Unidad_03c_sol4¼B_ESO

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SOLUCIONES
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Página 82
1. El recaudador
Un recaudador de impuestos solicita al alcalde de la aldea:
— ¡Que se presenten los cien vecinos!
— No son cien.
— Pues ¿cuántos sois?
— Los que somos y tantos como somos y la mitad
de los que somos y la mitad de la mitad de los
que somos y vos, señoría, hacemos cien.
¿Cuántos vecinos tenía la aldea?
(Hazlo primero mentalmente).
Llamamos x al número de vecinos de la aldea.
x + x + x + x + 1 = 100
2 4
11x + 4 = 400 → x = 396 = 36 vecinos
11
2 . Vo l ú m e n e s v a r i o s
Estas cuatro piezas de plástico son ortoedros
(caras perpendiculares).
Se sabe que:
— El volumen de la pieza azul es de 225 cm3.
— El volumen de la roja es 120 cm3.
— El volumen de la verde es de 90 cm3.
¿Cuál es el volumen de la pieza amarilla?
VAZUL = d · a · e = 225 cm 3
VROJA = b · c · e = 120 cm 3
VVERDE = a · c · e = 90 cm 3

 (d · a · e) · (b · c · e) 225 · 120
=

a·c·e
90


VAMARILLA = b · d · e → b · d · e = 300 cm 3
d
c
a
b
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e
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3. Igualando
Al mayor de tres hermanos le toca la lotería, por lo que, generoso, decide doblar
el capital de los dos menores.
Al hacerlo, se dan cuenta de que, en ese caso, el más
rico es el mediano, que, también generoso, dobla el
capital de los otros dos.
Ahora resulta que el más rico es el pequeño, que, por
no ser menos, dobla el capital de los dos mayores.
¡Por fin!, ahora están igualados, pues cada uno tiene 16 000 €.
¿Cuánto tenía cada uno al principio?
TENÍAN REPARTE EL MAYOR
REPARTE EL MEDIANO
REPARTE EL PEQUEÑO
MAYOR
x
x–y–z
2(x – y – z)
4(x – y – z)
MEDIANO
y
2y
2y – (x – y – z) – 2z =
= 3y – x – z
2(3y – x – z)
PEQUEÑO
z
2z
4z
4z – 2(x – y – z) – (3y – x – z) =
= 7z – x – y
4 (x – y – z) = 16 
x–y–z=4 


2 (3y – x – z) = 16  → 3y – x – z = 8  →


7z – x – y = 16
7z – x – y = 16 

→ x=4+y+z
→ → 3y – 4 – y – z – z = 8 → 2y – 2z = 12
→ y–z=6 → y=6+z
x = 4 + y + z  x = 4 + 6 + z + z = 10 + 2z

y=6+z
 y=6+z
 z = 8 mil euros

7z – 10 – 2z – 6 – z = 16 → 4z = 32 →  y = 14 mil euros

 x = 26 mil euros
4 . Tr i á n g u l o d e g o l e a d o r e s
Quico, Saúl y Julio han conseguido esta temporada muchos goles.
— Entre Quico y Saúl han conseguido 34.
— Entre Saúl y Julio, 30.
— Y entre Julio y Quico, 36.
¿Cuántos goles ha anotado cada uno?
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x → número de goles conseguidos por Quico
y → número de goles conseguidos por Saúl
z → número de goles conseguidos por Julio
x + y = 34
x + y = 34 

y + z = 30  → –z – y = –30

x–z= 4
z + x = 36 
x + z = 36
x–z= 4
2x
= 40 → x = 20
Si x = 20 → y = 34 – 20 = 14, z = 36 – 20 = 16
Solución: Quico marcó 20 goles; Saúl, 14 y Julio, 16.
5. Par tición de un cuadrado
Calcula la superficie ocupada por cada color.
1m
SECTOR
CIRCULAR
SECTOR
CIRCULAR
1m
El área de la zona verde se
calcula descomponiendo el
cuadrado como indica la
figura, observando que el
triángulo es equilátero y
que, por lo tanto, los dos
sectores circulares que se
tienen son iguales.
Por tanto:
AZONA VERDE + 2 · ASECTOR CIRCULAR + ATRIÁNGULO = ACUADRADO
2
ASECTOR CIRCULAR = 1 · ACÍRCULO = π · 1 = π
12
12
12
–
√
3
1·—
1 2
2 = √3 h =
ATRIÁNGULO =
1– — =
4
2
2
( √ () √
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1
1–— =
4
√
3
√3
=
2
4
)
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√3 = 1 → A
√3
AZONA VERDE + 2 · π +
=1– π –
ZONA VERDE
4
4
12
6
AC = π → AB = 1 – π
4
4
B
De este modo:
C
2 · AZONA VERDE + AZONA ROJA =
=1– π
4
(
)
√3 + A
2· 1– π –
=1– π
ZONA ROJA
4
6
4
√3 = √3 + π – 1
AZONA ROJA = 1 – π – 2 + π +
2
2
4
3
12
De este modo, se tiene que:
• La superficie ocupada por el color verde será:
(
)
√3 =
4 · AZONA VERDE = 4 1 – π –
4
6
(
)
= 4 – 2π – √3 m 2 ≈ 0,17 m 2
3
• La superficie ocupada por el color rojo será:
4 · AZONA ROJA = 4 ·
(√
) (
)
3
+ π – 1 = 2 √3 + π – 4 m 2 ≈ 0,51 m 2
2
12
3
• La superficie ocupada por el color naranja será:
(
) (
)
ACUADRADO – 4 – 2π – √3 – 2 √3 + π – 4 =
3
3
(
)
= 1 – 4 + 2π + √3 – 2 √3 – π + 4 = 1 + π – √3 m 2 ≈ 0,31 m 2
3
3
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