Sobre la estabilidad globalmente asintótica de sistemas singulares

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matemática Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–8)
Sobre la estabilidad globalmente asintótica de sistemas
singulares no lineales
B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez
Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera s/n,
46022 Valencia. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected].
Palabras clave:
sistema singular, sistema no lineal, estabilidad globalmente asintótica, Lyapunov
Resumen
En este trabajo se estudia el problema de la estabilidad global para sistemas singulares no lineales. Para ello se utiliza la definición de estabilidad asintótica según
Lyapunov. Los resultados obtenidos son una generalización de dicho problema para el
caso de sistemas no lineales estándar.
1.
Preliminares
Por lo general, los modelos matemáticos que representan procesos atmosféricos, ecológicos, de ingenierı́a, biológicos y económicos son sistemas no lineales. Uno de los problemas
más importantes en el estudio de modelos es la estabilidad del proceso. En el caso de
sistemas lineales es conocido que si el sistema es asintóticamente estable, la estabilidad
asintótica se mantiene para todos los estados. Desafortunadamente en el caso no lineal, esto
no es suficiente, y es cuando aparece el concepto de estabilidad globalmente asintótica, [1]
y [5]. Recientemente varios autores han tratado estos temas, pero sólo unos pocos trabajos
generalizan estos resultados para los sistemas singulares no lineales.
En este trabajo se estudia el concepto de estabilidad global que juega un importante
papel en los problemas referentes a la estabilización de los sistemas en su forma espacioestado. Para ello se aplica la teorı́a de estabilidad de Lyapunov. Se resuelve el problema
para distintas clases de sistemas no lineales, aportando ejemplos numéricos con el fin de
ilustrar los resultados obtenidos.
A continuación introducimos algunas definiciones y propiedades que se usan a lo largo
del trabajo.
Consideramos un sistema singular no lineal dado por
1
B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez
Ex(k + 1) = f (x(k)) , k ∈ N
(1)
donde E ∈ Rn×n es una matriz singular, x(k) ∈ Rn representa el estado y f : Rn → Rn
es una función continuamente diferenciable en Rn .
Se dice que un vector x∗ ∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema (1) si verifica que
∗
Ex = f (x∗ ). Si se denota por x0 el estado inicial, se pueden extender las definiciones
habituales de estabilidad para el caso estándar, dadas en [4], al caso singular.
Definición 1.1 Consideramos el sistema (1).
i) El punto de equilibrio x∗ de (1) es estable si dado ² > 0, existe δ = δ(²) > 0 tal que
kx0 − x∗ k < δ entonces kx(k) − x∗ k < ², para todo k ≥ 0. Dicho punto de equilibrio
es inestable si no es estable.
ii) El punto de equilibrio x∗ de (1) es atractor si ∃ µ = µ(0) tal que kx0 − x∗ k < µ
entonces lı́m x(k) = x∗ .
k→∞
iii) El punto de equilibrio x∗ de (1) es asintóticamente estable si es estable y atractor.
La región donde se verifica la propiedad de estabilidad asintótica se llama dominio
de atracción.
La propiedad de estabilidad, en el sentido de Lyapunov, se da en términos de las
matrices definidas.
Una
matriz A ∈ Rn×n es (semi) definida positiva si es simétrica y
¡
¢
xT Ax > 0 xT Ax ≥ 0 para todo x ∈ Rn distinto de cero. El término (semi) definida
