Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios
Contenidos del tema
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Introducción
Sacar factor común
Productos notables
Fórmula de la ecuación de segundo grado
Método de Ruffini y Teorema del Resto
Combinación de todos
Introducción
Consiste en expresar un polinomio como producto de otros
polinomios de menor grado. A la descomposición factorial de polinomios
también se la denomina factorización de polinomios.
Para conseguir esta factorización se pueden usar varios procedimientos, ya
sea por separado o combinándolos, a saber:
Sacar factor común
Sabemos por la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma que:
y si esta expresión la leemos al revés, se tiene otra
expresión que se denomina sacar factor común.
Por tanto para sacar factor común, se debe buscar algún monomio que se
repita en todos los sumandos del binomio o en general, de cualquier
polinomio, y si existe, aplicamos la expresión anterior.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Si el factor común coincide con un término, al sacar el factor común el
término valdrá 1.
Hay veces que para factorizar hay que sacar varias veces factor común.
Ejemplo 3:
Productos notables
Recordemos que los productos notables son:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Fórmula de la ecuación de segundo grado
La expresión general de la ecuación de segundo grado es:
Para hallar las soluciones de la ecuación de segundo grado igualamos la
expresión general a cero y aplicamos la fórmula
El número de soluciones de esta ecuación puede ser de dos, una o ninguna
según el valor del radicando. Estudia el siguiente esquema:
Una vez hemos aprendido a calcular las soluciones de la ecuación de
segundo grado, soluciones que también reciben el nombre de raíces,
aprenderemos a factorizar la ecuación.
Las raíces son x1 y x2 y tendrán el siguiente valor:
Una vez tengamos toda esta información, podremos factorizar cualquier
ecuación que tenga solución aplicando la siguiente expresión matemática:
Ejemplo 7: Factoriza la ecuación 3x2-x-2
Aplicando la ecuación de 2º grado tenemos:
y factorizando:
Observa la gráfica de la ecuación
que acabamos de factorizar y
verás que las raíces coinciden
con los puntos de corte con el
eje x. Ésto es así porque para
resolver la ecuación de segundo
grado la igualamos a cero, lo
cual equivale a "preguntar a la
ecuación"... ¿qué valores de x te
anulan?. (Considera -0'67 = 2/3)
De la misma manera observa
que estos dos valores de x
además anulan los factores. Esto
es muy importante que lo
entendáis.
Ejemplo 8: Factoriza la ecuación x2 + 4x + 4
Siguiendo el mismo procedimiento que en los pasos anteriores
tendremos:
Observa la gráfica de la ecuación
que acabamos de factorizar y
verás que esta vez sólo corta al
eje x por un punto, precisamente
en el -2, el valor de la raíz que
anula el factor... :-)
Ejemplo 9: Factoriza la ecuación 3x2+ x + 1
Observa la gráfica de la ecuación
que acabamos de factorizar y
verás que esta vez no corta al
eje x por ningún punto, no se
puede factorizar ni tiene
solución la ecuación de 2º grado.
Método de Ruffini y Teorema del resto
La Regla de Ruffini: cuando hay que dividir un polinomio de x por un
binomio de grado uno de la forma (x-a), donde a es un número real, se
puede hacer utilizando el Método de Ruffini
Para que el Método de Ruffini se explique a si mismo os he
preparado una animación: (en la web)
Para aplicar este método hay que observar que el polinomio sea completo y
en caso contrario debemos completar los grados que le faltan añadiendo
ceros.
Si el resto es igual a cero entonces el divisor es factor del dividendo
y es en ésto en lo que nosotros nos basaremos para poder factorizar
polinomios. Observa las imágenes que vienen a continuación, porqué en
ellas intento explicar lo que acabo de decir.
Teorema del Resto: dado un polinomio de x [P(x)], su valor numérico
para x=a vale lo mismo que el resto de la división de P(x) entre x-a.
Ejemplo 10: Hallar el valor numérico del polinomio x3-7x2+ 5x+ 9 para x =
2, de dos formas diferentes
Antes de empezar, recordad que el valor numérico de un polinomio es el
resultado de sustituir la variable por un valor y realizar las operaciones
indicadas en el polinomio.
Factorizar aplicando el Teorema del Resto, consiste en probar con
binomios de grado uno, cuyo término independiente sea divisor del término
independiente del polinomio que queremos factorizar. Si el resto da cero,
entonces el polinomio se convertirá en un producto de factores, por una
parte el divisor y por otra el cociente.
Ejemplo 11:
Combinación de todos
Ahora, y para acabar el tema, vamos a realizar ejercicios donde
combinaremos todo lo que hemos aprendido en el tema. En algunas
ocasiones serán métodos únicos y en otras serán combinación de varios.
Ejemplo 12:
Ejemplo 13: