UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER
“Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano”
UNIDAD IV
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Solución
Conclusión
Dados los puntos: P(x1, y1) y
Q(x2, y2), del plano, hallemos
la distancia entre P y Q.
Sin pérdida de generalidad,
tomemos los puntos P y Q, en el
primer cuadrante del plano. Por
los puntos P y Q trazamos
perpendiculares a los ejes y y x,
respectivamente. Dichas
perpendiculares se cortan en el
punto E.
Las coordenadas de E son: (x2,
y1).
Consideremos ahora el triángulo
rectángulo PEQ y apliquémosle
el teorema de Pitágoras:
d2 = PQ2 = PE2 + QE2 1
Pero PE = x2 - x1; y
QE = y2 - y1
De modo que reemplazando en
1, obtenemos:
d2 = PQ2 = (x2 - x1)² +
(y2 - y1)²
Extrayendo la raíz cuadrada a
los dos miembros, obtenemos:
d(P, Q)
Las propiedades de la distancia son cuatro:
1. La distancia de P a Q es la misma distancia
de Q a P, es decir:
d (P, Q) =
=
2. d (Q, P) = 0 si P = Q
= d (Q, P)
3. La distancia entre dos puntos no puede ser
negativa.
4. d(P, Q) <= d(P, R) + d(R, Q)
=
Dados dos puntos del plano, P(x1, y1) y Q(x2, y2), la distancia entre P y Q está dada
por:
d (P, Q) =
La distancia de P a Q es igual a la distancia de Q a P.
La distancia entre dos puntos del plano no puede ser negativa.
Matemáticas
Unidad 4
Situación
Décimo 1
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Ejercicios
1. Hallar la distancia entre los puntos A y B del plano, si se sabe que
A(0, 2) y B(3, 0)
2. Si A (-2, -3) y B (-8, -1), hallar la distancia entre A y B.
3. Si M (4, -5) y B (7, -1), hallar la distancia entre A y B.
4. Encuentra el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son A (-5,
4), B (2,6), C (4, 2) y D (-1, -1).
5. Demuestra que el triángulo ABC, de vértices A (-2, 0), B (0, 6) y C
(2, 0) es un triángulo isósceles.
ECUACIÓN DE LA RECTA
Situación
Solución
Dadas las rectas l y l' de la figura,
encontremos el número de unidades
que las rectas suben o bajan, por cada
unidad que se avance horizontalmente
hacia la derecha sobre el eje x.
Analicemos primero la recta l: si nos
ubicamos en el punto A (3, 0) y
avanzamos una unidad a la derecha
horizontalmente, la recta sube hasta
B
(4,
2):
dos
unidades.
Lo mismo sucede siempre que tomemos
un
punto cualquiera de la recta l. Ahora
veamos la recta l'.
Del punto E (-5, 4) se avanza una unidad
horizontalmente a la derecha y la recta
baja una unidad. Si nos ubicamos en G (2, 1) y avanzamos una unidad a la
derecha, la recta sigue bajando hasta H
(-1,
0)
una
unidad.
Matemáticas
Unidad 4
Pendiente de una recta
Décimo 2
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Este comportamiento de la recta se
mantiene en todo su trayecto.
Conclusión
Ejercicios
El número de unidades que una recta sube o baja por cada unidad que se avance
horizontalmente a la derecha se llama pendiente de una recta, y se simboliza con m.
Cuando la recta sube la pendiente es positiva y cuando la recta baja la pendiente es
negativa.
1. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por P1 (2, 3) y P2 (5, 6).
2.Halla el valor de la pendiente de una recta que tiene un ángulo de inclinación de 30; y de
otra cuyo ángulo de inclinación es 120;
3. Los vértices de un triángulo son los puntos A (-2, 1), B (2, 5) y C (3, -1). Hallar
las pendientes de las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo.
4. Una recta de pendiente m = 3 pasa por los puntos A (3, 5) y B(x, 8); ¿Cuál es el valor
de x?
5. Dibujar en el plano cartesiano tres rectas diferentes, que tengan pendiente m = -3/2. Las
rectas no se cortan, se puede afirmar que son paralelas. ¿por qué?
Links



Plano cartesiano para graficar funciones
Curso básico de trigonometría
General
Situación
Solución
Dado un punto: P(x1, y1) que
pertenece a una recta, y la
pendiente m de dicha recta,
encontremos la ecuación de la
recta.