negativa significa que −A es (semi) definida positiva. Denotamos por A > 0 (A ≥ 0) donde
A es una matriz (semi) definida positiva y por A < 0 (A ≤ 0) donde A es una matriz
(semi) definida negativa.
El concepto de función de Lyapunov se muestra en la siguiente definición.
Definición 1.2 Sea V : Rn → R una función de valores reales. El decremento de la
variación de V relativo al sistema se define como
∆V (x(k)) = V (x(k + 1)) − V (x(k)).
La función V es una función de Lyapunov si V es continua y el decremento ∆V (x) ≤ 0.
En [4] aparece un resultado sobre el análisis de la estabilidad del punto de equilibrio
cuando el sistema considerado es estándar, es decir, E = I.
Teorema 1.1 Si V es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio x∗ y satisface
V (x∗ ) = 0 y V (x) > 0 , entonces x∗ es estable. Si, además, ∆V (x) < 0, siempre que
x 6= x∗ , entonces x∗ es asintóticamente estable.
Cuando el sistema a estudiar es un sistema lineal singular dado por
Ex(k + 1) = Ax(k)
con E, A ∈ Rn×n , la respuesta del puede darse en términos de los valores propios generalizados (finitos e infinitos) del par (E, A). Para asegurar que el sistema admite solución
necesitamos la propiedad de regularidad del par (E, A). En la siguiente definición recogemos los conceptos básicos para un par de matrices (para más detalles, ver [2] y [7]).
2
Estabilidad globalmente asintótica
Definición 1.3 Consideramos el par (E, A). Este es regular si det(λE −A) 6= 0, es causal
si grado(det (λE − A)) = rg(E), es Schur estable si es regular y todos sus valores propios
se encuentran en el interior del cı́rculo unidad en el plano complejo. Y finalmente, el par
(E, A) es admisible si es regular, causal y Schur stable.
El siguiente resultado sobre la estabilidad del par (E, A) se encuentra en [9].
Teorema 1.2 Si el par (E, A) es admisible entonces para cada matriz (semi) definida
positiva Q la ecuación
AT P A − E T P E = −Q
(2)
tiene una única solución (semi) definida positiva P . Inversamente, si existen dos matrices
definidas positivas P y Q que satisfagan (2), entonces el par (E, A) es admisible.
Además, usando la función generalizada de Lyapunov, (ver [8]), dada por V (x) =
xT E T P Ex, se obtiene el siguiente resultado (ver [3] y [10] ).
Teorema 1.3 El par (E, A) es admisible si y sólamente si existe una matriz simétrica
invertible P tal que E T P E es una matriz semidefinida positiva y AT P A − E T P E es una
matriz definida negativa.
2.
El problema de la estabilidad globalmente asintótica
Si la estabilidad asintótica se mantiene para todos los estados iniciales, es decir, si la
trayectoria converge en el punto de equilibrio, entonces se obtiene el concepto de estabilidad
globalmente asintótica. Dicho concepto queda formalizado en la siguiente definición.
Definición 2.1 El punto de equilibrio x∗ de (1) es globalmente asintóticamente estable si
es asintóticamente estable y el dominio de atracción es todo el espacio Rn .
Si el sistema es estándar (E = I) y x∗ es asintóticamente estable entonces la estabilidad
del sistema es global. Este no es el caso del sistema no lineal, donde es necesario añadir
alguna condición a la función de Lyapunov.
Teorema 2.1 [4] Si V es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio x∗ del
sistema x(k + 1) = f (x(k)) que satisface V (x∗ ) = 0 y V (x) > 0, ∆V (x) < 0, siempre
que x 6= x∗ , y V (x) → ∞ cuando kxk → ∞, entonces x∗ es globalmente asintóticamente
