Sesión 5

SESION 4
1. El comando Integrate
2. Aproximación de integrales definidas
3. Integración de funciones racionales
PRACTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1.
Antonio Jesús López Moreno
El comando Integrate
El cálculo de integrales definidas e indefinidas en MATHEMATICA es sencillo y se realiza mediante la
instrucción Integrate. La instrucción Integrate es capaz de resolver una amplísima variedad de
integrales. El manejo de la instrucción queda descrito en el siguiente cuadro
Comando: Integrate
Sintaxis:
1.
2.
Integrate[f[x],x]
Integrate[f[x],{x,x0,x1}]
Resultado:
Formato 1: Proporciona la integral indefinida de la función f[x] con respecto a la variable x. En el
resultado proporcionado no aparecerá ninguna constante de integración por lo que realmente la
instrucción proporciona una primitiva de f[x].
Formato 2: Proporciona la integral definida de la función f[x] con respecto a la variable x en el
intervalo (x0, x1), es decir,
∫ f[x]dx .
x1
x0
Ejemplo 1:
In[6]:=
Integrate[x2,x]
x3
3
1
Integrate[ 2
,x]
(x + 1)2
x
ArcTan[x]
+
2
2
2(1 + x )
1
Integrate[
,t]
(t − a)2 + b 2
⎡ − a + t⎤
ArcTan⎢
⎥
⎣ b ⎦
b
Integrate[x2,{x,0,2}]
8
3
Integrate[2a Cos[b t],{t,0,2π}]
2aSin[bπ]
b
Integrate[x Æx,{x,0,π}]
Out[6]=
In[7]:=
Out[7]=
1+Æ (-1+π)
N[%]
50.5579
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
π
2
Véase que, aunque en la expresión
que estamos integrando aparecen
más variables (a y b), la integración
se realizará respecto a la variable t.
Puede verse como el resultado
obtenido se corresponde con la
fórmula que vimos en teoría para las
integrales de este tipo.
En este caso efectuamos la integral
definida con respecto a la variable t. El
resultado de la integral dependerá de los
valores de las variables a y b. Véase como
la variable de integración, t, ha
desaparecido del resultado final.
Podemos obtener la integral definida y
luego
aproximar
el
resultado
numéricamente.
PRACTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Antonio Jesús López Moreno
Es posible utilizar el comando Integrate mediante una notación más próxima a la notación
matemática habitual. Ello es posible empleando la paleta de símbolos que aparece en la pantalla al
iniciarse el programa.
Integral indefinida
Integral definida
Para utilizar la paleta basta con pulsar el botón correspondiente a la integral definida o indefinida tras lo
cual se mostrarán en el área de trabajo los símbolos de integración asociados a ese botón. Finalmente, se
completan los recuadros en blanco que aparecen, situando en ellos los valores que deseemos para la
expresión a integrar, variable de integración y límites de integración.
Es posible, por último, utilizar el teclado para obtener en pantalla los símbolos de integración que
deseemos. Recordando las siguientes combinaciones de teclas podremos insertar desde el teclado todos
los elementos necesarios para calcular una integral
ƒ
el símbolo
∫
se obtiene mediante la combinación de teclas: ∑int∑
el símbolo de diferencial, Å , se obtiene mediante: ∑dd∑
los límites de integración para la integral definida se obtienen siguiendo los pasos que a
continuación se indican:
1. el límite inferior se consigue con: ‚ + 2. una vez introducido el índice inferior pasamos directamente al superior
con: ‚ + Ë + 5 (es decir ‚ + %)
3. tras introducir el valor del límite superior el cursor saldrá de las posiciones
correspondientes a los límites de integración mediante: ‚ + È
Recuérdese que en los puntos anteriores cuando escribimos varias teclas unas a continuación de otras ello
indica que esas teclas se pulsarán secuencialmente una tras otra y en cambio cuando escribimos el
símbolo de suma (+) las teclas se pulsarán, sosteniendo la pulsación, también en el mismo orden en que
estén escritas.
ƒ
ƒ
Ejemplo 2:
La combinación de teclas
∑int∑ ‚ + - 0 ‚ + Ë + 5 1 ‚ + Ë
da lugar a
∫ Cos[x] Åx.
1
0
La combinacíon
∑int∑
x ∑dd∑ x
da lugar a
∫ x Åx.
