Algoritmo de Euclides

Algoritmo de Euclides
No es necesario realizar ensayo y error para determinar el inverso
multiplicativo de un entero módulo n. Si el módulo que está siendo usado es
pequeño hay algunas pocas posibilidades para chequear, ensayo y error puede
ser una buena alternativa. Sin embargo algunos modernos sistemas
criptográficos de clave pública usan módulos muy grandes y requieren la
determinación de inversos.
Ahora examinaremos un método que puede ser usado para construir inversos
multiplicativos módulo n (cuando existen).
Los elementos de Euclides, sumado a la geometría contienen una gran
cantidad de teoría de números, propiedades de los enteros positivos. El
Algoritmo de Euclides es la proposición II del libro VII de Los Elementos de
Euclides. La pregunta fue esta: dadas dos longitudes (las cuales son números
enteros positivos), cual es la mayor (entero) longitud que puede usarse para
medir ambos. Por ejemplo si tenemos dos longitudes de 14 y 21, la mayor
longitud que las mide a ambas es 7. Si las longitudes son 7 y 25, la máxima
común medida es 1. Etc.
Euclides, describe un proceso para determinar la máxima común medida de
dos longitudes. En términos de la teoría de números, el describe como
encontrar cual es el ahora llamado máximo común divisor (MCD) de dos
enteros positivos.
El Algoritmo de Euclides para encontrar el MCD
Comencemos con dos enteros positivos, por ejemplo 13566 y 35742
Dividimos el mayor por el menor
35742 : 13566 = 2
8610
Y tenemos 35742 = 13566x2 + 8610
Ahora dividimos el divisor anterior por el resto
13566 : 8610 = 1
4956
Entonces 13566 = 8610x1 + 4956
Nuevamente dividimos el divisor por el resto
8610 : 4956 = 1
3654
Entonces 8610 = 4956x1 + 3654
Repetimos el proceso
4956 : 3654 = 1
1302
Entonces 4956 = 3654x1 + 1302
Repitiendo nuevamente
3654 : 1302 = 2
1050
Entonces 3654 = 1302x2 + 1050
Repitiendo
1302 : 1050 = 1
252
Entonces 1302 = 1050x1 + 252
Repitiendo
1050 : 252 = 4
42
Entonces 1050 = 252x4 + 42
Repitiendo
252 : 42 = 6
0
Entonces 252 = 42x6 + 0
El proceso se detiene cuando el resto es cero (0)
El máximo común divisor es el resto anterior es decir 42
MCD(13566, 35742) = 42
Ahora tenemos que ver que efectivamente es el máximo común divisor.
Para hacer esto mostraremos que 42 puede ser escrito en términos de 13566 y
35742
Comenzamos con el penúltimo resultado:
1050 = 252x4 + 42
42 = 1x1050 -4x252
Pero
252 = 1302 – 1x1050
Reemplazando este resultado,
42 = 1x1050 – 4x(1302 -1x1050)
42 = 1x1050 – 4x1302 + 4x1050
42 = 5x1050 – 4x1302
Pero 1050 = 1x3654 – 2x1302
Entonces
42 = 5x(1x3654 – 2x1302) -4x1302
42 = 5x3654 – 10x1302 – 4x1302
42 = 5x3654 - 14x1302
Pero 1302 = 4956 -1x3654
Entonces
42 = 5x3654 – 14x(4956 – 1x3654)
42 = 5x3654 – 14x4956 +14x3654
42 = 19x3654 – 14x4956
Pero 3654 = 8610 – 4956x1
Entonces
42 = 19x(8610 – 4956x1) – 14x4956
42 = 19x8610 – 19x4956 – 14x4956
42 = 19x8610 – 33x4956
Pero 4956 = 13566 – 8610x1
Entonces
42 = 19x8610 – 33x(13566 – 8610x1)
42 = 19x8610 -33x13566 + 33x8610
42 = 52x8610 – 33x13566
Pero 8610 = 35742 – 13566x2
Entonces
42 = 52x(35742 – 13566x2) – 33x13566
42 = 52x35742 – 104x13566 – 33x13566
42 = 52x35742 – 137x13566
Lo importante acá es señalar que el MCD de 35742 y 13566 puede ser
expresado como una combinación lineal de ellos mediante un proceso inverso
del algoritmo de Euclides
PRIMOS RELATIVOS
Un par de enteros positivos se dice que son primos relativos si su máximo
común divisor (MCD) es 1. Por ejemplo los números 3 y 5 son primos relativos
porque MCD(3,5) = 1.
