Desarrollo general del cuadrado de un binomio

Aclaración sobre las diferentes fórmulas de la varianza que
aparecen en los textos de la asignatura.
Para aclarar una pregunta recurrente acerca de las formas que adopta la fórmula de la
varianza, el equipo docente ha elaborado una pequeña nota explicativa.
Partimos de la expresión algebraica del cuadrado de un binomio:
Desarrollo general del cuadrado de un binomio
(a − b) 2 = (a − b) ⋅ (a − b) = (a ⋅ a ) − (a ⋅ b) − (b ⋅ a ) + (b ⋅ b) = a 2 − 2ab + b 2
Este desarrollo general es la clave para leer las diferentes formas de expresar la
Varianza. Al añadir los sumatorios y las frecuencias implicadas en la varianza la
expresión del cuadrado del binomio parece más complicada, pero es análoga.
Desarrollo del binomio del numerador de la fórmula de la varianza
Si observamos el numerador de la fórmula de la varianza, es un binomio al cuadrado. Se
trata del cuadrado de las diferencias entre los valores de la variable y la media de la
distribución (ver definición de Varianza).
Al desarrollar el cuadrado de las diferencias hemos de tener en cuenta que uno de los
elementos (la media) es una constante, por tanto puede salir del sumatorio.
n
n
∑ ( xi − x)2
V=
i =1
n
=
∑ xi
i =1
n
2
n
n
2
∑ xi
xn
+
− 2 x i =1
n
n
=
∑ xi2
i =1
n
n
2
+ x 2 −2 x =
∑x
i =1
n
2
−x
2
Esta última expresión es útil si se calcula la varianza a mano, pero actualmente las
máquinas de cálculo hacen que no sea muy utilizada. Sin embargo es interesante
familiarizarse con las fórmulas, pues a veces debemos calcular varianzas más complejas
y comprenderemos mejor fórmulas más complicadas.
Pasos seguidos:
A desarrollar el cuadrado del binomio, surgen 3 términos:
(el cuadrado del primer elemento del binomio) + (el cuadrado del segundo) – (el doble
producto del primero por el segundo).
El primer término, lo dejamos como está
i =1
∑x
2
i
n
n
En el segundo término, el sumatorio de una constante es igual al producto de la
constante por el número de sumandos. En este caso el sumatorio de la media es el
sumatorio de la misma cantidad, es decir, n veces la media.
Entonces podemos sustituir la expresión:
n
∑x
2
2
i =1
xn
n
por
n
suprimiendo n en el numerador y el denominador, queda la media al cuadrado
En el tercer término del polinomio podemos identificar claramente que se multiplica la
media por si misma, pues
n
∑x
i
i =1
n
=x
Entonces el producto de la media por si misma es la media al cuadrado:
i =1
− 2x
∑x
i
= −2 x
n
n
2
Finalmente los dos últimos términos del polinomio se unen, pues la media al cuadrado
menos dos veces la media al cuadrado es igual a la media al cuadrado con signo
negativo:
2
x 2 −2 x = − x
2
En el caso de frecuencias agrupadas:
n
V=
∑ (x
i =1
i
− x) 2 ni
n
n
=
∑x
i =1
n
i
2
x
+
2
i =1
n
i
n
n
n
∑n
− 2x
∑xn ∑x n
i i
i =1
n
=
i =1
2
i i
n
n
2
+ x −2 x =
2
∑x n
2
i
i =1
n
−x
2
Fórmula de la varianza en el libro de Socioestadística
En algunos textos antiguos, como el de Socioestadística de García Ferrando, escribe la
varianza de otra forma. En la fórmula (3.15) :
f x 2 − (∑ f i xi ) 2 / N
S2 = ∑ i i
N
Esta fórmula, que en principio serviría para facilitar los cálculos, actualmente sólo
consigue confundir a los lectores poco habituados a los cálculos algebraicos.
Pero con pequeñas transformaciones podemos ver claramente que se trata de la misma
expresión y el mismo cálculo, aunque escrito de forma más enrevesada.
La fórmula 3.15 podemos transformarla de la siguiente manera:
− (∑ f i xi ) 2 / N ∑ f i xi2 (∑ f i xi ) / N
=
−
S
N
N
N
Pero el segundo término de la expresión es engorroso y puede simplificarse, ya que N
aparece dividiendo dos veces, en el numerador y en el denominador, y puede escribirse
como N2 en el denominador:
2
fx
=∑
2
i i
2
− (∑ f i xi ) 2 / N ∑ f i xi2 (∑ f i xi ) / N ∑ f i xi2 (∑ f i xi )
=
−
=
−
S
N
N
N
N
N2
Siguiendo con las simplificaciones, podemos reducir aún más el último término:
2
fx
=∑
2
2
i i
2
i i
− (∑ f i xi ) 2 / N
=
N
∑fx
( fx) =∑fx
− ∑

fx 
−  ∑ i i 
S
N
N
N
 N 
El último término es ahora claramente identificable como una media al cuadrado
Y por tanto se puede escribir la varianza de la siguiente manera :
f i xi2
2
∑
2
S =
−x
N
Mucho más sencilla de leer y manejar.
2
fx
=∑
2
2
i i
2
i i
2
2
i i
2