3
Cos[x] ∑dd∑ x
PRACTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Antonio Jesús López Moreno
EJERCICIOS
Obténgase mediante MATHEMATICA la integral indefinida de las funciones
1
y f (x) = 3 x
f (x) =
1+ x2
Efectúese este ejercicio de tres maneras diferentes: utilizando la instrucción Integrate explícitamente,
utilizando la paleta de símbolos y finalmente utilizando el teclado para introducir los símbolos de
integración.
Calcular el área comprendida entre las funciones
ƒ f1(x) = x3 – 9x2 + 23x – 15
ƒ f2(x) = 2x4 – 25x3 + 103x2 – 164x + 84
en el intervalo [0,5]. (sugerencia: utilícese una representación gráfica para estudiar la forma de la región
cuya área vamos a calcular y posteriormente determínese mediante Solve los posibles puntos de corte
entre f1 y f2 para obtener los límites de integración adecuados. Téngase en cuenta la nota al final del
ejercicio).
NOTA: Aunque MATHEMATICA efectúa los cálculos con una precisión elevada, en ocasiones, como
consecuencia de la acumulación de pequeños errores de redondeo, resultados que debería tener valor cero
aparecen con un valor muy próximo a cero aunque no exactamente nulo. Estos valores que son
prácticamente cero pueden eliminarse mediante la instrucción Chop. Así por ejemplo
In[1]:=
Chop[5+3×10-16I]
Out[1]= 5
En este ejemplo, el número complejo 5+3×10-16i tiene parte imaginaria prácticamente nula (la parte
imaginaria sería 3×10-16 = 0.0000000000000003) con lo que la instrucción Chop la elimina por ser un
número muy próximo a cero dejando solamente la parte real (en este caso 5). La instrucción Chop es útil
cuando tras aplicar la instrucción N a una expresión observamos que aparecen números complejos con
partes imaginarias prácticamente nulas que son, en general, debidas a errores en cálculos internos
realizados por MATHEMATICA.
2.
Aproximación de integrales definidas
Cuando resolvemos una integral indefinida esperamos siempre obtener como solución una fórmula en la
que aparezcan en una cantidad finita las funciones elementales que conocemos (ex, cos, sen, polinomios,
etc.) relacionadas entre si mediante una cantidad también finita de operaciones de suma, producto,
potenciación o composición. Sin embargo esto no siempre es posible y podemos encontrar una amplia
clase de funciones (denominadas funciones trascendentales) para las que su integral no puede ser
expresada mediante una fórmula finita en el sentido que antes hemos comentado. Ello no quiere decir que
estas funciones no tengan integral, simplemente sucede que su integral no puede expresarse mediante una
fórmula sencilla y su estudio precisará otros métodos de los que no nos ocuparemos en este curso.
Como ejemplo, si intentamos resolver con MATHEMATICA la integral
∫ cos(sen x )dx ,
no obtendremos respuesta alguna
In[1]:=
Integrate[Cos[Sin[x]],x]
Out[1]=
∫
Cos[Sin[x]] Åx
Ello se debe a que la función f(x) = cos(sen x) es una función trascendente y su integral no tiene una
expresión finita en términos de funciones elementales.
Cuando lo que pretendemos obtener es la integral definida en lugar de la indefinida el problema anterior
desaparece ya que al calcular la integral definida pretendemos obtener un único número en lugar de toda
una fórmula. Un número puede ser aproximado mientras que una fórmula o función necesita, para ser
aproximada, técnicas matemáticas sofisticadas que se salen del alcance de este curso. De esta manera
MATHEMATICA no podrá calcular directamente el valor (este valor será un número) de
1
∫ cos(sen x)dx
0
4
PRACTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Antonio Jesús López Moreno
pero si podrá obtener una aproximación numérica. Véase que si pretendemos calcular la integral definida
anterior directamente con MATHEMATICA, el programa no nos proporciona respuesta.
Disponemos de dos métodos en MATHEMATICA para aproximar la integral definida de una función.
1. En primer lugar podemos utilizar la instrucción de aproximación N. Por ejemplo
In[1]:=
N[Integrate[Cos[Sin[x]],{x,0,1}]]
Out[1]= 0.86874
con lo que obtenemos que
1
∫ cos(sen x)dx = 0.86874.
0
2.
