 1:
Bosquejar espectros de potencia de transmisiones PAM a 1 Mbps (1 Megabit por segundo) en
los siguientes casos:
NRZ binario bipolar diferencial.
Manchester cuaternario.
AMI con duración del pulso igual al tiempo de bit (NRZ bipolar).
AMI con duración de pulso igual a la mitad del tiempo de bit (RZ bipolar).
Binario bipolar con conformación espectral coseno elevado con factor α = 0,5 distribuida
por igual entre transmisor y receptor.
16–ario bipolar con conformación espectral coseno elevado con factor α = 1 distribuida por
igual entre transmisor y receptor.
En todos los casos, considerar bits independientes y equiprobables. Para el primer caso, observar que si los bits de la fuente son independientes y equiprobables, los bits resultantes de la
codificación diferencial también lo son.
Ejercicio 2:
a) Un sistema debe transmitir a una velocidad de 9600 bps utilizando un canal pasabajos
de banda estrictamente limitada a 2250 Hz. Se adopta un sistema PAM con conformación
espectral del tipo coseno elevado repartido por igual entre transmisor y receptor.
¿Cuál es el mı́nimo de niveles que debe tener la transmisión y cuál puede ser el factor de
roll-off asociado?
b) Comparar los sistemas BPSK, QPSK y 16QAM en base a los siguientes factores:
el ancho de banda ocupado para una dada velocidad de transmisión y un determinado
tipo de conformación espectral.
la energı́a de bit (media) necesaria para alcanzar una dada probabilidad de error de
bit.
Para ello, completar el siguiente cuadro, en el que el sistema BPSK es tomado como referencia.
Ancho de banda relativo
Eb /N0 relativa necesaria
BPSK
1
0dB
QPSK
16QAM
Ejercicio 3:
Un sistema pasabanda cuaternario transmite con envolvente rectangular. La constelación tiene
los sı́mbolos ubicados en (3a, 2a), (3a, −2a), (−2a, 3a) y (−2a, −3a). Calcule y grafique la densidad espectral de potencia de la transmisión (utilizando pulsos de amplitud compleja). Observe
que obtiene deltas que podrı́a utilizar para recuperar la portadora, ¿qué fracción de la potencia
total se utiliza en transmitir esta sinusoide piloto? ¿Cúal es la degradación aproximada de este
sistema respecto al QPSK?
1
Ejercicio 4:
Generaremos en MATLAB diagramas de ojos y diagramas de dispersión para un sistema de
comunicaciones digital con forma de pulso correspondiente a espectro del tipo coseno elevado.
a) Grafique la forma del pulso a la salida del filtro adaptado y el diagrama de ojos para
distintos valores del factor de roll-off α (0.1, 0.3, 0.5, 0.75 y 1). Puede utilizar las siguientes
sentencias como guı́a.
% factor de roll-off
alpha = 0.499;
% vector de tiempo normalizado respecto del tiempo de sı́mbolo
tn = -10:0.01:10;
% forma de pulso total a la salida del filtro del receptor
p = sinc(tn).*cos(pi*tn*alpha)./(1 - 4*(alpha^2).*(tn.^2));
% bits aleatorios
b = sign(rand(1,100)-0.5);
% salida del filtro adaptado
y = conv(p,kron(b,[1 zeros(1,99)]));
figure;plot(0.01*(1:length(y)),y);grid
title(’Salida del filtro adaptado’);
xlabel(’t/T_s’);ylabel(’Amplitud’);
% diagrama de ojo
figure;hold on;
for k = 11:54
plot(linspace(-1,1,200),y(((k-1)*100+1):((k+1)*100)));
end
hold off;grid
title(’Diagrama de ojos’);
¿Existe interferencia inter-sı́mbolo? Observar como a medida que se reduce el ancho de banda (α disminuye) se producen los siguientes efectos: el pulso se “dispersa” en el tiempo; los
cruces por cero del diagrama de ojos se dispersan y el ojo se cierra en el sentido horizontal.
b) Grafique el diagrama de ojos para distintos niveles 2, 4, 8 y 16 con α = 0,5. Observar el
acercamiento de los niveles y el cierre horizontal del ojo a medida que aumenta su número.