Sabemos que m es la pendiente
de la recta dada, y P(x1, y1) es un
punto conocido de la recta.
Tomemos otro punto Q(x, y) que
pertenece
a
la
recta.
Sabemos, además, que la
pendiente m de dicha recta está
Matemáticas
Unidad 4
Ecuación Punto Pendiente
Décimo 3
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dada por m = (y - y1)/(x - x1);
x x1.
Si multiplicamos los dos miembros
de esta igualdad por (x - x1), se
tiene:
m (x - x1) = ((y - y1)/(x x1))(x
x1)
m (x - x1) = y - y1
Conclusión
Ejercicios
La ecuación m (x - x1) = y - y1 es una expresión que identifica a una recta y se
llama ecuación punto pendiente de la recta, ya que se obtiene conociendo un
punto de la recta y la pendiente de la misma.
1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P (-2, -5) y tiene
pendiente m = - 3/2.
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (3, 5) y Q (3, -2).
Matemáticas
Unidad 4
Links
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (2, 1) y tiene un
ángulo de inclinación de 45º
4. Encontrar la ecuación de la recta que corta el eje x en x = 4, y el eje
y en y =3.
5. Demostrar que los puntos A (-1, 3), B (1, 1) y
C (3, -1) pertenecen a la misma recta.
 Plano cartesiano para graficar funciones
 Curso básico de trigonometría
 General
Décimo 4
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Ecuación general
Solución
Dada una recta que pasa por el punto
P (x1, y1), encontremos su ecuación
y expresémosla en la forma más
simple posible.
Sabemos que la pendiente m de una
recta es de la forma:
m = (y - y1)/(x - x1); x x1, donde (x1,
y1) es un punto conocido de la recta.
Multiplicamos los dos miembros de la
igualdad por (x - x1) y simplificamos: m
(x - x1) = y - y1.
Efectuamos la operación: mx - mx1 = y y1
Trasladamos al primer miembro todos
los términos: mx - x1 - y + y1 = 0 1
mx1 es un número real, pues es el
producto
de dos reales.
y1 es un número real, pues es la
ordenada
del punto conocido.
Así que mx1 + y1 = c es un número
real.
Una recta puede ser o no paralela
al eje y.
Si es paralela al eje y su ecuación
es de la forma: x = k, donde k E R.
Si no es paralela al eje y se puede
expresar como: m(x - x1) = y - y1
La ecuación 1 queda así:
mx - y + c = 0 2
Pero m es la pendiente, un número
real.
De nuevo, la ecuación 2 resulta:
Ax + By + C = 0 3
donde A y B no pueden ser
simultáneamente 0.
Matemáticas
Unidad 4
Situación
Décimo 5
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Conclusión
La ecuación Ax + by + C = 0, donde A y B no son simultáneamente cero, se llama
ecuación general de la recta.
Dada una recta de pendiente m que pasa por P (x1, y1), tres formas diferentes de
expresar la ecuación de la recta son:
a. m(x - x1) = y - y1
b. Ax + By + C = 0
c. y = mx + b
Ejercicios
1. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = -3/4 y pasa por P (-3, 6), y expresarla de la forma general.
2. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = -3/5 y corta el eje y en y
= -5.
3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es m = -2 y que pasa por el
punto de intersección de las rectas y = 3x +5 y
y = 4x + 1.
4. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta determinado por los
puntos (-3, 5) y (2, 7)
5. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax + By + 5 = 0 de
una recta, si se sabe que la recta pasa por los puntos M (2, 3) y N (4, 5).
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Solución
Para que las rectas l1 y l2
sean perpendiculares, es
necesario que se corten
formando ángulos de 90.
La expresión para calcular el
ángulo entre dos rectas es:

Matemáticas
Unidad 4
Situación
Dos rectas /1 y l2 son
perpendiculares; ¿de qué
manera se encuentran
relacionadas sus
pendientes?
Décimo 6
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tan = (m2 - m1)/(1 +
m1m2)
tan 90º = (m2 - m1)/(1
+ m1m2), no está definida.
Entonces tomamos la cot
90º y cot 90º =
0.
Como tan
m1m2),
=(m2 - m1)/(1 +
Dadas las rectas l1 y /2 de la figura,
mostremos que tienen la misma pendiente.
Sean y los ángulos de inclinación de las
rectas l1 y l2, respectivamente.
Como l1 || l2 y la transversal X corta las
paralelas l1 y l2, los ángulos y son
correspondientes.
m(
)=m(
), por ser ángulos
correspondientes entre paralelas.
