Probabilidad y Combinatoria Definiciones Básicas

Probabilidad y Combinatoria
Definiciones básicas.
Definiciones de Probabilidad
Probabilidad condicionada.
Teoremas
Combinatoria
Ejercicios
Definiciones Básicas
Experimento: cualquier proceso que genere un conjunto de datos.
Deterministas: son los que obedecen a una relación causa-efecto y al variar poco
las causas varía poco el efecto. Aunque se repita varias veces, bajo
condiciones dadas, el resultado es previsible salvo, quizás, errores de
medida.
Ejemplo: al disparar un proyectil con el mismo ángulo de elevación y las
mismas condiciones siempre describe la misma parábola.
Aleatorios: se caracterizan porque al repetirse en condiciones análogas
indefinidamente presentan resultados impredecibles de antemano, dependen
del azar y no pueden pronosticarse con certidumbre.
Ejemplo: si lanzamos una moneda al aire repetidamente, no es posible
garantizar que en un lanzamiento dado se obtenga cara, aunque se
conozca el conjunto completo de posibilidades para cada lanzamiento
(cara, cruz).
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Definiciones Básicas
Espacio muestral (S ó Ω): conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio.
Espacio muestral finito: Tiene un número finito de posibles resultados.
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Espacio muestral infinito: Tiene infinitos sucesos elementales. Si se corresponden
con los números naturales se trata de un espacio muestral infinito
numerable.
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Nº de veces que se lanza una
moneda hasta obtener la primera cara”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, …, n, …}
En caso contrario, infinito no numerable.
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Elección al azar de un valor en el
intervalo real [0,1]”
Espacio muestral: S = {infinitos valores reales entre 0 y 1}
Definiciones Básicas
Evento o suceso: Cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral,
cada uno de los elementos de℘(S). Los denotaremos con A, B, C,… Al
realizar el experimento aleatorio se dice que se ha verificado el suceso A, si el
resultado obtenido pertenece a A.
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
℘(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3},
{2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, …,
{1,2,3,4,5,6} }
Cada uno de estos elementos es un suceso o evento.
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Definiciones Básicas
Sucesos elementales: Cada uno de los resultados posibles de un experimento
aleatorio. Cada uno de los subconjuntos unitarios (de un solo elemento) de
℘(S).
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
℘(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3},
{2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, …,
{1,2,3,4,5,6} }
Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Suceso compuesto: si es unión de dos o más sucesos elementales.
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
℘(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3},
{2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, …,
{1,2,3,4,5,6} }
Sucesos compuestos: {1,3,5}, {2,4}, {4,6}
Definiciones Básicas
Suceso seguro: es aquel que se verifica siempre, sea cual sea el resultado del
experimento, por tanto estará formado por todos los resultados posibles. Es
suceso segur equivale al espacio muestral.
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
℘(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3},
{2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, …,
{1,2,3,4,5,6} }
Suceso seguro: {1,2,3,4,5,6}
El suceso que no contiene ningún resultado del espacio muestral recibe el nombre
de suceso nulo o imposible. Lo denotamos con φ.
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Definiciones Básicas
Las OPERACIONES ENTRE SUCESOS son las siguientes:
- El suceso unión de A y B, denotado por A∪B, es el suceso formado por todos los
posibles resultados de A, de B o de ambos.
Ejemplo:
A = {1,2}
B = {2,4,6}
A∪B = {1,2,4,6}
- El suceso intersección de A y B, denotado por A∩B es el suceso formado por los
resultados comunes a A y a B.
Ejemplo:
A = {1,2}
B = {2,4,6}
A∩B = {2}
- Dos sucesos son mutuamente excluyentes, incompatibles o disjuntos si no tienen
resultados en común, es decir, A∩B = φ
Ejemplo:
A = {1,3}
B = {2,5,6}
A∩B = φ
- Si cualquier resultado de A es también resultado de B, entonces A está
contenido en B y se denota A⊂B.