c) Grafique el pulso coseno elevado pasado por un canal pasabajos de un polo y el diagrama
de ojos correspondiente para distintas frecuencias de corte (f3dB = 1/T , f3dB = 1/2T y
f3dB = 1/4T ). En este caso, ¿Existe interferencia inter-sı́mbolo?. Observar el retardo del
pulso debido al atraso de fase del canal, que crece al disminuir la frecuencia de corte. En
todos los casos, el instante óptimo de toma de muestra es cuando el “ojo” tiene la máxima
apertura. La asimetrı́a del pulso y del diagrama de ojos se deben a la caracterı́stica de fase
no lineal de la transferencia total, este efecto se hace más notorio al reducirse la frecuencia
de corte.
d) Grafique el diagrama de dispersión (scatter plot) para la situación planteada en el inciso c)
para el modelo de canal con f3dB = 1/2T . Tenga en cuenta que debe hacerlo para instante
en que el ojo tiene la apertura máxima.
e) Considere un sistema QPSK representado a partir de su modelo equivalente complejo en
banda base. Asuma que por cada canal en cuadratura se transmite un pulso con conformación espectral raı́z de coseno elevado, que el modelo de canal es un filtro pasabajos de un
polo con f3dB = 1/2T y que el filtro adaptado del receptor esta adaptado al pulso transmitido. Grafique el diagrama de dispersión para dicha comunicación. ¿Existe interferencia
inter-sı́mbolo?
2
1.2
1
f = 0.886
0
0.8
0.6
0.4
0.2
f
−1
f = 0.094
= 0.050
1
0
f = −0.007
2
−0.2
−5
0
5
Figura 1: Salida del filtro adaptado.
Ejercicio 5:
Considere una comunicación binaria se transmite un pulso con conformación espectral raı́z de
coseno elevado, un modelo de canal es un filtro pasabajos de un polo con f3dB = 1/2T más
ruido blanco aditivo Gaussiano con DEP N0 /2 y que el filtro del receptor está adaptado al pulso
transmitido. El pulso de salida del filtro adaptado es el que se muestra en la figura 1. Con el
objetivo de reducir la distorsión producida por el canal se propone diseñar un ecualizador.
a) Convénzase de que la secuencia de ruido obtenida como resultado del muestreo a la salida
del filtro adaptado es corresponde a ruido blanco y gaussiano.
b) En estas condiciones podemos modelar el canal a través de su modelo equivalente discreto
sin necesidad de descorrelacionar el ruido. Considere que basta con tomar cuatros taps para
modelar el canal. Los valores de los coeficientes fi se toman directamente sobre la salida del
filtro adaptado al pulso y son los valores que se indican en el grafico. Calcule la distorsión
pico y compare el valor obtenido con el diagrama de ojo resultante en el Ej. 4 inciso c).
c) A partir de este modelo diseñe un ecualizador de dos taps a partir del método zero-forcing.
Evalúe la distorsión pico resultante a la salida del ecualizador.
d) Repita el ejercicio anterior considerando el criterio de minimización del error cuadrático
medio para los valores de Eb /N0 4,5 dB, 9,6 dB y 15 dB.
e) Calcule la mejora (en dB) que se consiguió en el caso c) y d) con respecto al caso b)
adoptando el criterio de la distorsión pico.
3
TEORÍA DE LAS COMUNICACIONES - AÑO 2016
PRÁCTICA N◦ 3
Segunda parte: SINCRONISMO DE PORTADORA Y DE SÍMBOLO
Ejercicio 1: Lazo de Costas Digital
En este ejercicio justificaremos la estructura de sincronización de fase de portadora para señales
BPSK conocida como Lazo de Costas, en su versión Non-Decision Directed y digital. Supondremos que la estimación de la amplitud y el retardo de sı́mbolo de la señal recibida ya están resueltos
por lo que se puede modelar la señal observada durante un tiempo de sı́mbolo (0 ≤ t ≤ T ) como
r(t) = A cos (2πfc t + θ) + n(t), en donde θ es el parámetro a estimar, A = ±1, y n(t) es ruido
blanco gaussiano con DEP N0 /2. Consideraremos además que el tiempo de observación (en el
cual se puede asumir que θ es constante) es igual a K sı́mbolos.
a) Halle una base que permita representar a la señal de interés durante todo el intervalo de
observación. Indique la dimensión de esta base y justifique por qué las coordenadas de la señal
recibida en esta base constituyen un estadı́stico suficiente para el problema de estimación planteado.
