Diagonales de un polígono convexo

Número de Diagonales
Geometrı́a plana
Efraı́n Soto Apolinar
aprendematematicas.org.mx
24 de diciembre de 2009
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
1/9
Definiciones
Diagonal: Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.
go
Dia
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
nal
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
2/9
Definiciones
Diagonal: Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.
Radio: Es el segmento de recta que va del centro del polı́gono regular a
cualquiera de sus vértices.
go
Dia
nal
Radio
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
2/9
Definiciones
Diagonal: Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.
Radio: Es el segmento de recta que va del centro del polı́gono regular a
cualquiera de sus vértices.
Apotema: Es el segmento de recta que va del centro del polı́gono al punto
medio de cualquiera de sus lados.
go
Dia
nal
Radio
Apotema
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
2/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Empezamos notando que el polı́gono regular de n lados tiene n vértices.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
3/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Empezamos notando que el polı́gono regular de n lados tiene n vértices.
Fijándonos en uno de los n vértices, podemos formar n − 3 diagonales, porque una
diagonal no puede ir de un vértice a sı́ mismo, ni a los vértices más próximos a él:
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
3/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Empezamos notando que el polı́gono regular de n lados tiene n vértices.
Fijándonos en uno de los n vértices, podemos formar n − 3 diagonales, porque una
diagonal no puede ir de un vértice a sı́ mismo, ni a los vértices más próximos a él:
Observa que hay tres nodos que no sirven para trazar una diagonal.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
3/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Los dos vecinos porque en lugar de formar una diagonal generan un lado del
polı́gono.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
4/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Los dos vecinos porque en lugar de formar una diagonal generan un lado del
polı́gono.
El tercer vértice que no nos sirve es sobre el cual nos hemos fijado: una diagonal
no puede iniciar y terminar en el mismo vértice.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
4/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Los dos vecinos porque en lugar de formar una diagonal generan un lado del
polı́gono.
El tercer vértice que no nos sirve es sobre el cual nos hemos fijado: una diagonal
no puede iniciar y terminar en el mismo vértice.
Entonces, de cada uno de los n vértices podemos trazar n − 3 diagonales.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
4/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Pero nosotros podemos fijarnos en cualquiera de los n vértices del polı́gono.
Entonces, considerando todos los vértices, podemos trazar n (n − 3) diagonales.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
5/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Pero nosotros podemos fijarnos en cualquiera de los n vértices del polı́gono.
Entonces, considerando todos los vértices, podemos trazar n (n − 3) diagonales.
Sin embargo, debemos tener en cuenta que cada diagonal la hemos contado dos
veces:
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
5/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Pero nosotros podemos fijarnos en cualquiera de los n vértices del polı́gono.
Entonces, considerando todos los vértices, podemos trazar n (n − 3) diagonales.
Sin embargo, debemos tener en cuenta que cada diagonal la hemos contado dos
veces: una cuando el vértice que hemos elegido es inicial
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
5/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Pero nosotros podemos fijarnos en cualquiera de los n vértices del polı́gono.
Entonces, considerando todos los vértices, podemos trazar n (n − 3) diagonales.
Sin embargo, debemos tener en cuenta que cada diagonal la hemos contado dos
veces: una cuando el vértice que hemos elegido es inicial y la otra cuando es el
punto final de la diagonal.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
5/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Es decir, hemos contado dos veces a cada diagonal al hacer la multiplicación:
n (n − 3).
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
6/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Es decir, hemos contado dos veces a cada diagonal al hacer la multiplicación:
n (n − 3).
En otras palabras, si dividimos n (n − 3) entre dos, obtenemos el número de
diagonales del polı́gono regular:
D=
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
n (n − 3)
2
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
6/9
Diagonales en un polı́gono convexo
Es decir, hemos contado dos veces a cada diagonal al hacer la multiplicación:
n (n − 3).
En otras palabras, si dividimos n (n − 3) entre dos, obtenemos el número de
diagonales del polı́gono regular:
D=
n (n − 3)
2
Observa que siempre obtenemos un número entero como resultado porque en el
numerador de la fracción siempre tenemos un número par:
3 Cuando n es par, n es divisible entre dos,
3 Y cuando n es impar, n − 3 es par.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
6/9
Ejemplos
D3 =
3 (3 − 3) 3 (0) 0
=
= =0
2
2
2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
7/9
Ejemplos
D3 =
3 (3 − 3) 3 (0) 0
=
= =0
2
2
2
D4 =
4 (4 − 3) 4 (1) 4
=
= =2
2
2
2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
7/9
Ejemplos...
D5 =
5 (5 − 3) 5 (2) 10
=
=
=5
2
2
2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
8/9
Ejemplos...
D5 =
5 (5 − 3) 5 (2) 10
=
=
=5
2
2
2
D6 =
6 (6 − 3) 6 (3) 18
=
=
=9
2
2
2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
8/9
Final
¿Quién NO tiene
preguntas?
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Número de Diagonales
24 de diciembre de 2009
9/9