Ejemplo:
A = {1,3}
B = {1,3,6}
A⊂B
- El complementario de un suceso A es aquel suceso que contiene a todos los
resultados del espacio muestral que no están en A. Lo denotamos Ac , ó A’
Ejemplo:
A = {1,3}
Ac = {2,4,5,6}
c
A = {1,2,3,4,5,6} A = φ
A=φ
Ac = {1,2,3,4,5,6}
Definiciones de Probabilidad
La probabilidad de un suceso es un número que cuantifica, en términos relativos,
las opciones de verificación de ese suceso al realizar un experimento aleatorio.
A los experimentos que no son aleatorios no se les puede aplicar las reglas de la
probabilidad.
Enfoque CLÁSICO o a priori (Laplace, 1812): Supongamos un espacio muestral
finito S = {a1, …, aN} de manera que los ai son sucesos elementales igualmente
probables y sea un suceso A = {a1, …, ak} (N ≥ k).
n º casos favorables k
P ( A =)
n º casos posibles
=
N
Enfoque FRECUENCIALISTA o a posteriori: Los fenómenos aleatorios
presentan la llamada regularidad estadística que consiste en que, al aumentar el
nº de repeticiones de un experimento, en condiciones prácticamente constantes,
las frecuencias relativas de ocurrencia de cada evento tiende a estabilizarse en
un valor fijo (probabilidad frecuencial del evento).
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Definiciones de Probabilidad
Definición AXIOMÁTICA
En los años 30 se dio una definición axiomática de la probabilidad como medida
de incertidumbre. Sea Ω un espacio muestral cualquiera, P(Ω) conjunto de las
partes de Ω, o conjunto de sucesos y A un suceso cualquiera de P(Ω) . Se define
probabilidad, o función de probabilidad sobre Ω, a una aplicación (es decir, una
regla bien definida por la que se asigna a cada suceso un, y un solo un, número
real)
p: P(Ω) → ℜ
que cumpla los axiomas siguientes:
i) p(A) ≥ 0 ∀ A ∈ P(Ω)
ii) p(A1 ∪ A2 ∪ A3 ...) = p(A1) + p(A2) + p(A3) + ... si Ai ∩ Aj= ∅ ∀i ≠ j
(sucesos mutuamente excluyentes)
iii) p(Ω) = 1
A la estructura (Ω, P(Ω), p) se le denomina espacio de probabilidad.
Definiciones de Probabilidad
Como consecuencia de estos axiomas se pueden deducir otras propiedades que
cumple la función de probabilidad definida y que nos van a ayudar a asignar la
probabilidad de cualquier otro suceso que no sea el seguro (es necesario asignar
un número a todos los sucesos).
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Probabilidad Condicionada
Si la probabilidad de que ocurra un suceso B es p(B) ≠ 0, entonces la
probabilidad del suceso A, condicionada al suceso B, se define considerando
únicamente los casos en los que B se ha verificado y viendo en cuántos de ellos
ocurre A y viene dada por el cociente:
El suceso A|B se llama suceso A condicionado a B.
De la expresión anterior deducimos:
P ( A ∩ B ) = P ( A / B ).P ( B )
En general tenemos que P(A/B) ≠ P(A). Si así se verifica diremos que el suceso
A depende del suceso B.
Sucesos Independientes
Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral Ω. El suceso A es
estadísticamente independiente (o independiente) del suceso B si el conocimiento
de la ocurrencia de B no modifica la probabilidad de aparición de A, es decir, si:
P(A|B) = P(A)
En este caso, y con la definición de probabilidad condicionada:
Notar entonces que:
y entonces B es también independiente de A. Diremos que A y B son sucesos
independientes.
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Sucesos Independientes
Propiedades de la independencia de sucesos:
Sean A y B dos sucesos independientes
(i) Entonces también son independientes A y Bc, Ac y B y Ac y Bc.