En segundo lugar podemos emplear la instrucción NIntegrate que se describe a continuación
Comando: NIntegrate
Sintaxis:
NIntegrate[f[x],{x,x0,x1}]
Resultado: Obtiene una aproximación numérica de la integral definida
∫ f[x]dx .
x1
x0
Ejemplo 3:
In[1]:= NIntegrate[Cos[Sin[x]],{x,0,1}]
Out[1]= 0.86874
EJERCICIOS
Calcular las siguientes integrales definidas
5 sen(x)
2
x2
dx ,
∫0 e dx ,
1
x
∫
3.
∫
5
1
sen(e x )
dx .
x
Integración de funciones racionales
En teoría hemos visto un método para calcular la integral indefinida de una función racional. Este método
se basa en descomponer la función racional en cuestión en suma de funciones más sencillas que
denominamos fracciones simples integrando posteriormente esta descomposición. Aunque el cálculo de
la integral de una función racional pueda realizarse directamente mediante la instrucción Integrate,
pudiera ser que, o bien la instrucción Integrate no sea capaz de obtener la integral deseada, o bien que
nos interese la obtención de la integral paso a paso (para comprobar un ejercicio, por ejemplo). Utilizando
los comandos que incorpora MATHEMATICA es posible seguir los pasos necesarios para obtener la
descomposición en fracciones simples de una manera sencilla. Veamos con un ejemplo como ello es
posible:
Para calcular la integral
x 7 + 3x 4 + x + 1
dx
− x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1
necesitamos descomponer la función racional que en ella aparece como una suma de fracciones simples.
Esta descomposición la obtendremos a través de los siguientes pasos:
∫x
5
Al ser el grado del numerador superior al grado del denominador hemos de dividir ambos
1.
polinomios. Para efectuar esta división emplearemos la instrucción PolynomialDivision
5
PRACTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Antonio Jesús López Moreno
Comando: PolynomialDivision
Sintaxis:
PolynomialDivision[p,q,x]
en donde x es una variable y p, q son polinomios en la variable x.
Resultado: Proporciona la lista
{resultado,resto}
siendo: resultado el resultado de dividir p entre q.
resto el resto de la división de p entre q.
En nuestro caso efectuaremos
In[1]:=
PolynomialDivision[x7+3x4+x+1,x5-x4+2x3-2x2+x-1,x]
2
2
3
4
Out[1]= {-1+x+x ,3x-2x +3x 2x }
tras lo cual sabemos que
x 7 + 3x 4 + x + 1
2 x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 3x
2
1
x
x
=
−
+
+
+
x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1
x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1
Tenemos ahora que descomponer en fracciones simple la función racional
2 x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 3x
x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1
Igualamos el denominador de la función racional a cero y obtenemos las soluciones de la
2.
ecuación que así resulta:
In[2]:=
Solve[x5-x4+2x3-2x2+x-1==0,x]
Out[2]= {{x→-Ç},{x→-Ç},{x→Ç},{x→Ç},{x→1}}
de manera que obtenemos las soluciones
⎧complejas conjugadas : x = ±i (multiplicidad 2).
⎨
⎩reales : x = 1 (multiplicidad 1).
y por tanto la función racional tendrá una descomposición en fracciones simples del tipo
2 x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 3x
a
bx + c
dx + e
,
=
+ 2
+ 2
5
4
3
2
x − x + 2 x − 2x + x − 1 x − 1 x + 1 ( x + 1) 2
donde hemos interpretado la solución compleja x=i como x=0+1 i.
3.
Hemos de calcular finalmente los coeficientes a, b, c, d y e. La igualdad anterior debe
mantenerse para cualquier valor de x. Si sustituimos x por 0 obtenemos que
2 ⋅ 0 4 + 3 ⋅ 03 − 2 ⋅ 0 2 + 3 ⋅ 0
a
b⋅0 + c d⋅0 + e
=
+ 2
+
⇒ 0 = −a + c + e
5
4
3
2
0 − 0 + 2 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 + 0 − 1 0 − 1 0 + 1 (0 2 + 1) 2
Vemos que dando a x un valor obtenemos una ecuación en la que aparecen las variables a, b, c, d y e.
Podemos emplear una regla de sustitución para realizar esta misma tarea de forma sencilla con
MATHEMATICA:
2x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 3x
a
bx + c
dx + e
==
+
+
In[3]:=
/.x→0
x − 1 x 2 + 1 (x 2 + 1)2
x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1
Out[3]= 0m-a+c+e
Dando a x distintos valores podríamos haber obtenido diferentes ecuaciones. Puesto que tenemos cinco
variables (a, b, c, d y e) necesitamos cinco ecuaciones y debemos dar cinco valores diferentes a x.