Encontrando inversos multiplicativos modulo n
Cualquier entero positivo, menor que n y primo relativo con n tiene un inverso
multiplicativo modulo n. Esta es una consecuencia del algoritmo de Euclides.
Veremos en el siguiente ejemplo por qué esto debe ser asi. Algun entero positivo
menor que n y que no es primo relativo con n no tiene inverso multiplicativo
modulo n.
MCD(15, 26) = 1, por lo tanto 15 y 26 son primos relativos. Luego 15 tiene
inverso multiplicativo módulo 26. Usando el algoritmo de Euclides podemos
construir el inverso multiplicativo de 15 módulo 26.
Usamos el algoritmo de Euclides para encontrar el MCD(15,26)
26 : 15 = 1
26 = 15x1 + 11
11
15 : 11 = 1
15 = 11x1 + 4
4
11 : 4 = 2
11 = 4x2 + 3
3
4:3=1
1
4 = 3x1 + 1
3:1=3
0
Por lo tanto MCD(15,26) = 1
Ahora expresaremos 1 como combinación lineal de 15 y 26 retrocediendo en
el algoritmo de Euclides.
1 = 4 – 3x1
Pero 3 = 11 – 4x2, reemplazando
1 = 4 – (11 – 4x2)x1
1 = 4 – 11 + 4x2
1 = 4x3 – 11x1
Pero 4 = 15x1 – 11x1, reemplazando
1 = (15x1 – 11x1)x3 – 11x1
1 = 15x3 – 11x3 – 11x1
1 = 15x3 – 11x4
Y como 11 = 26 – 15x1, tenemos
1 = 15x3 – (26 – 15x1)x4
1 = 15x3 – 26x4 + 15x4
1 = 15x7 – 26x4
Finalmente, tenemos que
26 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 26)
Y la ecuación
1 = 7𝑥15 − 4𝑥26
Se convierte en la congruencia
1 ≡ 7𝑥15 (𝑚𝑜𝑑 26)
Por lo tanto el inverso de 15 módulo 26 es 7 (y el inverso de 7 módulo 26 es
15).
MCD(6,26) = 2, por lo tanto 6 y 26 no son primos relativos, por lo tanto 6 y
26 no son primos relativos, de ahí que 6 no tiene inverso multiplicativo módulo
26, entonces si suponemos que si existe y suponemos que existe el inverso
multiplicativo de 6 módulo 26, llamémoslo m, entonces debe tenerse que:
6𝑚 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 26)
Esto significa que 6m es igual a 1 más un múltiplo de 26:
6𝑚 = 1 + 26𝑘
Pero, 2 divide a 6 y 2 divide a 26 por lo tanto si la ecuación fuera correcta 2
debería dividir a 1. De hecho esto es falso, por lo tanto, el hecho de suponer que
6 tiene un inverso multiplicativo módulo 26 es falsa.
1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 son primos relativos con 26 por lo tanto tienen
inversos multiplicativos módulo 26.
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 no son primos relativos con 26, por lo tanto no
tienen inversos multiplicativos módulo 26.
Práctica
(1) Determine en cada caso el MCD, no es obligación usar el algoritmo de
Euclides para encontrarlo. Cuál de los pares son primos relativos?
a) MCD(6,15)
b) MCD(6,16)
c) MCD(8,17)
d) MCD(6,21)
e) MCD(15,27)
(2)Determine en cada caso el MCD y cuál(es) de los pares son primos
relativos.
a) MCD(37,3120)
b) MCD(24,138)
c) MCD(12378, 3054)
d) MCD(314, 159)
e) MCD(306,657)
(3)
Para cada uno de los MCD hallados en la pregunta 2) exprese el
MCD encontrado como una combinación lineal de los dos enteros dados.
(4)Encuentre el inverso multiplicativo módulo 3120 de 37
(5)Encuentre el inverso multiplicativo de 19 módulo 26
(6)
Tiene 24 inverso multiplicativo módulo 138?. Explique
(7) Qué enteros módulo 16 tienen inversos multiplicativos. Determine los
inversos.
(8)
Qué enteros módulo 7 tienen inversos multiplicativos. Determine
los inversos.
(9)
Qué enteros módulo 14 tienen inversos multiplicativos. Determine
los inversos.
(10)
Qué enteros módulo 9 tienen inversos multiplicativos. Determine
los inversos.