(ii) A es independiente de sí mismo si y sólo sí P(A) = 0 ó 1
Regla del producto:
Sean A1, A2, …, An sucesos del mismo espacio muestral Ω tales que
P(A1∩A2∩…∩An) > 0. Entonces:
P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1∩A2) …. P(An|A1∩A2∩…∩An-1 )
Teoremas
Sea Ω un espacio muestral. Una colección de n sucesos, B1,…,Bn, de Ω es un
sistema completo de sucesos (s.c.s.) si verifican:
Bi ∩ B j = φ ∀i ≠ j
n
Ω = U Bi
i =1
Teorema de la probabilidad total
Sea Ω un espacio muestral, B1,…,Bn un s.c.s. y sea A otro suceso de Ω, del que se
conocen sus probabilidades condicionadas a cada Bi. Entonces:
n
P ( A) = ∑ P ( A / Bi ) P( Bi )
i =1
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Teoremas
EJEMPLO:
En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de
ser elegidas:
Amarilla: probabilidad del 50%.
Verde: probabilidad del 30%
Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos.
Así, si la papeleta elegida es:
Amarilla: participas en un sorteo con una prob. de ganar del 40%.
Verde: participas en otro sorteo con una prob. de ganar del 60%
Roja: participas en un tercer sorteo con una prob. de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que
participes?:
1.- Las tres papeletas forman un s.c.s.: sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = 0,54 Î prob. del 54%
Teoremas
Teorema de Bayes:
Sea Ω un espacio muestral, B1,…,Bn un s.c.s. y sea A otro suceso de Ω del que se
conocen sus probabilidades condicionadas a cada Bi. Entonces:
P ( Bi / A) =
P( A / Bi ) P ( Bi )
n
∑ P( A / B ) P( B )
i =1
i
i
A las probabilidades P(Bi) se les llama probabilidades a priori y a las
probabilidades P(Bi/A) se les llama probabilidades a posteriori.
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Teoremas
EJEMPLO:
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un
accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la
ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla).
Teoremas
EJEMPLO (Continuación):
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
Î 71.4 %
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
Î 21.4 %
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
Î 7.1 %
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Combinatoria
Principio de Multiplicación:
Si una operación puede realizarse en n1 formas y, si por cada una de éstas, una
segunda operación puede llevarse a cabo en n2 formas, entonces las dos
operaciones pueden realizarse juntas en n1 . n2 formas
Ejemplo:
¿Cuántos puntos muestrales hay en un espacio muestral cuando se lanzan un
par de dados una sola vez?
El primer dado puede caer en cualquiera de n1 = 6 formas diferentes. Para cada
una de estas, el segundo dado puede caer en n2 = 6 formas. Por tanto, el par de
dados puede caer en n1 . n2 = 6 . 6 = 36 formas posibles.
Este principio se puede generalizar para k operaciones, la primera de las cuales
puede realizarse en n1 formas, la segunda en n2, etc… Entonces la secuencia de k
operaciones puede hacerse en n1. n2 … nk formas.
Combinatoria
Principio de Adición:
Si una operación puede realizarse en n1 formas y una segunda operación puede
llevarse a cabo en n2 formas y además no es posible que ambas operaciones se
realicen juntas. Entonces, el número de formas en que puede realizarse una
operación o la otra es n1 + n2.
Ejemplo:
Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir entre el transporte en
guagua o en tren. Si hay 3 rutas para la guagua y 2 para el tren, entonces existen
3 + 2 = 5 rutas diferentes para realizar el mismo viaje.
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Combinatoria
Permutaciones:
Una permutación u ordenación es un arreglo, en un orden particular, de los
objetos que forman un conjunto.
Supongamos que tenemos n objetos diferentes. ¿De cuántas formas distintas se
pueden agrupar o permutar esos objetos? Agrupar u ordenar los n objetos
equivale a ponerlos en una caja con n compartimentos, en algún orden
específico, de manera que una agrupación será distinta de otra, aunque tenga los
mismos objetos, si estos están dispuestos en orden diferente.