estable.
En este trabajo estudiamos los sistemas singulares no lineales dados por
Ex(k + 1) = f (x(k)) .
Si rg(E) = n1 < n entonces, sin pérdida de generalidad, este sistema puede escribirse
como
µ
¶µ
¶ µ
¶
In1 O
x1 (k + 1)
f1 (x(k))
=
(3)
O O
x2 (k + 1)
f2 (x(k))
3
B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez
donde x1 (k) ∈ Rn1 , x2 (k) ∈ Rn2 , f1 : Rn → Rn1 y f2 : Rn → Rn2 , n1 + n2 = n, son
funciones continuamente diferenciables en Rn .
Obsérvese que por la estructura del sistema (3), x∗ = (x∗1 T x∗2 T )T es un punto de
equilibrio si f1 (x∗ ) = x∗1 y f2 (x∗ ) = 0. Esto significa que los puntos de equilibrio del
sistema (3) vienen determinados a partir de los del subsistema estándar. Es decir, si x∗1 es
un punto de equilibrio de
x1 (k + 1) = f1 (x̄(k)),
(4)
con x̄(k) = (xT1 (k) 0)T , y satisface que
f2 ((x∗1 T 0)T ) = 0,
(5)
entonces x̄∗ = (x∗1 T 0)T es un punto de equilibrio de (3). Inversamente, si f2 satisface que
la solución de f2 (x(k)) = 0 es x(k) = x̄(k), entonces cualquier punto de equilibrio x∗ de
(3) se construye como (x∗1 T 0)T , siendo x∗1 un punto de equilibrio de (4) que satisface la
condición (5).
En el siguiente resultado se establecen condiciones que aseguren esta propiedad para
sistemas singulares no lineales, usando, para ello, la función de Lyapunov.
Teorema 2.2 Supongamos que el sistema singular no lineal (3) tiene solución. Sea f2
∂f2
tal que la matriz Jacobiana J =
es invertible para todo x, y f2 (x(k)) = 0 implica
∂x2
x2 (k) = 0. Si V es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio x∗ tal que
i) V (x∗ ) = 0, V (x) > 0 y ∆V (x) < 0, siempre que x 6= x∗ , y
ii) V (x) → ∞ cuando kxk → ∞
entonces x∗ es globalmente asintóticamente estable.
Demostración. Como f2 (x(k)) = 0 implica que x2 (k) = 0, la solución del sistema (3)
es x̄(k) = (xT1 (k) 0)T y satisface
x1 (k + 1) = f1 (x̄(k))
0 = f2 (x̄(k)).
(6)
A partir de V (x) definimos V1 (x1 ) = V (x̄) y directamente se comprueba que V1 (x) es
una función de Lyapunov que satisface todas las condiciones que aseguran que el punto
de equilibrio x∗1 del sistema estándar (4) es globalmente asintóticamente estable. Por lo
tanto, el punto de equilibrio x∗ = (x∗1 T 0)T del sistema (3) es globalmente asintóticamente
estable.
¤
A continuación, damos algunas condiciones sobre la función f1 con el propósito de
construir una función de Lyapunov apropiada.
Teorema 2.3 Supongamos que el sistema singular no lineal (3) tiene solución. Sea f1 tal
que satisfaga
kf1 (x̄(k))k < kx̄(k)k
∂f2
es invertible para
∂x2
∗
todo x y f2 (x(k)) = 0 implica que x2 (k) = 0, entonces x es globalmente asintóticamente
estable.
siendo x̄(k) = (xT1 (k) 0)T , y sea f2 tal que la matriz Jacobiana J =
4
Estabilidad globalmente asintótica
Demostración. Aplicando la hipótesis en el sistema (3) tenemos que su solución
x̄(k) = (x1 (k)T 0)T satisface (6). Construyendo V (x) = kExk, tenemos que V (x) > 0 y
V (0) = 0 y además,
∆V (x(k)) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = kf1 (x̄(k))k − kx̄(k)k < 0
y V (x) → ∞ cuando kxk → ∞.
¤
Como ejemplo de un sistema singular que satisface las condiciones del teorema anterior,
podemos considerar un sistema compartimental del tipo (3) tomando f2 (x) = Ax2 , con
A una matriz invertible. Para ilustrar el desarrollo teórico realizado incluimos el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2.1 Consideramos el


