Cadenas de Markov

Suponga que sólo existen tres lecherı́as en el mercado Leche Lola, Leche Los
Puentes, y Leche ParmaLac. Suponga que de un mes a otro
Lola retiene el 80 % de sus clientes, atrae 20 % de los clientes de Los Puentes, y atrae 10 % de los clientes de ParmaLac,
Los puentes retiene 70 % de sus clientes, atrae 10 % de los clientes de Lola,
y atrae 30 % de los clientes de ParmaLac, y
ParmaLac retiene 60 % de sus clientes, atrae el 10 % de los clientes de Lola,
y atrae el 10 % de los clientes de Los puentes.
Suponga el tamaño de la población no cambia y se mantiene fijo en 1000000 de
consumidores. Determine si existe los porcentajes a largo plazo de la distribución
de clientes de Lola, Los puentes, y ParmaLac.
Solución
La matriz de transición queda:


.80 .20 .10
A =  .10 .70 .30 
.10 .10
.60
El polinomio caracterı́stico de A es:
pA (t) = −(t3 − 2.1 t2 + 1.40 t − .300)
Usando los cálculos reportados en las figuras ?? y ??, los valores propios son:
λ1 = 1.00, λ2 = 0.60, λ3 = 0.50
y los vectores propios correspondientes son:
0
v1 = (−.744845, −.579324, −.331042)
0
v2 = (−.707107, +.707107, 0.)
0
v3 = (+.408248, −.816497, +.408248)
Por tanto

−0.744845 −0.707107 +0.408248
P =  −0.579324 +0.707107 −0.816497 
−0.331042
0.
+0.408248


1.0 0
0
D =  0 .60 0 
0
0 .50

Por tanto,

1
∞
k

A = lı́m A = P 0
k→∞
0

.45
A∞ = lı́m Ak =  .35
k→∞
.20

0
0  P−1
0

.45 .45
.35 .35 
0
0
0
.20 .20
Por tanto la ditribución del mercado de leche a largo plazo sin importar la
distribución actual es:


45 %
 35 % 
20 %
Figura 1: Lecherı́as, cálculo de vectores propios de A.
Figura 2: Lecherı́as, matriz lı́mite de A.