La primera casilla se puede llenar de cualquiera de las n maneras. Como no se
pueden repetir elementos, la segunda casilla se puede llenar de n-1 formas, y así
sucesivamente.
El número de permutaciones u ordenaciones diferentes de n objetos distintos es
n! y se representa por
Pn = n!
Combinatoria
n! Î es la multiplicación de todos los números que van desde n hasta 1.
Ejemplo: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Si n es grande, el proceso del cálculo del factorial se vuelve muy tedioso y
cargado, incluso para un ordenador, por lo que se utiliza la aproximación de
Stirling a n!
siendo e ≈ 2.71828…
n −n
Ejemplo:
n !≈ 2 π n n e
Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los números 1, 2 y 3.
Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2,
1)
Ejemplo: P10 son las permutaciones de 10 elementos:
Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.
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Combinatoria
Variaciones:
Las permutaciones de n elementos tomados de r en r (r elementos a la vez) se
llaman Variaciones. Si de los n objetos, únicamente r ≤ n de ellos se emplean en
cualquier ordenación, es decir, tenemos n elementos y queremos llenar una caja
de sólo r compartimentos, hasta la r - ésima posición, se sigue el razonamiento
anterior. Se habrán empleado (r - 1) objetos. Para la última posición tendremos
n - (r - 1) posibilidades, luego:
nPr
n
= n (n - 1) (n - 2) … (n – r + 1)
n!
n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)(n − r )!
=
(n − r )!
(n − r )!
n!
=
(n − r )!
Pr =
Vn
r
Combinatoria
Ejemplo:
Calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los
números 1, 2 y 3.
Tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso
los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.
Ejemplo:
V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4
elementos:
Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir
de los 10 elementos.
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Combinatoria
Combinaciones:
Una combinación de los objetos de un conjunto es una selección de estos, sin
importar el orden. Se entenderá por el número de combinaciones de r objetos
tomados de un conjunto que contiene n de estos, al número total de selecciones
distintas en las que cada una de ellas tiene r objetos, sin que influya el orden.
La diferencia entre una permutación y una combinación está en que en la
primera el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los
arreglos de estas selecciones, mientras que en la segunda sólo interesan las
diferentes selecciones.
n
n!
r
Cn =
= 
r!( n − r )!  r 
Por convenio  n 
 n
  = 1;   = n;
0
1
 
n
  = 1
n
Combinatoria
Ejemplo:
Calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con
los números 1, 2 y 3.
Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de
combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se
cuentan una vez.
Ejemplo:
C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4
elementos:
Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de
los 10 elementos.
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Combinatoria
Permutaciones con repetición:
Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica la siguiente
fórmula:
Son permutaciones de m elementos, en los que uno de ellos se repite x1 veces,
otro x2 veces y así, hasta uno que se repite xk veces.
Ejemplo:
Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2
ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:
Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.
Combinatoria
Variaciones con repetición:
Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica la siguiente
fórmula:
Ejemplo:
V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en
subgrupos de 4 elementos:
Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.
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Combinatoria
Combinaciones con repetición:
Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente
fórmula:
Ejemplo:
C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en
subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos:
Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.
Ejercicios
Ejercicio 2.1
La compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las
cuales 10 eran defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había
20 defectuosas y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran
defectuosas. Se almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron
aleatoriamente. Se toma una unidad al azar y se pide calcular:
a) Probabilidad de que sea de la compañía A.
b) Probabilidad de que sea de la compañía B
c) Probabilidad de que sea de C y defectuosa.
d) Probabilidad de que sea de A y buena.
e) Probabilidad de que sea buena.
f) Probabilidad de que sea defectuosa.
g) Si es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía
C?.
h) Si es buena. ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía B?.
i) Si es de la compañía A ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
j) Si es de la compañía B ¿cuál es la probabilidad de que sea buena?