1 0 0 0
 0 1 0 0 


 0 0 0 0 
0 0 0 0
sistema singular no lineal (3) dado por
 
x11 (k + 1)
0,25x12 (k)[x22 (k) + 1]

x12 (k + 1) 
−0,5x11 (k)
=


x21 (k + 1)
x21 (k) − x22 (k)
x22 (k + 1)
x22 (k)x221 (k)


.

Entonces, como x̄ = (xT1 (k) 0)T , tenemos
q
kf1 (x̄(k))k = 0,5 0,25x212 (k) + x211 (k) < kx̄(k)k.
∂f2
es invertible, y
∂x2
f2 (x(k)) = 0 implica x2 (k) = 0. Por lo tanto, la hipótesis del Teorema 2.3 se satisface y
el sistema es globalmente asintóticamente estable.
Además, la solución de este sistema es x̄ = (xT1 (k) 0)T , siendo x1 (k) la solución del
subsistema estándar
µ
¶
0 0,25
x1 (k + 1) =
x1 (k).
−0,5
0
Por otra parte, se verifican las condiciones sobre f2 , es decir J =
Como los valores propios de la matriz se encuentran dentro del cı́rculo unidad, la solución
del subsistema estándar es globalmente asintóticamente estable.
A continuación se consideran algunos tipos especiales del sistema dado en (3) que
admiten un estudio particular. Para ello, introducimos en primer lugar los siguientes conjuntos de funciones F y F,
F
F
= {φ : R → R / |φ(x)| ≤ |x| y φ(0) = 0}
n
o
=
Φ : Rn → Rn / Φ(x) = (φ1 (x1 ) , . . . , φn (xn ))T , φi ∈ F, i = 1, . . . , n ,
y los conjuntos de matrices M y M,
©
ª
M = P1 ∈ Rn1 ×n1 / P1 = diag(p1i ) > 0 ,
©
ª
M = P ∈ Rn×n / P = diag(P1 , P2 ) with P1 ∈ M, n1 < n .
Si ahora consideramos el sistema
Ex(k + 1) = AΦ(x(k))
(7)
donde A ∈ Rn×n y Φ : Rn → Rn es una función continuamente diferenciable en Rn ,
Φ ∈ F, podemos establecer el siguiente resultado.
5
B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez
Teorema 2.4 Sea el sistema (7). Si existe una matriz P ∈ M tal que AT P A − E T P E es
una matriz definida negativa, entonces la solución cero de (7) es globalmente asintóticamente estable.
Demostración. Como P ∈ M entonces V (x) = (Ex)T P Ex = xT1 P1 x1 > 0, y
4V (x (k)) = V (x (k + 1)) − V (x (k))
= ΦT (x(k)) AT P AΦ (x(k)) − xT (k)E T P Ex(k).
Para x(k) 6= 0 con Φ (x(k)) = 0 tenemos
4V (x (k)) = −xT (k)E T P Ex(k) = −xT1 (k)P1 x1 (k),
entonces 4V (x (k)) es definida negativa. Y en el caso en que x(k) 6= 0 y Φ (x(k)) 6= 0,
como Φ ∈ F,
ΦT (x(k)) E T P EΦ (x(k)) =
n1
X
p1i (φi (xi (k)))2 =
i=1
≤
n1
X
n1
X
p1i |φi (xi (k))|2
i=1
p1i |xi (k)|2 = xT (k)E T P Ex(k).
i=1
Por lo tanto,
4V (x(k)) = φT (x(k)) AT P Aφ (x(k)) − φT (x(k)) E T P Eφ (x(k))
¡
¢
≤ φT (x(k)) AT P A − E T P E φ (x(k)) .
De aquı́ 4V (x (k)) es definida negativa.
¤
Con el fin de ilustrar el resultado obtenido en el Teorema 2.4 se muestra el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2.2 Consideramos un sistema dado por




1 0 0
0 1 −1
1  y Φ (x(k)) ∈ F.
E =  0 1 0 , A =  0 0
0 0 0
1 0
3


1 0
0
0 
Usando la matriz diagonal P =  0 2
0 0 −1


−2
0 −3
AT P A − E T P E =  0 −1 −1  ,
−3 −1 −6
es una matriz definida negativa. De forma análoga a la demostración del Teorema 2.4
comprobamos que
V (x) = x211 + 2x212 > 0.
6
Estabilidad globalmente asintótica
Por otra parte, para x(k) 6= 0, si Φ (x(k)) = 0 tenemos que
4V (x (k)) = −(x211 + 2x212 ) < 0,
y si Φ (x(k)) 6= 0 obtenemos