Podemos hacerlo dando distintos valores uno a uno según el mismo formato que hemos empleado en In[3]
o podemos realizar todas las sustituciones en una sola instrucción. En la siguiente instrucción realizamos
en un solo paso las sustituciones x→0, x→-1, x→2, x→-2, x→3:
2x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 3x
a
bx + c
dx + e
==
+ 2
+ 2
In[3]:=
/.{{x→0},{x→-1}
5
4
3
2
−
x
1
x − x + 2x − 2x + x − 1
x + 1 (x + 1)2
{x→2},{x→-2},{x→3}}
3
a 1
1
54
1
Out[3]= {0m-a+c+e, m − + (-b+c)+
(-d+e),
ma+ (ab+c)+
4
2 2
4
25
2
1
2
a 1
1
(2d+e),
m − + (-2b+c)+
(-2d+e),
25
25
3 5
25
6
PRACTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Antonio Jesús López Moreno
117 a 1
1
m +
(3b+c)+
(3d+e)}
100 2 10
100
Para calcular el valor de a, b, c, d y e bastará con resolver el sistema que forman estas cinco ecuaciones
empleando la instrucción solve:
In[4]:=
Solve[%]
3
1
7
Out[4]= {{a→ ,b→ ,c→ ,d→-2,e→-2}}
2
2
2
De manera que finalmente la descomposición en fracciones simples es
2x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 3x
3
x+7
2x + 2
=
+
−
x 5 − x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 2( x − 1) 2( x 2 + 1) ( x 2 + 1) 2
y aplicando todo lo hecho en los pasos 1, 2 y 3 tenemos que
3
x+7
2x + 2
x 7 + 3x 4 + x + 1
= −1 + x + x 2 +
+
− 2
5
4
3
2
2
2( x − 1) 2( x + 1) ( x + 1) 2
x − x + 2x − 2x + x − 1
y la integral que pretendemos calcular queda entonces como sigue
x 7 + 3x 4 + x + 1
x2 x3 3
1
1
2x
7
1
∫ x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1 dx = −x + 2 + 3 + 2 ∫ x − 1 dx + 4 ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx
2x
1
dx − 2
−
dx
2
2
2
( x + 1)
( x + 1) 2
∫
∫
x2 x3 3
1
7
1
x
+
+ L( x − 1) + L( x 2 + 1) + arctg( x ) +
−
− arctg( x ) + C
2
3 2
4
2
1+ x 2 1+ x 2
x2 x3 3
1
5
1− x
= −x +
+
+ L( x − 1) + L( x 2 + 1) + arctg(x ) +
+C
2
3 2
4
2
1+ x 2
= −x +
Véase que las integrales que hemos tenidos que resolver al final del cálculo son todas ellas inmediatas o
se ajustan a alguno de los tipos sencillos de integral racional.
Puede resolverse ahora esta integral utilizando Integrate y comparar los resultados obtenidos por los
dos métodos.
Finalmente comentaremos que si la función racional que pretendemos descomponer en fracciones simples
no es excesivamente complicada, podemos utilizar la instrucción Apart en lugar de seguir los pasos 1, 2
y 3 como en el ejemplo anterior
Comando: Apart
Sintaxis:
Apart[funracional]
Resultado: Obtiene la descomposición en fracciones simples de la función racional funracional.
Por ejemplo
In[8]:=
Out[8]=
x 7 + 3x 4 + x + 1
]
x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1
3
2(1 + x)
7+ x
−1 +
+ x + x2 −
+
2(-1 + x)
(1 + x 2)2 2(1 + x 2)
Apart[
EJERCICIOS
4 x 3 − 35x 2 + 124 x − 155
dx .
− 10x 3 + 46 x 2 − 114 x + 117
76 − 135x + 150 x 2 − 94 x 3 + 44 x 4 − 11x 5 + 2 x 6
Calcular la integral
. Utilícese el proceso
25 − 45x + 9 x 2 + 27 x 3 − 29x 4 + 17 x 5 − 5x 6 + x 7
descrito en este apartado empleando la instrucción Apart si ello es posible.
Calcular la integral
∫x
4
∫
7