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Ejercicios (2)
Ejercicio 2.2
Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas
aleatoriamente sin reemplazamiento, determinar la probabilidad de que:
a)
las tres bolas sean rojas.
b)
las tres bolas sean blancas.
c)
dos sean rojas y una blanca.
d)
al menos 1 sea blanca.
e)
se extraiga una de cada color.
f)
las bolas sean extraídas en el orden rojo, blanco, azul.
Ejercicio 2.3
Determinar la probabilidad de tres seises en 5 lanzamientos de un dado honrado.
Ejercicio 2.4
Un estante tiene 6 libros de matemáticas y 4 de física. Hallar la probabilidad de
que 3 libros determinados de matemáticas estén juntos.
Ejercicios (3)
Ejercicio 2.5
¿Cuál es la probabilidad de que la primera señorita que se encuentre en la calle
le interese a Ernesto, sabiendo que ha de tener la nariz griega, ha de ser rubia
platino, esbelta, de ojos verdes y conocer los fundamentos de la Estadística?. Se
supone que las probabilidades de cada uno de estos sucesos son: 0.01; 0.01; 0.01;
0.01; 0.0001 y todos los sucesos son independientes.
Ejercicio 2.6
Se introducen tres ratas, independientemente unas de otras, en un laberinto que
tiene dos salidas equiprobables (A y B). ¿Cuál es la probabilidad de que las tres
ratas salgan por el mismo lugar?
Ejercicio 2.7
Un estudio clínico de una universidad en una población ha encontrado que la
probabilidad de que se den trastornos en el sueño (A) es 0,70, la probabilidad de
que se den trastornos de tipo depresivos (B) es 0,20 y la probabilidad de que se
den ambos 0,10. Si extraemos un sujeto de dicha población al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que se tenga solamente uno de los trastornos?
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Ejercicios (4)
Ejercicio 2.8
Con el fin de estudiar la eficacia de tres tratamientos de afrontamiento al estrés,
un psicólogo clínico divide a sus pacientes en tres grupos. A cada grupo le
aplicará uno de los tres tratamientos, por procedimientos aleatorios. Para ello,
lanza al aire una moneda y un dado:
a) Si sale cara y un número de dado impar, asigna el tratamiento A;
b) Si sale cruz y un número de dado par, asigna el tratamiento B;
c) En cualquier otro caso asigna el tratamiento C.
Siguiendo este procedimiento, ¿Cuáles son las probabilidades de asignación de
cada tratamiento?
Ejercicios (5)
Ejercicio 2.9
Una empresa consultora ha realizado una encuesta en una provincia española
encontrando que el 60% de los encuestados oyen la radio, el 50% lee el periódico
y el 10% ve la televisión. Teniendo en cuenta que el 3% lee el periódico, ve la
televisión y escucha la radio y que el 80% de los que ven la televisión lee el
periódico, si extraemos un sujeto al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea el periódico, vea la televisión y
escuche la radio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si lee el periódico, vea la televisión?
Ejercicio 2.10
Consideremos una población de 800 alumnos de 1er curso de psicología en una
facultad española, de los cuales 500 son varones. Si seleccionamos dos fichas de
la asignatura Análisis de Datos I al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a los varones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a las mujeres?
c) ¿Cuál es la prob. de que corresponda a alumnos de ambos sexos?
d) ¿Cuál es la prob. de que al menos una corresponda a un varón?
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Ejercicios (6)
Ejercicio 2.11
A un grupo de mil sujetos se les pasó un test de inteligencia y se midió su
rendimiento académico (RA). Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Se definen los sucesos:
A: Ser superior en inteligencia;
B: Ser apto en rendimiento.
a) ¿Son A y B son independientes?
b) Si seleccionamos al azar un sujeto que resulta ser superior en
inteligencia, ¿Cuál es la probabilidad de que sea apto?
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