−2
0 −3
4V (x(k)) ≤ φT (x(k))  0 −1 −1  φ (x(k)) < 0.
−3 −1 −6
Por lo que la solución del sistema es globalmente asintóticamente estable.
En el caso en que el sistema venga dado por
Ex(k + 1) = Φ (Ax(k)) , k ∈ N
donde Φ ∈ F y
µ
A=
A1 O
O In2
(8)
¶
,
(9)
obtenemos los siguientes resultados.
Proposición 3 Sea A dada en (9) y Φ ∈ F. Entonces kΦ(Ax)k < kA1 x1 k, x ∈ Rn y si
P ∈ M con P2 < 0 entonces ΦT (Ax)P Φ(Ax) < (A1 x1 )T P1 (A1 x1 ).
Demostración. Por la estructura de la función Φ y de la matriz A,
µ
¶
Φ1 (A1 x1 )
Φ(Ax) =
,
Φ2 (x2 )
y por tanto, kΦ(Ax)k < kAxk ≤ kA1 x1 k, x ∈ Rn . Por otra parte, si P2 < 0 y teniendo en cuenta ΦT (Ax)P Φ(Ax) = ΦT1 (A1 x1 )P1 Φ1 (A1 x1 ) + ΦT2 (x2 )P2 Φ2 (x2 ), tenemos que
ΦT (Ax)P Φ(Ax) < (A1 x1 )T P1 (A1 x1 ).
¤
Teorema 3.1 Sea el sistema (8). Si existe una matriz P ∈ M tal que AT P A−E T P E < 0,
entonces la solución cero de (8) es globalmente asintóticamente estable.
Demostración. A partir de la condición del teorema se sigue que AT1 P1 A1 − P1 < 0 y
P2 < 0. Entonces V (k) = (Ex)T P Ex = xT1 P1 x1 > 0, y 4V (x (k)) = ΦT (Ax(k)) P Φ (Ax(k))−
xT (k)E T P Ex(k).
Para x(k) 6= 0 con Φ (Ax(k)) = 0
4V (x (k)) = −xT (k)E T P Ex(k) = −xT1 (k)P1 x1 (k),
entonces 4V (x (k)) es definida negativa. Y si x(k) 6= 0 con Φ (Ax(k)) 6= 0, usando la
Proposición 3
4V (x (k)) ≤ xT1 (k)AT1 P1 A1 x1 (k) − xT1 (k)P1 x1 (k)
¡
¢
= xT1 (k) AT1 P1 A1 − P1 x1 (k).
Por lo que 4V (x (k)) es definida negativa.
¤
7
B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez
Referencias
[1] C. I. Byrnes, W. Lin. Losslessness, feedback equivalence, and the global stabilization of discrete-time
nonlinear systems. IEEE Trans. Automat. Control, vol.39, no.1 (1994), 83-98.
[2] L. Dai, Singular Control Systems, Springer-Verlag, 1989.
[3] C.H. Fang, L. Lee, and F.R. Chang. Robust control analysis and design for discrete-time singular
systems. Automatica, vol.30, no.11 (1994), 1741-1750.
[4] E. Kaszkurewicz and A. Bhaya, Matrix diagonal stability in systems and computation, Birkhauser
Verlag, 2000.
[5] V.S. Kozyakin, A. Bhaya, E. Kaszkurewicz. A global asymptotic result for a class of totally asynchronous discrete nonlinear systems. Math. Control Signals Systems, vol.11 (1999), 143-166.
[6] H. Kwakernaak and R. Sivan, Linear Optimal Control Systems, Wiley and Sons Inc., 1972.
[7] F.L. Lewis, A survey of linear singular systems. Circuits Systems Signal Processing, vol.5 (1986),
3-36.
[8] P. Misra, Numerical solution of generalized Lyapunov equations for descriptor systems. Proc. 30th
Annual Allerton Conf. Comm. Control, Comp., (1992).
[9] T. Stykel. Stability and inertia theorems for generalized Lyapunov equations. Linear Algebra Appl.,
vol.355 (2002), 297-314.
[10] S. Xu, C. Yang. Stabilization of discrete-time singular systems: a matrix inequalities approach. Automatica, vol.35 (1999), 1613-1617.
8