b) Obtenga la distribución de las coordenadas de la señal r(t) en 0 ≤ t ≤ KT . Halle la función
de verosimilitud necesaria para estimar θ condicionada al valor de amplitudes de los sı́mbolos
recibidos.
c) Para poder obtener un estimador Non-Decision Directed es necesario “borrar” la dependencia
con las amplitudes de los sı́mbolos. Obtenga entonces la nueva función de verosimilitud suponiendo que los sı́mbolos son independientes y equiprobables. Es conveniente expresar el resultado
en términos de la función cosh(·).
d) Calcule la función logarı́tmica de verosimilitud, despreciando constantes irrelevantes. Por
último, utilice la siguiente aproximación para baja relación señal a ruido: ln (cosh (x)) ≈ x2 /2 si
|x| ≪ 1.
e) Obtenga una expresión que defina al estimador de Máxima Verosimilitud de la fase θ. Intente
interpretar el resultado como una versión digital del producto de una rama en fase y otra en
cuadratura luego filtrado por un pasa bajos (Discriminador de Costas).
f ) Basado en la interpretación anterior proponga un esquema de estimación a lazo cerrado (similar a un PLL digital) que permita ir actualizando la estimación de θ en sucesivos tiempos de
observación de largo KT . Indique qué bloque se deberı́a modificar en este esquema para lograr
que la respuesta de lazo cerrado posea error de estado estacionario nulo frente a un error de
frecuencia (rampa de fase).
Ejercicio 2:
La Fig. 2 muestra una posible forma de realizar un sincronizador de bit del tipo early-late para
sistema NRZ binario antipodal. Las llaves Le1 y Le2 son de la ramar early, y Ll1 y Ll1 son
las correspondientes a la rama late. El VCO opera a una frecuencia que es múltiplo de la que
se desea obtener, y el bloque que le sigue es un circuito lógico secuencial que por división de
frecuencia permite obtener, además de la señal de reloj, las señales necesarias para manejar las
llaves analógicas y el circuito de muestreo y retención.
a) Mostrar en un diagrama de tiempos cómo deben ser las señales generadas por dicho bloque,
teniendo en cuenta que en esta implementación los intervalos de integración son de medio
tiempo de sı́mbolo.
b) Mostrar que el comportamiento de este circuito es equivalente al de un PLL con un detector
AT
[V olts/radian], donde A es la amplitud de la señal, T es la
de fase de ganancia Kd = 2πτ
duración de bit y τ = RC.
4
Figura 2: Sincronizador de bit analógico.
Ejercicio 3:
A partir de las instrucciones presentadas a continuación, analizaremos el comportamiento del
discriminador de retardo no coherente estudiado en clase:
theta = pi/2; % error de fase
alpha = 0.499; % factor de roll-off
EbN0dB = 9.6; % Eb/N0 en dB
EbN0 = 10^(EbN0dB/10); % Eb/N0 en veces
Ts = 1; % tiempo de simbolo
K = 100; %numero de simbolos generados
Ns = 100; %numero de muestras por tiempo de simbolo
tm = Ts/Ns; %tiempo de muestreo
N = K*Ns; % nro de muestras % forma de pulso total a la entrada del filtro del receptor
t = -10*Ts:tm:10*Ts;
tn = t/Ts;
h = 1.*(abs(tn)<1/2); % pulso NRZ
% h = raizcoselevado(tn,alpha); % pulso raiz de coseno elevado
% bits de datos
bi = sign(rand(1,K)-0.5);
bq = sign(rand(1,K)-0.5);
% entrada del filtro adaptado
si = conv(kron(bi,[1 zeros(1,Ns-1)]),h,’same’)/sqrt(2);
sq = conv(kron(bq,[1 zeros(1,Ns-1)]),h,’same’)/sqrt(2);
s = (si*cos(theta) - sq*sin(theta)) + 1i*(si*sin(theta)+ sq*cos(theta));
rbg = sqrt(1/EbN0)*(randn(1,N) + 1i*randn(1,N)); % muestras de ruido gaussiano
r = s + rbg; % se~
nal recibida
r_filt = conv(r,h/sqrt(Ts),’same’)*tm; % salida del filtro adaptado
tau = -0.5*Ts:tm:0.5*Ts;
dN = round(tau/tm);
n = (3*Ns+1):Ns:((K-3)*Ns);
delta = round(Ns/2);
for ii = 1:length(tau)
zp = r_filt(n+dN(ii)); % muestra prompt
ze = r_filt(n-delta+dN(ii)); % muestra early
zl = r_filt(n+delta+dN(ii)); % muestra late
en(ii) = mean(real(conj(zp).*(ze - zl))); % discriminador del error
end
Grafique la señal recibida a la entrada del filtro adaptado y la curva caracterı́stica del discriminador. Vea cómo se modifica esta última cuando cambia el desplazamiento delta de las muestras
5
early y late y corrobore que el error de fase no afecta su comportamiento. Además puede probar
con distintas formas de pulso usando la función raizcoselevado.m disponible en la página de
la cátedra y para distintos valores de Eb /N0 .