Es decir, tan = tan
ml1 = ml2
Entonces cot = (1 +
m1m2)/(m2 - m1)
cot 90º = (1 +
m1m2)/(m2 - m1) = 0
Es decir, 1 + m1m2 = 0,
m2 - m1 = -1.
Si dos rectas (ninguna de ellas paralela al eje x) son perpendiculares, entonces el
producto de sus pendientes es -1. El recíproco de este enunciado también es verdadero;
es decir, si el producto de las pendientes de dos rectas es -1, entonces las rectas son
perpendiculares.
Si dos rectas son paralelas, entonces sus pendientes son iguales. El recíproco de este
enunciado también es verdadero, es decir, si dos rectas tienen la misma pendiente,
entonces son paralelas.
Dos rectas, ninguna de las dos paralela al eje y, son perpendiculares si, y solo si, el
producto de sus pendientes es -1. Si las pendientes de las rectas son m1 y m2, entonces
m1m2 = -1.
Dos rectas no paralelas al eje y son paralelas si, y solo si, tienen la misma pendiente.
Si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la bicondicional garantiza que m1 = m2.
Matemáticas
Unidad 4
Conclusión
Décimo 7
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Ejercicios
1. Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a la recta de la ecuación y = 2x +
3 y pasa por el punto (4, 5).
2. Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de la ecuación y =
-3x + 1 y pasa por el punto (-2, -5).
3. Dos rectas perpendiculares se interceptan en el punto P (-2, -1); si la primera recta
pasa por el punto Q (0, 1), encontrar las ecuaciones de las dos rectas.
4. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -2 y pasa por el punto de
intersección
de
las
rectas
de
ecuaciones:
y = 2x + 1; y = 3x - 2.
5. El punto P de ordenada 3 está sobre la recta cuya pendiente es m = 2 y pasa por Q
(2, -3). Calcular la abscisa del punto P.
LA CIRCUNFERENCIA
Solución
 d (0, P) =
=r
Efectuamos las operaciones del
radical:
=r
 Elevamos al cuadrado los dos
miembros de la igualdad:
x² + y² = r²
Matemáticas
Unidad 4
Situación
Encontremos la ecuación de la
circunferencia que tiene su centro
en el origen y un radio r.
Para encontrar la ecuación de la
circunferencia, primero debemos
definir la circunferencia como un
lugar
geométrico:
La circunferencia es el lugar
geométrico de un punto que se
mueve en un plano, de manera que
permanece siempre a una distancia
constante de un punto fijo del mismo
plano. El punto fijo se llama centro
de la circunferencia, y la distancia
constante se llama radio de la
circunferencia.
Sea P(x, y) un punto de la
circunferencia.
Por la definición de circunferencia, la
distancia
del
punto al centro de la circunferencia
es
siempre
constante e igual al radio.
Décimo 8
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Como el centro de la circunferencia
está en (0, 0), hallemos la distancia
de (0, 0) a (x, y) e igualémosla a r.
Conclusión
Situación
Solución
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen de las coordenadas es:
x² + y² = r²
Encontremos la ecuación de la
circunferencia que tiene como radio r
y como centro un punto P (h, k)
cualquiera del plano.
De nuevo tomemos un punto Q (x, y)
que pertenece a la circunferencia y P
(h, k) que corresponde al centro, y les
aplicamos
la
definición
de
circunferencia. La distancia de un
punto de la circunferencia al centro es
constante
e
igual
a
r.
Elevamos al cuadrado los dos
miembros de la igualdad, y
obtenemos (x - h)² + (y k)² = r²
Conclusión
La ecuación de una circunferencia que tiene su centro en el punto (h, k) y su
radio r es (x - h) & sup2; + (y - k)² = r² coordenadas es x²
+ y² = r²
Ejercicios
1. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto O (3, 4) y
pasa por el punto P (-1, 4).
2. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto O (-3, -5)
y tiene radio r = R (7).
3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto O (-4, 6) y
Matemáticas
Unidad 4
En particular, si (h, k) = (0, 0) el centro de la circunferencia es el origen de las
coordenadas, la ecuación de la circunferencia será: x² + y² =
r².
Décimo 9
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Matemáticas
Unidad 4
pasa por Q (-1,2).
4. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (-6, -3 y B (-6,
11), encontrar la ecuación de dicha circunferencia.
5. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto P (5, -4) y es
tangente al eje x.
Décimo 10