Ejercicio 4:
El objetivo de este ejercicio es observar cómo los errores de sincronismo de portadora afectan el
desempeño de los sistemas de comunicaciones de datos con modulación digital.
a) En un sistema QPSK, el receptor recupera la portadora con error de fase fijo θ. Calcule
la probabilidad de error de bit en función de Eb , N0 , y θ. Halle una cota inferior y una
superior.
b) ¿Cuál es el máximo valor tolerable del error θ si la degradación debida a ese efecto no debe
ser superior a 1dB?
c) Asumiendo que el error en la fase de la portadora recuperada no es fijo sino que tiene
fluctuaciones en el tiempo (carrier jitter ), pudiendo ser modelizado como un proceso aleatorio θ(t) estacionario con densidad de probabilidad de primer orden fθ (θ) conocida. En
estas condiciones, encuentre una expresión que permita evaluar (por métodos numéricos)
la probabilidad de error para QPSK.
d) Repita el inciso b) para estos sistemas: BPSK, 16-QAM.
Ejercicio 5:
El objetivo de este ejercicio es analizar cómo los errores de sincronismo de sı́mbolo afectan el
desempeño de los sistemas de comunicaciones de datos. Para lo que sigue, usaremos el error
de tiempo normalizado, λ = τ /T (que es adimensional), donde τ es el error de sincronismo (diferencia de tiempo entre el instante de toma de muestra y el instante óptimo). Notar
que −1/2 ≤ λ ≤ 1/2.
a) Trace el diagrama de ojos para una transmisión NRZ binaria antipodal. Obtenga una
expresión exacta de la probabilidad de error en función del error de sincronismo λ. Encuentre
una cota inferior y una superior (como en ocasiones anteriores, lo que nos interesa es la
cota superior, que corresponde a evaluar el sistema con el criterio de la distorsión pico).
b) ¿Cuál es el máximo valor tolerable del error si la degradación debida a ese efecto no debe
ser superior a 1dB?
c) Asumiendo que el error en la fase del reloj recuperado no es fijo sino que tiene fluctuaciones en el tiempo (timing jitter ), pudiendo ser modelizado como un proceso aleatorio λ(t)
estacionario con densidad de probabilidad de primer orden fλ (λ) conocida. Además, las fluctuaciones son suficientemente lentas como para considerar que en la duración de un sı́mbolo
λ(t) no cambia. Tales fluctuaciones son debidas principalmente al ruido, y en segundo lugar
al hecho de que el comportamiento del sincronizador de bits depende del esquema de bits
recibido. En estas condiciones, encuentre una expresión que permita evaluar (por métodos
numéricos) la probabilidad de error para NRZ.
d) ¿Cómo serı́a la respuesta del inciso 5a) para un sistema cuaternario?, ¿y para un sistema
QPSK? (explique cómo procederı́a en este último caso).
e) Considere ahora un sistema que transmite utilizando conformación espectral raı́z de coseno
elevado sobre un canal que no produce distorsión y el receptor consiste en el filtro adaptado
al pulso transmitido. A partir de los diagramas de ojo realizados en el Ejercicio 4 de la
primera parte de esta práctica:
i) ¿Cuánta degradación en el desempeño (medida en dB) produce un error de sincronismo
de bit del 10 % del tiempo de sı́mbolo en los casos binarios para los distintos factores
de “roll–off”?
ii) ¿Cuánto es el error de sincronismo de sı́mbolo (en unidades de T de sı́mbolo) que
produce una degradación de 3 dB en los casos de 2, 4, 8 y 16 niveles para α = 0,5?
6